高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第2课时教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第2课时教学设计，共12页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时 直线与平面垂直的性质

一、教学目标
1.通过观察探究，进行合情推理发现直线与平面平行的性质定理，并能准确地用数学语言表述该定理；能够对直线与平面平行的性质定理作出严密的逻辑论证，并能进行一些简单的应用．
2.通过直观感知和操作确认的方法，培养和发展学生的几何直觉、运用图形语言进行交流的能力；体会和感受通过自己的观察、操作等活动进行合情推理发现并获得数学结论的过程．
3.通过自主学习、主动参与、积极探究的学习过程，激发学生学习数学的自信心和积极性，培养学生良好的思维习惯，渗透化归与转化的数学思想，体会事物之间相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义思想方法．

二、教学重难点
重点：直线与平面垂直的性质定理．
难点：直线与平面垂直的性质定理的应用．

三、教学过程
（一）创设情境
观看视频，你能举例出生活中可以抽象成多条直线与同一平面垂直的例子吗？(学生举例)
想一想：这些直线会有什么样的位置关系呢？
师生活动：教师展示生活中给我们多条直线与同一平面垂直的实例，让学生也例举生活中的实例. 之后提出问题，引导学生思考如何将其数学化，用数学的语言表示.
设计意图：通过直观观察，操作确认得出线面垂直的位置关系及其性质. 结合身边的事物引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：探究直线与平面垂直的性质
思考：长方体ABCD-A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线与底面ABCD是什么关系？四条侧棱AA′、BB′、CC′、DD′之间是什么关系？垂直于同一直线的两条直线平行．此性质能推广到空间吗？
小组讨论：1.你的猜想是什么？
2.先独立思考证明你的猜想，再以小组讨论分享各自的证明方法.
3.以小组形式汇报展示,其他小组认证倾听之后进行点评.
师生活动：教师引导学生结合直观感知，层层递进，逐步探索，体会数学结论的发现过程，学生根据问题进行直观感知，进而提出合理猜想，并逐步探索，认真思考，画出相应图形，进行观察、感知、猜想. 直观感知→操作确认→逻辑证明→形成经验，要求用语言描述发现的结论，并给出证明，证明方法有多种，在小组中交流分享自己的做法，最后展示汇报.
设计意图：通过对现象的直观感受，得出猜想并用严谨的逻辑语言证明猜想的正确性，最终得到结论，能够让学生感受完成的探究知识的过程，以及得到研究问题的一般方法.
下面我们证明此猜想是否成立．
已知：a⊥α，b⊥α，
求证：a∥b．
方法一
证明：假设a与b不平行，且b∩α=O．显然点O不在直线a上，
所以点O与直线a可确定一个平面，在该平面内过点O作直线b'∥a，则直线b与b'是相交于点O的两条不同直线，
所以直线b与b'可确定平面β，设α∩β=c，则O∈c．
因为a⊥α，b⊥α，所以a⊥c，b⊥c．
这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线b，b'与c垂直，显然不可能．
因此a∥b．
方法二
证明：如图已知a⊥α，b⊥α，b∩α=O，若a与b不平行，
∴设点O与直线a确定平面β，在平面β内过点O作直线b′∥a，
则b′⊥α.
这与过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条矛盾．
a
α
b
b'
O
∴a∥b．
这样，我们得到了直线与平面垂直的一条性质定理：
直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行．
符号语言：若a⊥α，b⊥α，则a∥b．
作用：此定理揭示了“平行”与“垂直”间的一种联系，可以用此定理判定两直线平行.
思考1：在a⊥α的条件下，如果平面α外的直线b与直线a垂直，你能得到什么结论？
答：b∥α．
思考2：在a⊥α的条件下，如果平面β与平面α平行，又能得到什么结论？
答案：a⊥β．
思考3：在证明直线与平面垂直的性质定理时，用到了“平面内，过直线上的一点只有一条直线与已知直线垂直”，那么，在空间内，过直线上的任意一点有多少条直线与已知直线垂直？这些直线之间有什么关系？
答：在空间内，过直线上的任意一点有无数条直线与已知直线垂直，这些直线都在同一平面内，且相交于一点．
师生活动：学生展示后，继续引导学生思考，得到更过垂直与平行之间的联系.加深对性质定理的理解.
设计意图：能够让学生加深对性质定理的理解，从不同的情况得到垂直与平行的关系.
