陕西省西安市第三中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份陕西省西安市第三中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8小题，共24分）
1. 方程2x2﹣3x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A. 3、2、5B. 2、3、5C. 2、﹣3、﹣5D. ﹣2、3、5
【答案】C
【解析】
【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【详解】解：2x2﹣3x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、﹣3、﹣5
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式： ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项， bx叫一次项，c是常数项.其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2. 下列关于四边形的说法，正确的是（ ）
A. 四个角都是直角的四边形是正方形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 有两边相等的平行四边形是菱形D. 两条对角线相等的菱形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据各个选项中的说法可以判断是否正确，对于不一定成立的或错误的举出反例即可．
【详解】解：四个角都是直角的四边形是矩形，但不一定是正方形，故选项A不符合题意；
对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，如梯形的两条对角线可能互相垂直，故选项B不符合题意；
有两边相等的平行四边形不一定是菱形，如这组边是对边的时候就不一定是菱形，故选项C不符合题意；
两条对角线相等的菱形是正方形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法，会判断一个四边形的形状．
3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 有两个不相等的实数根C. 有两个相等的实数根D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】化成一般形式，计算方程根的判别式，根据计算属性判断即可．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴方程有两个不相等实数根，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握，则方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题的关键．
4. 如图，．若＝，BD＝3，则DF的长为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例性质求DF的长．
【详解】解：∵，
∴，
∵，BD=3，
∴，
∴DF=6．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
5. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝12，BD＝16，则菱形的高AE为（ ）
A. 9.6B. 4.8C. 10D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据菱形的性质及勾股定理，可求出BC的长，利用菱形的面积公式即可求出AE的长．
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，，，
∴，AC、BD互相平分，
∴，，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查菱形的性质、面积、勾股定理等，熟练掌握并灵活应用菱形的性质是解题关键．
6. 已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，则a等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.根据题意得：， 解得：a=1， 经检验，a=1是原分式方程的解，故本题选A.
7. 如图，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成矩形．若，，则矩形的面积是（ ）

A. 40B. 20C. 15D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，再根据三角形中位线定理得到，，进一步证明，根据相似三角形的性质得到，再根据题意可得．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵D、E分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵将分割后拼接成矩形，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，熟知三角形中位线定理是解题的关键．
8. 如图，已知正方形的边长是7，点E、F分别在、上，，与相交于点G，点H为的中点，连接，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方形的性质，证明得到，后运用勾股定理和斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】∵正方形，，
∴，
∴，

在和中
∵，
∴，
∴．
∴，
∴，
∵点H为的中点，
∴，
∵正方形的边长是7，，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和勾股定理是解题的关键．
二、填空题（本题共6题，共18分）
9. 已知＝，则的值是___．
【答案】5
【解析】
【分析】由＝，可得a＝2b，代入所求的式子化简即可．
【详解】解：由＝，可得a＝2b，
那么＝．
故答案为：5．
【点睛】本题可先根据已知条件得出a与b的关系，然后将其代入所求式子中，要注意的计算过程中要遵循分式基本性质的要求．
10. 从10名学生（6男4女，其中小芳为女生）中，抽选6人参加“防震知识”竞赛．若规定男生选3人，则“选到小芳”的事件应该是____（选填“必然事件、不可能事件、随机事件”）．
【答案】随机事件
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：“随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件”，
从10名学生（6男4女，其中小芳为女生）中，抽选6人参加“防震知识”竞赛．
若规定男生选3人，则女生也选3人，“选到小芳”的可能性大，但不一定发生．
故答案为：随机事件．
11. 如果正n边形的一个内角与外角的比是，那么________．
【答案】12
【解析】
【分析】根据正n边形的一个内角与外角的比是，设外角的度数为x，则内角的度数为5x，根据互补列出等式求得外角的度数，利用外角和定理计算n即可．
【详解】∵正n边形的一个内角与外角的比是，
设外角的度数为x，则内角的度数为5x，
∴，
解得，
故，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了正多边形的内角，外角的计算，外角和定理，互补，熟练掌握正多边形的内角，外角的计算，外角和定理是解题的关键．
12. 若m是方程x2+4x﹣1＝0的根，则代数式（m+2）2+5的值为 ___．
【答案】10
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的定义得到m2-m=1，然后利用整体代入的方法计算（m+2）2+5的值．
【详解】解：∵m是方程x2+4x-1＝0的一个根，
∴m2+4m-1＝0，
∴m2+4m=1，
∴（m+2）2+5=m2+4m+9=1+9=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到．已知点，，则与的面积比是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求得位似比，根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：∵将放大后得到．点，，
∴与的相似比为，
则与的面积比是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，求得位似比是解题的关键．
14. 如图，在矩形中，，，E、F分别是的中点，点P、Q在上．且满足，则四边形周长的最小值为_____．

