人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第1课时教学设计及反思

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第1课时教学设计及反思，共11页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第1课时 直线与平面垂直的判定

一、教学目标
1.学生通过实例直观感知、探作确认，抽象、归纳出直线与平面垂直的定义；知道点到平面的距腐，直线和平面所成的角的概念，会在具体情境中找出并表示.
2.学生能通过直观感知、操作确认发现直线与平面垂查的判定定理，能在直线与平面垂直的情境中利用定义与判定定理证明直线与平面垂直，能结合直线与平面垂直的判定定理和直线与平面所成角的概念在具体情境中求直线和平面所成的角.
3.学生能理解证明直线与平面内的所有直线垂直，只需证明该直线与这个平面内的两条相交直线垂直即可，了解其中两条相交直线在确定平面中的作用；知道求直线与平面所成的角可转化为求两条特殊直线所成的角等；能认识到 “直线与平面垂直的判定，与 “直线与平面平行的判定〞在知识结构、学习方法等方面的逻辑一致性，体会研究空间位置关系的判定的一般恩路和方法.

二、教学重难点
重点：直线与平面垂直定义的抽象与归纳，以及直线与平面垂直判定定理的发现与验证．
难点：发现并验证直线与平面垂直的判定定理．

三、教学过程
（一）创设情境
观看视频，你能举例出生活中可以抽象成直线与平面垂直的例子吗？(学生举例)
想一想：直线与平面垂直是如何定义的呢？能否把直观的形象数学化？用确切的数学语言刻画直线与平面垂直？
师生活动：教师展示生活中给我们以直线与平面垂直的实例，让学生也例举生活中的实例.之后提出问题，引导学生思考如何将其数学化，用数学的语言表示.
设计意图：通过生活中线面垂直的实例，给学生以线面垂直的直观印象，为后面的学习作铺垫．
（二）探究新知
任务1：探究直线与平面垂直的定义
思考：在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC．随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直？旗杆所在直线AB是否与平面内所有直线垂直？
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报
答：事实上，随着时间的变化，尽管影子BC的位置在不断地变化，但是旗杆AB所在直线始终与影子BC所在直线垂直．也就是说，旗杆AB所在直线与地面上任意一条过点B的直线垂直．对于地面上不过点B的任意一条直线B'C'，总能在地面上找到过点B的一条直线与之平行，根据异面直线垂直的定义，可知旗杆AB所在直线与直线B'C'也垂直．因此，旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直．
说一说：如何定义一条直线与平面垂直呢？
l
答：一般地，如果直线l与平面α内的任何一条直线都垂直，那么称直线l与平面α互相垂直．记作l⊥α．直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点α叫做垂足．
P
α
师生活动：教师提出问题，（可以借助信息技术呈现旗杆影子随时间变化的位置变化），学生容易得出旗杆所在直线与其影子所在直线保持垂直，这也就说明旗杆所再直线和地面所在平面内的无数条直线垂直.对于直线AB与地面上所有直线都垂直，需要将其中的“所有直线”转化为“任意直线”，教师可以引导学生结合头脑中已有的“任意一个数”“任意一个人”等来理解其中“任意”与“所有”的关系.由于对于地面上的任意一条直线，总能找到旗杆的一个影子与之平行，从而其与旗杆所在直线垂直.这样就可以归纳出直线与平面垂直的定义.
思考：如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？
答：不一定.
设计意图：开门见山引入如何用数学语言刻画生活中的直线与平面垂直的问题，既激发学生的学习兴趣，又引导学生通过观察、对比与思考，把直观、模糊的感知抽象化、确切化.接下来“顺势引导”，引导学生抽象概括出直线与平面垂直的定义.再通过正反两方面情况的辨析，让学生直观感知直线与平面垂直时，“任意”不能改为“无数”，即便直线与平面内无数条直线垂直，但只要平面内存在一条直线与之不垂直，就不能说直线与平面垂直，从而加深对直线与平面垂直的定义的理解.