任务2：前面我们已经学习了点到平面的距离，即从平面外一点作一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离称为点到平面的距离．那么，直线与平面的距离如何定义呢？
追问：如果一条直线平行于一个平面，那么这条直线上各点到这个平面的距离有什么关系？为什么？
猜想：如果一条直线平行于一个平面，那么这条直线上各点到这个平面的距离均相等．
下面对猜想进行验证：
探究 已知：直线l与平面α平行．
求证：直线l上各点到平面α的距离相等．
解：过直线l上任意两点A，B分别作平面α的垂线AA1， BB1，垂足分别为A1，B1．
∵AA1⊥α，BB1⊥α，∴AA1∥BB1．
设直线AA1， BB1确定的平面为β，则α∩β=A1B1．
∵l∥α，∴l∥A1B1．
∴四边形AA1B1B是平行四边形．
∴AA1=BB1，由A，B是直线l上任取的两点，即直线l上各点到平面α的距离相等．
由上述结论，我们可以进一步得出，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
师生活动：教师提出问题，师生共同讨论，直观感知和操作确认“如果一条直线平行于一个平面，那么这条直线上各点到这个平面的距离均相等”进而给出两个平行平面间的距离的概念.
设计意图：类比平面几何有关性质，结合直线与平面垂直的性质定理，给出空间类似的性质.
（三）应用举例
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，AD⊥平面ABC，D为FG的中点，且AF＝AG，EF＝EG．求证：BC∥FG．
证明：连接DE，AE，因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥BC．
因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC，
又AD∩AE＝A，所以BC⊥平面ADE．
因为AF＝AG，D为FG的中点，所以AD⊥FG，
同理ED⊥FG，又ED∩AD＝D，
所以FG⊥平面ADE，所以BC∥FG．
总结：利用线面垂直的性质证明线线平行的步骤：
①找到这两条直线垂直的平面；
②证明直线与该平面垂直；
③得出结论．
例2 如图，平面α∩平面β=l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，直线a⊂平面α，α⊥AB.求证：a//l.
证明：∵PA⊥α，l⊂α，∴PA⊥l.
同理PA⊥l.
∵PA∩PB=P，PA,PB⊂平面PAB，
∴l⊥平面PAB.
又∵PA⊥α，a⊂α，∴PA⊥α.
∵a⊥AB，PA∩AB=A，PA,AB⊂平面PAB，
∴a⊥平面PAB.
∴a//l.
总结：利用线面垂直的性质证明线线平行的步骤：
①找到这两条直线垂直的平面；
②证明直线与该平面垂直；
③得出结论．
例3 在正方体ABCD - A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1．

证明：如图所示，连接A1C1，C1D，B1D1，BD．
∵AC∥A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1．
又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，
∴EF⊥平面A1C1D ①．
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，
∴BB1⊥A1C1．
∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴A1C1⊥B1D1，
又B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，
而BD1⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1．同理DC1⊥BD1．
又DC1∩A1C1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D ②．
由①②可知EF∥BD1．
设计意图：让学生灵活运用直线与平面垂直的性质，顺带着复习上一节课的内容直线与平面垂直的判定，在这里也涉及了一条重要的结论，在正方体中，体对角线和不相交的面对角线形成的平面垂直.
总结：线面垂直的性质定理是证明两直线平行的重要依据，证明两直线平行的常用方法：
(1) a∥b，b∥c ⇒a∥c．
(2) a∥α，a⊂β，β∩α=b⇒ a∥b．
(3) α∥β，γ∩α=a，γ∩β=b⇒ a∥b．
(4) a⊥α，b⊥α ⇒ a∥b．
例4 推导棱台的体积公式：V棱台=13ℎS'+SS'+S，其中S'，S分别是棱台的上、下底面面积，ℎ是高．
解：如图，延长棱台各侧棱交于点P，得到截得棱台的棱锥，过点P作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、下底面交于点O'，O，则PO垂直于棱台的上底面，从而O'O=ℎ．
设截得棱台的棱锥的体积为V，去掉的棱锥的体积为V'、高为ℎ'，则PO'=ℎ'．
于是V'=13S'ℎ'，V=13Sℎ'+ℎ．
所以棱台的体积V棱台= V−V'=13Sℎ'+ℎ−13S'ℎ'=13Sℎ+S−S'ℎ'．①
由棱台的上、下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似，并且S'S=ℎ'2ℎ'+ℎ2，
所以ℎ'=S'ℎS−S'．
代入①，得V棱台=13ℎS+S−S'S'ℎS−S'=13ℎS'+SS'+S．
设计意图：通过例题，考查学生对直线与平面垂直的判定定理和性质定理的综合应用，并在此基础上推导之前学习过的棱台的体积公式．
例5 如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，AB=2，AA1=42，E是DD1中点，求点B到平面AC1E的距离.
解：如图所示，作CM⊥AD，交AD延长线于M，
由直四棱柱的特征易知DD1⊥底面ADB，CM⊂面ADB，
所以DD1⊥CM，又DD1∩AD=D，DD1，AD⊂平面ADD1A1，
故CM⊥面ADD1A1，因为底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，AB=2，
所以CM=3，BD=2，AC=23，则AC1=211，EF=1，
易知B，D1到平面的距离相等，设点B到平面AC1E的距离为ℎ，
则VB−AEC1=VD1−AEC1=VC1−AD1E=13CM×12AD×D1E=13ℎ×12EF×AC1，解之得ℎ=26611.