【答案】12
【解析】
【分析】因为和是定长，所以要使四边形的周长最小，只要最小即可，在上截取，F是的中点，所以点B关于的对称点是C点，连接与交于点Q，则即为的最小值；
【详解】解：四边形周长，
，
∴四边形周长，
要使四边形的周长最小，只要最小即可，
在上截取，F是的中点，所以点B关于的对称点是C点，连接与交于点Q，则即为的最小值，

，
，
在中，由勾股定理得：
，
∴四边形周长．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称---最短路线问题、矩形的性质，能够将所求四边形的周长转化为求的最小值是解题的关键．
三、解答题（本题共10小题，共78）
15. 解方程：
（1）（公式法）
（2）（配方法）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）先把方程化为一般形式，再计算，再利用公式解方程即可；
（2）先把方程化为，再在方程两边都加上1，可得，再解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
则，，，
∴，
∴，
∴，；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得：，．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用公式法与配方法解一元二次方程是解本题的关键．
16. 用适当方法解方程：
（1）
（2）
【答案】16.
17.
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程的方法−因式分解法，
（1）先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
（2）先把方程变形为，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
熟练掌握其方法是解决此题的关键．
【小问1详解】
，
或，
∴；
【小问2详解】
，
，
，
或，
∴．
17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．

（1）以原点为位似中心，在点另一侧画，使它与位似，且相似比为；
（2）若四边形是矩形，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
【分析】（1）分别打标A，B，C的位似对应点，，，再顺次连接即可；
（2）先根据位似图形的性质求解，，结合四边形是矩形与平移的性质，可得答案．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
．
【小问2详解】
∵，， 与位似，且相似比为，且图形在原点两旁；
∴，，
∵四边形是矩形，
由平移的性质可得：．
【点睛】本题考查的是在坐标系内画位似图形，位似图形的性质，矩形的性质，熟练的掌握位似图形的性质并进行画图是解本题的关键．
18. 已知为实数，关于的方程有两个实数根．
（1）求实数的取值范围．
（2）若，试求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把方程化为一般式得到．再根据判别式的意义得到，然后解不等式即可；
（2）利用根与系数的关系得到， ，再利用得到．然后解关于k的方程后利用k的范围确定满足条件的k的值．
【小问1详解】
解：原方程即为．
，
∴ ．
∴．
∴；
【小问2详解】
解：由根系关系，得，
∵，
∴
∴．
即．
解得，或
∵
∴．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时， ， ．也考查了根的判别式．
19. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
（1）直接写出：OA＝ ，OB＝ ；
（2）若点E为x轴上的点，且△AOE∽△DAO．求此时点E的坐标．
【答案】（1）4，3 （2）点E坐标为（，0）或（-，0）．
【解析】
【分析】（1）用因式分解法解出一元二次方程，即可求出OA、OB的长；
（2）设点E的坐标为（m，0），根据相似三角形的性质得到，即可求出|m|的值，进而得到点E的坐标．
【小问1详解】
解：方程x2-7x+12=0，
分解因式得：（x-3）（x-4）=0，
可得：x-3=0，x-4=0，
解得：x1=3，x2=4，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3；
故答案为：4，3；
【小问2详解】
解：设点E的坐标为（m，0），
则OE=|m|，
∵△AOE∽△DAO，
∴，
∴，
∴|m|=，
∴m=±，
∴点E的坐标为：（，0）或（-，0）．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法、相似三角形的性质，掌握因式分解法解一元二次方程和相似三角形的对应边成比例是解决问题的关键．
20. 如图，在四边形中，，对角线平分，过点C作，分别交于点F、E，连接．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据角平分线的定义得到，再根据平行线的性质推出得到，证明得到，则，由此结合即可证明结论；
（2）先利用勾股定理求出，再根据菱形的性质得到，，，得到，由勾股定理得到，可得．
【小问1详解】