说一说：你能举出生活中可以抽象成直线与平面相交但不垂直的例子吗？
师生活动：让学生举出不垂直的例子.
设计意图：加深对直线与平面垂直定义的理解.
任务2：探究直线与平面垂直的相关结论.
思考：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？
师生活动：教师提出问题，师生共同讨论，直观感知和操作确认“过一点垂直与已知平面的直线有且只有一条”进而给出垂线段、点到平面的距离的概念.顺势介绍在棱锥的体积公式中，棱锥的高就是棱锥的顶点到底面的距离.
设计意图：类比平面几何有关性质，结合直线与平面垂直的定义，给出空间类似的性质，既呼应前面棱锥的高的概念，也为后面“平面与平面垂直的性质”定理后的“探究”做必要的铺垫.
任务3:探究直线与平面垂直的判定.
思考：根据定义，判断直线与平面垂直，需要验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直．类比平面与平面平行的判定定理，有没有判定直线与平面垂直的简单、易行的方法？
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
提示：1.如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直，此直线是否和平面垂直？
2.如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直，此直线是否和平面垂直？
师生活动：教师提出问题，引发学生思考，并类比与直线与平面平行的判定，直接去找平面的直线，给出一条，给出两条，逐一探究，借助长方体，得出最简单易行的办法，并引导学生进行如下探究.
探究：如图，准备一块三角形的纸片ABC，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）．
（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？为什么？
合作探究：
1.先独立思考，动手操作，再小组内讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间2分钟.
答：不一定；
容易发现，AD所在直线与桌面所在平面α垂直的充要条件是折痕AD是BC边上的高，这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD，DC都垂直．
由此，我们可以得出直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与平面垂直．
符号语言：若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，m∩n=P，则l⊥α．
注意：此定理共三个条件，在应用时缺一不可，即：①两线面内，“m⊂α，n⊂α”；②线线垂直，“l⊥m，l⊥n”；③两线相交，“m∩n=P” ．口诀：一垂，二垂，三相交.
作用：在空间中，常用此定理来由“线线垂直”来证明“线面垂直”．
思考：你能结合向量知识解释直线与平面垂直的判定定理吗？
答：如图：两相交直线a，b确定平面α，l⊥m，l⊥n
结合平面向量基本定理可知，平面内的任意一个向量可以由两相交直线a，b的方向向量m，n线性表示，
可得直线l垂直于平面α内任意一个向量，
进而垂直于平面α内任意一条直线，
由直线与平面垂直的定义可得l⊥α．
师生活动：教师引导学生从基本事实的推论2和平面向量基本定理出发，思考两条相交直线可以确定一个平面，并且这两条相交直线可以表示这个平面内的所有直线，因此，一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直时，这条直线就垂直于这个平面，从而对直线和平面垂直的判定定理进一步作出解释.
思考：两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？你能从向量的角度解释原因吗？如果改为“无数条直线”呢？
师生活动：教师提出问题，引导学生进行探究，可以举出反例说明，也可以结合平面向量基本定理说明.
设计意图：引导学生有条理地进行探究.通过实践操作，提出直线和平面垂直的判定定理的猜想.按照课标要求，这一定理在本章不要求证明，二十在选择性必修课程“空间向量于立体几何”中进行证明.但在此处，可以结合实践操作举出反例，以及通过平面向量基本定理基本定理对此判定定理的正确性进行说明.为此，可以在学生探索出判定定理的猜想后，通过追问，提出对此定理进一步解释的问题，以使学生确认此定理的正确性.结合判定定理的得出过程，可以让学生进一步体会直线于平面垂直向直线于直线垂直转化，体会直观感知、操作确认、思辨论证的研究立体几何的一般过程，发展直观想象素养.
任务4：探究直线与平面所成的角.
探究：请你尝试给出直线与平面所成角的定义.