总结：求点面距离的方法：
①直接法：求垂线段长度；
②转移法：求与平面平行的直线上的某一特殊点到平面的距离；
③体积法：利用换底法求三棱锥的体积找到高对应的点面距离.
（四）课堂练习
1.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )
A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C. 若m⊥α，m⊥n，则n//αD. 若m//α，m⊥n，则n⊥α
解：若m//α，n//α，则m，n相交或平行或异面，故A错误；
若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；
若m⊥α，m⊥n，则n//α或n⊂α，故C错误；
若m//α，m⊥n，则n//α或n⊂α或n⊥α或n与α相交，故D错误．
故选：B．
2.已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若m//α，n⊂α，则m//n
B. 若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥β
C. 若m//β，n//β，且m⊂α，n⊂α，则α//β
D. 若m⊥α，n⊥α，则m//n
解：对于A，m//α，n⊂α，则m、n平行或异面，故A错误；
对于B，若α⊥β，α⋂β=m，n⊥m，则n⊂β，n//β或n与β相交(不一定垂直)，故B错误；
对于C，若m//β，n//β，且m⊂α，n⊂α，则α、β平行或相交，故C错误；
对于D，若m⊥α，n⊥α，则m//n，故D正确．
故本题选D．
3.PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：
①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.
其中正确命题的序号是 ．
解：∵PA⊥⊙O所在的平面，BC⊂⊙O所在的平面，
∴PA⊥BC，而BC⊥AC，AC∩PA=A，
∴BC⊥平面PAC．
又∵AF⊂平面PAC，
∴AF⊥BC，故③正确；
∵AF⊥PC，PC∩BC=C，
∴AF⊥平面PBC，而PB⊂平面PBC，
∴AF⊥PB，故①正确;
∵AE⊥PB，AE∩AF=A，
∴PB⊥平面AEF，而EF⊂平面AEF，
∴EF⊥PB，故②正确;
∵AF⊥平面PBC，假设AE⊥平面PBC，
∴AF//AE，显然不成立，故④不正确．
故答案为①②③．
4.如图，在三棱锥P−ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，则点P到BC的距离是 ．
解：如图所示，作PD⊥BC于点D，连接AD．
因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以PA⊥BC．
因为PD∩PA=P，PD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，
所以BC⊥平面PAD，
因为AD⊂平面PAD，
所以AD⊥BC．
在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，
所以AD=4．
在Rt△PAD中，PA=8，AD=4，
所以PD=4 5，
即点P到BC的距离为4 5．
故答案为4 5．
5.已知正三角形A'BC的边长为a，CD是A'B边上的高，E，F分别是A'C，BC的中点，现将三角形A'DC沿CD翻折至ADC的位置，使平面ADC⊥平面BCD，如图所示．
（1）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（2）若三棱锥E−DFC的体积为 324，求实数a的值；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得BP⊥DF？若存在，求出APAC的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）AB//平面DEF.理由如下：
在△ABC中，∵E，F分别是AC，BC的中点，
∴EF//AB，
又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，
∴AB/​/平面DEF；
（2）由题意，得AD⊥CD，∵平面ADC⊥平面BCD，
平面ADC∩平面BCD=CD，AD⊂平面ADC，
∴AD⊥平面BCD，
取CD的中点M，连接EM，则EM/​/AD，
∴EM⊥平面BCD，且EM=a4，
易得S△DFC=12× 3a2×(12×a2)= 3a216，
∵三棱锥E−DFC的体积为 324，
∴13×a4× 3a216= 324，解得a=2；
（3）在线段AC上存在一点P，使得BP⊥DF，理由如下：
易知三角形BDF为正三角形，过B作BK⊥DF交DC于点K，连接KF，过K作KP//DA交AC于点P，连接BP，则点P即所求，
∵AD⊥平面BCD，KP//AD，
∴PK⊥平面BCD，
又DF⊂平面BCD，
∴PK⊥DF，
又BK⊥DF，PK∩BK=K，PK、BK⊂平面PKB，
∴DF⊥平面PKB，
又PB⊂平面PKB，
∴DF⊥PB，
因为∠DBK=∠KBC=∠BCK=30°，∴DK=12KC，
故APPC=DKKC=12，从而APAC=13．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固直线与平面垂直的判定定理，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
1.垂直于同一平面的两条直线平行.
2.如果一条直线平行于一个平面，那么这条直线上各点到这个平面的距离均相等.
设计意图：让学生回顾本节课知识点，建立知识与知识之间的联系，形成自己的知识体系，加深对新知识的理解与认识.