天津市和平区汇文中学2023-2024学年八年级上学期第二次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份天津市和平区汇文中学2023-2024学年八年级上学期第二次月考数学试题（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，∠A=20°，∠B=30°，∠C=50°，求∠ADB的度数（ ）
A. 50°B. 100°C. 70°D. 80°
【答案】B
【解析】
【分析】三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,根据外角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵∠AEB=∠A+∠C=20°+50°=70°，
∴∠ADB=∠AEB+∠B=70°+30°=100°．故选B.
【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
2. 一定能确定△ABC≌△DEF的条件是（ ）
A. ∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠EB. ∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D
C. AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠DD. ∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F
【答案】A
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定定理逐项排查即可．
【详解】解：A、根据ASA即可推出△ABC≌△DEF，故本选项正确；
B、根据∠A＝∠E，∠B＝∠D，AB＝DE才能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
C、根据AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E才能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
D、根据AAA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理，全等三角形的判定定理SAS、ASA、AAS、SSS，理解AAS不能判定三角形全等是解答本题的关键．
3. 剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查平面直角坐标形中点的对称，根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数；关于y轴对称，横坐标变为相反数，纵坐标不变，可得关于m，n的方程，再代入求值即可，掌握点的对称性质是解题的关键．
【详解】解：和关于轴对称，
，解得：，
，
故选：．
4. 下列变形从左到右一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式的基本性质逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，故此选项变形错误，不符合题意；
B、，当，分母没有意义，故此选项变形错误，不符合题意；
C、，分子分母不是乘以的同一个数，分式的值改变，故此选项变形错误，不符合题意；
D、由可得，分子分母都除以，分式的值不变，故此选项变形正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，熟练掌握此知识点是解此题的关键．
5. 下列各式：，，，，，，其中分式共有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式的定义，根据一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，进行分析判断，注意是数字．
【详解】解：，，的分母中含有字母，属于分式，共有个．
故选：．
6. 若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【详解】解：设这个多边形边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），
可得方程180°（n﹣2）=1080°，
解得：n=8．
故选C．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是根据题意列出一元一次方程．
7. 下列各式由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解）逐项判断即可得．
【详解】解：A、是整式乘法，则此项不符合题意；
B、是把一个多项式转化成几个整式积的形式，则此项符合题意；
C、是整式的乘法，则此项不符合题意；
D、不是把一个多项式转化成几个整式积的形式，则此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，熟记因式分解的定义是解题关键，注意因式分解与整式乘法的区别．
8. 下列约分正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：因为，所以A错误；因为已经是最简分式，所以不能再约分，所以B错误；因为已经是最简分式，所以不能再约分，所以C错误；因为，所以D正确；故选D．
考点：分式的约分．
9. 已知，，，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方，变形为同底数幂的形式，再比较大小，可使计算简便．