证明：∵对角线平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：在中，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，等角对等边，角平分线的定义等等，熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键．
21. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润1200元？
【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元.
【解析】
【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件；
（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．
【详解】（1）若降价3元，则平均每天销售数量20+2×3=26件．
（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．
根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200，
整理，得x2-30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20．
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2=20应舍去，
∴x=10．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．
22. 现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，A袋装有2个白球，1个红球；B袋装有2个红球，1个白球．
（1）将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；
（2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．
【答案】(1)P(摸出白球)＝；(2)这个游戏规则对双方不公平
【解析】
【分析】(1)根据A袋中共有3个球 ，其中2个是白球，直接利用概率公式求解即可；
(2)列表得到所有等可能的结果，然后分别求出小林获胜和小华获胜的概率进行比较即可.
【详解】(1)A袋中共有3个球，其中有2个白球，
∴P(摸出白球)＝；
(2)根据题意，列表如下：
由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色相同的结果有4种，颜色不同的结果有5种，
∴P(颜色相同)＝，P(颜色不同)＝，
∵＜，
∴这个游戏规则对双方不公平.
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，判断游戏的公平性，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23. 如图，小明和小敏准备利用所学的知识测量路灯的高度，小敏把一根长1.5米的竹竿竖直立在水平地面上，小明测得竹竿的影子长为1米，然后小敏拿竹竿向远离路灯方向走了4米()，再把竹竿竖直立在地面上处，小明测得此时竹竿的影长为1.8米，已知成一线，求路灯离地面的高度．

【答案】9米
【解析】
【分析】设，先根据可知，同理可得，再由相似三角形的对应边成比例即可得出h的值．
【详解】解：设，依题意得，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
解得①，
同理，，
∴，
∴，即，
即②，
把①代入②得，
解得：(米)．
答：路灯离地面的高度是9米．
【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定的应用，利用相似三角形的对应边成比例列方程是解题的关键．
24. （1）如图1，在中，，直线过点，分别过、两点作，，垂足分别为、．求证：；
（2）如图2，在中，，是上一点，连接，过作的垂线交于点．若，，，求的长；
（3）如图3，是一个农博园的一块空地示意图，农博园设计部门计划将该空地设计成由两种花卉构成的花园，点在边上，在区域种植郁金香，造价每平方米180元，在其他区域种植孔雀草，造价每平方米100元，根据造型设计要求，，，，米，试求完成这两种鲜花的种植需要的费用为多少元?（结果保留根号）
【答案】（1）见解析；（2）32；（3）元
【解析】
【分析】(1)由直角三角形的性质证得，由相似三角形的判定定理可得出结论；
(2)过点作于点，由相似三角形的性质得出，由锐角三角函数的定义求出，则可求出答案；
(3)过点作于点，过点作，交的延长线于点，证明，由全等的性质得出，， 设，，，由(1)得，得到比例线段，求出，，由平行四边形的面积公式可得结果．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：过点作于点，如图2．
由（1）得，
，即，
，
，，
，
．
（3）解：过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图3．
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
，
，
设，，，
，，
，，，
由（1）得，
，
，
，
，
，即，
，，
，，，，
，
．
．
所需费用为：
（元）．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
红1
红2
白
白1
(白1，红1)
(白1，红2)
(白1，白)
白2
(白2，红1)
(白2，红2)
(白2，白)
红
(红，红1)
(红，红2)
(红，白)