青海省名校联盟2024-2025学年高三上学期期中联考数学试卷(含答案)

这是一份青海省名校联盟2024-2025学年高三上学期期中联考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若一扇形的圆心角的弧度数为2，且该扇形的半径为7，则该扇形的弧长为( )
A.B.C.14D.
2．已知全集，集合，则( )
A.B.C.D.
3．函数的最小正周期为( )
A.4B.C.8D.
4．( )
A.-1B.0C.1D.2
5．将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，且的图像关于点对称，则的最小值为( )
A.1B.2C.3D.4
6．“”是“”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7．已知是奇函数，当时，，则( )
A.-25B.-9C.9D.25
8．若，，，，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列命题是真命题的是( )
A.若，则
B.函数的定义域为
C.若集合A，B满足，则
D.若，则
10．函数与的大致图像可能是( )
A.
B.
C.
D.
11．已知函数的极小值点为1，极小值为.则( )
A.
B.
C.有3个零点
D.直线与的图像仅有1个公共点
三、填空题
12．若钝角满足，则___________.
13．已知函数，若不等式成立，则a的取值范围是_________.
四、双空题
14．已知命题，，则p的否定为_________p为_________.（填入“真”或“假”）命题.
五、解答题
15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求C的大小；
(2)若的面积为，求外接圆的直径.
16．已知函数在上的值域为.
(1)求；
(2)将的图像上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图像，求的解析式与单调递增区间.
17．已知函数.
(1)求的图像在处的切线方程；
(2)若函数，求不等式的解集.
18．某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计6400元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为米，原有墙体足够长.
(1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求a的取值范围.
19．设函数的定义域为D，若，，则称为“循环函数”.
(1)试问函数是否为“循环函数”？说明你的理由.
(2)已知函数，证明：存在常数C，使得为“循环函数”.
(3)已知对任意x，，函数，都满足.
①证明：为“循环函数”.
②若，证明：当时，.
参考答案
1．答案：C
解析：该扇形的弧长为.
故选：C.
2．答案：B
解析：根据题意，集合，
因为
所以.
故选：B
3．答案：D
解析：函数的最小正周期为.
故选：D
4．答案：B
解析：.
故选：B
5．答案：C
解析：由题意得，且，
由，得，
因为
所以的最小值为3.
故选：C.
6．答案：A
解析：由，得，
则，从而.
取，满足
不满足.
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
7．答案：A
解析：由是奇函数，得.
令，得.
所以.
故选：A.
8．答案：D
解析：因为，，
，，
所以，，
所以
，
则.
故选：D
9．答案：ABD
解析：对于A，若，
则，，故A正确.
对于B，函数的定义域为，故B正确.
对于C，若集合A，B满足，则，故C错误.
对于D，若，
则
当且仅当，
即时，等号成立，D正确.
故选：ABD.
10．答案：AC
解析：对于A，当时，单调递增，与y轴交于正半轴，
在R上单调递增，故选项A符合题意.
对于B选项，由指数函数的图像可知
由一次函数的图像可知，则，故B选项不符合题意.
对于C，当时，单调递减，与y轴交于正半轴，
在R上单调递减，C选项符合题意.
对于D选项，由一次函数图像可知
解得，则D选项不符合题意.
故选：AC.
11．答案：ACD
解析：由题意得
则，解得，故A正确.
由，解得，故B错误.
，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递增，
所以的极大值为，
画出草图，所以有3个零点，故C正确；
直线与的图像仅有1个公共点，故D正确.
故选：ACD.
12．答案：5
解析：由题意，
则，所以，
由
解得.
故答案为：5.
13．答案：
解析：设，定义域为R，
则，故是奇函数.
不等式等价于不等式，
即不等式.
因为是奇函数，所以.
因为均是R上的减函数
所以是R上的减函数，
则，即，解得.
则a的取值范围是.
故答案为：.
14．答案：；真
解析：p的否定为，
，是增函数
则，故p为真命题.
故答案为：；真.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，
由正弦定理得，，
不妨设，，
则由余弦定理得，，
又，则.
(2)设外接圆的半径为R，
由题意，，
即，
由(1)知，设，，
则，解得，
则
所以，
则外接圆的直径为.
16．答案：(1)
(2)，单调递增区间为
解析：(1)因为，
所以，
令，
因为，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，，当时，，
所以，且，
所以.
(2)的图像上所有点的横坐标变为原来的可得，
的图像上所有点的纵坐标变为原来两倍可得；
令，
所以，
所以的单调递增区间为
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为
所以，
则，
则的图像在处的切线方程为
即.
(2)
令，则，
由，得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
则.
故当时，
当时，，
从而的解集为.
18．答案：(1)左面墙的长度为10米
(2)
解析：(1)设甲工程队的总报价为y元，
依题意，左、右两面墙的长度均为米，
则长方体前面新建墙体的长度为米，
所以，
即，
当且仅当时，即时，等号成立.
故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为12800元.
(2)由题意可知，，
即
对任意的恒成立，
所以
可得，即.
，
当且仅当时
即时，取最小值36，
则，即a的取值范围是.
19．答案：(1)是，理由见解析
(2)证明见解析
(3)①证明见解析
②证明见解析
解析：(1)，
当
则，
当时，
则.
当时，，；
因此对任意的，都有，
故是“循环函数”.
(2)根据题意可知函数，
显然，，
易知函数的定义域为
要使任意满足，
那么，
因此不妨令，
当时，，
则
所以存在常数，使得为“循环函数”.
(3)证明：由题意得
对x，恒成立，
所以存在常数a，使得.
令，得
解得，.
①由，得为“循环函数”.
②若，则，.
要证明，
所以即证，
即证，
不妨设，
显然，
所以导函数，
显然当时，导函数，此时函数单调递增；
当时，导函数，此时函数单调递减；
所以，
设，
因此，，
显然当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
故,
即，
所以，
即，
即.