先把81，27，9转化为底数为3的幂，再根据幂的乘方，底数不变，指数相乘化简．然后根据指数的大小即可比较大小．
【详解】解：∵；
；
．
则．
故选：A．
10. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC=6，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB、AD上的动点，则MN+BN的最小值是（ ）
A. 3B. C. 4.5D. 6
【答案】A
【解析】
【详解】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AB=AC，AD⊥BC于D，∴∠ABC=∠C，AD是∠BAC的平分线，∴M′H=M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵∠ABC=∠C，∠ACB=75°，∴∠BAC=30°，∵BH⊥AC，∴BH=AB=3．故选A．
点睛：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过三线合一的性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
11. 如图，设，则有（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式的乘除法的应用，不等式的运算．分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可．
【详解】解：甲图中阴影部分面积为，
乙图中阴影部分面积为，
则，
∵，
∴，
∴，
∴,
故选：B．
12. 对于正数，规定，例如：，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查定义新运算，有理数的混合运算，分式的加法运算，理解定义新运算的运算法则，掌握有理数的混合运算是解题的关键．
根据题意可得，，由此将代数式变形即可求解．
【详解】解：由题意可得，
，
∴
，
故选：．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
13. 当分式值为0时，的值为__________．
【答案】-5．
【解析】
【分析】先根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．
【详解】∵分式的值为0，
∴，解得x=-5．
故答案为-5．
【点睛】此题考查分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
14. 过边形的一个顶点有条对角线，边形没有对角线，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查多边形的对角线问题，代入求值，有理数的乘法运算，掌握多边形的对角线的计算方法是解题的关键．
根据边形过一个顶点的对角线的条数为条，由此即可求解．
【详解】解：过边形的一个顶点有条对角线，边形没有对角线，
∴，
∴,
∴，
故答案为：．
15. 已知，，为的三边长，且，其中是中最短的边长，且为整数，则__________．
【答案】3或4．
【解析】
【分析】由a2+b2=8a+12b-52，得a，b的值．进一步根据三角形一边边长大于另两边之差，小于它们之和，则b-a＜c＜a+b，即可得到答案．
【详解】∵a2+b2=8a+12b-52
∴a2-8a+16+b2-12b+36=0
∴（a-4）2+（b-6）2=0
∴a=4，b=6
∴6-4＜c＜6+4
即 2＜c＜10，
且c≤4．
∴整数c可取3或4．
故答案为3或4．
【点睛】此题考查因式分解的实际运用，非负数的性质以及三角形的三边关系，分组利用完全平方公式分解因式是解题的关键．
16. 若二次三项式可分解为，则=____．
【答案】﹣4
【解析】
【分析】利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】∵可分解为，
∴
，
则，
解得：，
故．
故答案为：．
【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解与整式的乘法互为逆运算，根据对应项系数相等得出关于的方程组是解题关键．
17. 若是完全平方式，则数的值是________．
【答案】7或-1##-1或7
【解析】
【详解】∵x2+(m−3)x+4是完全平方式，
∴m−3=±4，
∴m=7或−1
故答案为7或-1
18. 已知，则_________．
【答案】4
【解析】
【分析】利用完全平方公式将原等式左边适当变形，再根据非负数的性质可求得a、b、c的值，代入计算即可．
【详解】解：因为，
所以，
即，
即，，，
所以，
∴．
【点睛】本题考查完全平方公式，乘方的符号法则．能利用完全平方公式对等式适当变形是解题关键．
三、计算题：本大题共1小题，共6分．
19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B分别是x轴正半轴、y轴正半轴上的一点，以AB为斜边作等腰直角三角形，直角顶点C（a，b）在第二象限．
（1）探究a、b之间的数量关系并证明．
（2）若BO平分∠ABC，AC与OB交于点D，且A（2，0），B（0，2+2），求点D的坐标．
【答案】（1）a＝﹣b，证明见解析
（2）点D的坐标为（0，2﹣2）
【解析】
【分析】（1）过点C作CE⊥OA，CF⊥OB分别交x轴，y轴于点E、F两点，可得∠CBF＝∠CAE，从而得到△ACE≌△BCF，进而得到CE＝CF，即可求解；
（2）作BC的延长线交x轴于点G，设点D的坐标为（0，m），先证得△GBO≌△ABO，可得AO＝GO，从而证得△ACG≌△BCD，可得到AG＝BD，即可求解．
【小问1详解】
解： a、b之间的数量关系为：a＝﹣b．理由如下：
过点C作CE⊥OA，CF⊥OB分别交x轴，y轴于点E、F两点，如图1所示：