一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
师生活动：教师提出问题，给出斜线的概念.引导学生利用发现，斜线于平面相交的位置关系的不同在于他们对于平面的“倾斜程度不同”.进而给出直线于平面所成角的概念，并用它来刻画斜线和平面的位置关系.
设计意图：引出直线与平面所成的角的概念，同时建立平面的一条斜线在平面上的射影的概念．
追问：直线与平面所成角的取值范围是多少？
答：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°．直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°．
思考：如图，AB是平面α内一条不与直线AO重合的直线，那么直线PA与直线AB所成的角和直线PA与这个平面所成的角的大小关系是什么？
答：解：作OB⊥AB于点B，连接PB．
∵PO是平面α的垂线，∴PO⊥AB．
又OB∩PO=O，∴AB⊥平面PBO．∴AB⊥PB．
于是，sin θ=POPA，sin∠PAB=PBPA．
显然，PB>PO，所以sin∠PAB>sin θ．
而∠PAB，θ都是锐角，所以∠PAB>θ．
结论：直线与平面相交时(不包含垂直)，直线与平面所成的角，是直线与平面内经过斜足的直线所成角中最小的角．
（三）应用举例
例1 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
追问1：你能根据条件于结论画出示意图，写出已知、求证吗？
答：已知a⊥α，a//b
求证：b⊥α．
追问2：结合所画的图形，你认为证明此问题的思路是什么？
证明：在平面内取两条相交直线b⊥α．
∵直线a⊥α,∴a⊥m,a⊥n,
∵b//a,∴b⊥m,b⊥n,
又m⊂α,n⊂α,m,n是两条相交直线，
∴b⊥α.
师生活动：教师要求学生写出已知、求证，并与学生共同分析证明思路：根据直线与平面垂直的判定定理知，只需证明另一条直线垂直于这个平面内的两条相交直线即可.在此问题中，需要构造出平面内的两条相交直线.教师可请一名学生板书，其他学生自己在本上书写证明过程.学生交流，教师反馈，共同完成证明.
追问3：你还有不同的证明方法吗？用直线与平面垂直的定义证明这个例题
师生活动：学生尝试用直线于平面垂直的定义证明这个例题，然后交流.
设计意图：通过例题，巩固直线与平面垂直的判定定理，并结合例题让学生把我判定定理中“两条相交直线”这一关键.通过引导学生从线面垂直的定义出发进行证明的不同证法，让学生在运用不同方法证明的过程中提高思维的灵活性.在这个过程中使学生认识到证明直线与平面垂直一般有两种方法.一种方法是利用直线与平面垂直的定义直接证明，一种方法是利用直线与平面垂直的判定定理证明.
例2 如图所示，Rt△ABC所在平面外一点S，SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点，求证：直线SD⊥平面ABC．
证明：连接BD，
∵SA=SC，点D为AC的中点，∴SD⊥AC．
在Rt△ABC中，∵点D为斜边AC的中点，∴BD=AD．
在△SAD与△SBD中
SA=SBSD=SDAD=BD
∴△SAD≌△SBD（SSS），∴∠SDB=∠SDA=90°，
∴SD⊥BD，
又SD⊥AC，BD∩AC=C，BD、AC都在平面ABC中，
∴SD⊥平面ABC．
总结：应用判定定理证明线面垂直的步骤
①找：在平面内找到或作出两条与已知直线垂直的直线；
②证：证明已知直线垂直于找到(作出)的直线；
③结论：由判定定理得出结论．
例3如图所示，Rt△BMC中，斜边BM=5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值．
解：由题意知，A是M在平面ABC内的射影，
∴MA⊥平面ABC．∴MC在平面CAB内的射影为AC．
∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角．
又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，
∴MC＝BM·sin∠MBC＝5sin 60°＝5×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(5,2)eq \r(3)．
在Rt△MAB中，MA＝eq \r(MB2－BA2)＝eq \r(52－42)＝3．
在Rt△MAC中，sin∠MCA＝eq \f(MA,MC)＝eq \f(3,\f(5,2)\r(3))＝eq \f(2,5)eq \r(3)．即MC与平面CAB所成角的正弦值为eq \f(2,5)eq \r(3)．
总结：求斜线和平面所成的角的步骤
①寻找过直线上一点与平面垂直的直线；
②由垂足和斜足出射影，确定出所求角；
③把该角放入三角形中计算
例4 如图在正方体ABCD−A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角．
分析：关键是找出直线A1B在平面A1DCB1上的射影．
解：连接BC1，B1C，BC1与B1C相交于点O，连接A1O．
设正方体的棱长为a．
∵A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B=B1，
∴A1B1⊥平面BCB1C1．
∴A1B1⊥ BC1．
又BC1⊥B1C，
∴BC1⊥平面A1DCB1．
∴A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角．
在Rt△A1BO中，A1B=2a，BO=22a，
∴BO=12A1B，
∴∠BA1O=30°．
∴直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°．
设计意图：通过例题，考查学生对直线与平面垂直的判定定理的理解即应用，并会求直线与平面所成的角．
总结：求斜线和平面所成的角的步骤
①寻找过直线上一点与平面垂直的直线；
②证明某平面角就是斜线和平面所成角；
③把该角放入三角形中计算．
例5 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．
解：取AA1的中点M，连接EM，BM．因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD．又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，
从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．
设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝eq \r(22＋22＋12)＝3，于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝eq \f(EM,BE)＝eq \f(2,3)，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为eq \f(2,3)．
总结：求斜线和平面所成的角的步骤
①作出一点与平面垂直的直线；
②连接垂足和斜足得出射影，确定出所求角；
③把该角放入三角形中计算．
（四）课堂练习
1.过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC．
（1）若PA=PB=PC，则点O是△ABC的 心．
（2）若PA=PB=PC，∠C=90°，则点O是AB边的 点．
（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都为P，则点O是△ABC的 心．
解：(1)因为斜线长相等，则根据勾股定理可得射影长相等，故O是△ABC的外心；
(2)因为斜线长相等，则根据勾股定理可得射影长相等，故O是△ABC的外心，
再根据直角三角形的外心是斜边的中点，可得O为AB的中点；
(3)连结AO、BO，
由AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC=P，PB、PC⊂平面PBC，
得AP⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，
于是AP⊥BC，
又PO⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，故PO⊥BC，
又AP∩PO=P，AP，PO⊂平面APO，故BC⊥平面APO，
由AO⊂平面APO，可得BC⊥AO；
同理可证AC⊥BO，故O是△ABC的垂心．
故答案为外心；中；垂心．
2.如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点．若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S−EFG中，哪些棱与面互相垂直？
解：因为在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E,SG3⊥G3F，
即SG⊥GE,SG⊥GF,GE∩GF=G，且GE、GF⊂平面EFG，
所以SG⊥平面EFG．
同理有GF⊥平面SGE，GE⊥平面SGF．
3.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，过动点C的直线VC垂直于⊙O所在平面，D，E分别是VA，VC的中点．判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由．
解：直线DE与平面VBC垂直，
理由如下：∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
又∵VC垂直于⊙O所在平面，且AC在⊙O所在平面上，
∴AC⊥VC，
又∵BC∩VC=C，BC、VC⊂平面VBC，
∴AC⊥平面VBC，
又∵D、E分别是VA，VC的中点，
∴DE//AC，
∴DE⊥平面VBC．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固直线与平面垂直的判定定理，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？
1.研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线．这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题，体会了转化与化归的思想．
2.类比平面内两条相交直线所成的角的定义，对空间中两条异面直线所成的角进行定义，进而得出空间两条直线所成的角，理解了知识之间的相互联系．
3.引入异面直线所成的角的概念后，空间中两条直线垂直又可分为相交垂直、异面垂直．
设计意图：让学生回顾本节课知识点，建立知识与知识之间的联系，形成自己的知识体系，加深对新知识的理解与认识.