∵∠CBF+∠OBA+∠BAC＝90°，∠OBA+∠BAC+∠CAE＝90°，
∴∠CBF＝∠CAE，
又∵CE⊥OA，CF⊥OB，
∴∠CEA＝∠CFB＝90°，
在△ACE和△BCF中，
∴△ACE≌△BCF（ASA），
∴CE＝CF，
又∵点C在第二象限，CE＝b，CF＝﹣a，
∴a＝﹣b；
【小问2详解】
解：作BC的延长线交x轴于点G，设点D的坐标为（0，m），如图2所示：
∵BO平分∠ABC，
∴∠GBO＝∠ABO，
在△GBO和△ABO中，
，
∴△GBO≌△ABO（ASA），
∴AO＝GO，
又∵AO＝2，
∴GO＝2，
∴AG＝4，
在△ACG和△BCD中，
，
∴△ACG≌△BCD（ASA），
∴AG＝BD，
又∵BD+OD＝OB，OB＝2+2，
∴OD＝m＝2+2﹣4＝2﹣2，
∴点D的坐标为（0，2﹣2）．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，坐标与图形，等腰三角形的性质是解题的关键．
四、解答题：本题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
20. 计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握乘法公式与整式运算法则是解题的关键．
（1）运用完全平方公式展开即可求解；
（2）运用多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项即可求解；
（3）运用平方差公式展开即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
．
21. 已知：点与点关于轴对称，请化简：，并求出该代数式的值．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查点关于轴对称的特点“关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变味相反数；关于y轴对称，横坐标变为相反数，纵坐标不变”，解二元一次方程组，整式的化简求值的综合运用，掌握点关于轴对称的特点，解二元一次方程组，整式的混合运算法则是解题的关键．
根据点关于轴的对称的特点，解二元一次方程组的方法解求出的值，再根据整式的混合运算化简，最后代入求值即可．
详解】解：点与点关于轴对称，
∴，
解得：，
∵
，
当时，原式．
22. （1）若，求，的值；
（2）若，，求，.
【答案】（1）x2+=2；x4+=2；（2）18；0.75.
【解析】
【分析】（1）因为x与两个数互为倒数，它们的积是1，所以我们可先计算出这两个数的和的平方，再移项计算出它们的平方和，相同的办法，利用两个数的平方和，两边平方，计算出这两个数的4次方的和．
（2）根据同底数幂的除法和乘法进行运算即可.
【详解】（1）因为x+=2，
所以（x+）2=22
即x2++2=4，
所以x2+=2．
因为x2+=2
所以（x2+）2=4
即x4++2=4，
所以x4+=2．
（2）=3×6=18，
，，
=÷=33÷62=0.75.
【点睛】此题考查分式的加减，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解题关键在于掌握运算法则.
23. 把下列各式分解因式：
（1）；
（2）；
（3）在实数范围内分解因式：．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，实数定义，算术平方根的运算，熟练掌握分解因式的方法是解题关键．
（1）利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（3）先将，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
．
24. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质及三角形内角和：
（1）连接，利用线段垂直平分线的性质证得，再根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结论；
（2）由三角形的外角的性质，，在中，利用三角形内角和即可求解；
熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键．
【小问1详解】
证明：连接，
垂直平分，
，
，
，
是的中点，
．
【小问2详解】
，
，
∴由三角形的外角的性质，，
，
，
在中，，
，
．
25. 如图，等腰中，，，点在线段上运动不与，重合，将与分别沿直线，翻折得到与．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）当点是的中点时，判断是何种三角形，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）是等边三角形，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，周角的性质，等边三角形的判定和性质的综合，掌握折叠的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据折叠的性质即可求解；
（2）根据折叠的性质可得，再根据周角的性质即可求解；
（3）根据等腰三角形的性质“三线合一”可得，，根据折叠的性质可得是等边三角形，由此可求出，结合点是中点可得，由此即可求解．
【小问1详解】
证明：将与分别沿直线、翻折得到与，
∴；
【小问2详解】
解：将与分别沿直线、翻折得到与，
∴，
∴，
∴
，
∴；
【小问3详解】
解：是等边三角形，理由如下：
将与分别沿直线、翻折得到与，
，
∵，，点是的中点，
∴，，
∴，
是等边三角形，
，，
同理：是等边三角形，
∴，
∴，
当点在的中点，
，
∴，
是等边三角形．