人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直第1课时教案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直第1课时教案设计，共10页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第1课时 平面与平面垂直的判定

一、教学目标
1.通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程．
2.类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理．
3.通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力．

二、教学重难点
重点：两平面垂直的判定定理．
难点：两平面垂直的判定定理的应用．

三、教学过程
（一）创设情境
观看视频
想一想：如何从数学的观点认识这些现象？为此，我们需要研究两个平面所成的角.
师生活动：教师展示生活中给我们平面与平面成角的实例，引导学生思考如何将其数学化，用数学的语言表示.
设计意图：通过实际的问题背景，让学生感知研究两个平面所成的角的必要性，为讲解新知铺垫．
（二）探究新知
任务1：探究两个平面所形成的角.
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
提示1.直线上一点将直线分割成两部分，每一部分叫什么？平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫什么名称？
2.在平面几何中，我们把“从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角”，你认为二面角如何定义呢？
引入二面角的概念．
一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面．当其中一个半平面绕着这条直线旋转时，两个半平面就形成了一定的“角度”．
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．如图，以直线AB为棱、半平面α，β为面的二面角，记作二面角α−AB−β．有时为了方便，也可以在α，β内（棱以外的半平面部分）分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P−AB−Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α−l−β，P−l−Q．
师生活动：教师引导学生结合之前所学，层层递进，逐步探索，体会数学结论的发现过程，学生根据问题进行直观感知，并逐步探索，认真思考，画出相应图形，进行观察、感知、猜想. 直观感知→操作确认→逻辑证明→形成经验，要求用语言描述发现的结论.
设计意图：通过对现象的直观感受，并尝试用数学的语言描述这个世界，能够让学生感受探究知识的过程，以及得到研究问题的一般方法.
任务2：探究二面角的大小.
常生活中，我们常说：“把门开大一些”是指哪个角大一些？你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？
通过观察可以得到，随着门开口的增大，∠POQ在逐渐的增大，当二面角α−AB−β确定时，∠POQ也随之确定．
在二面角α−l−β的棱l上任取一点O，以点O垂足，在半平面α，β内分别作垂直于棱l的射线OA，OB，则射线OA，OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
追问：∠AOB的大小与点O在直线l上的位置有关吗？为什么？
答案：如图，∠AOB是二面角α−l−β的平面角，在l上任取异于O的点O'，分别作A′O′和B′O′与l垂直．
∵A′O′⊥l，AO⊥l，∴AO∥A′O′，同理BO∥B′O′．
又∠AOB与∠A′O′B′方向相同，∴∠AOB=∠A′O′B′．
故二面角的平面角的大小，与棱上点的选择无关．

思考：二面角的棱与其平面角所在平面之间是什么关系？
答案：如图，∠AOB是二面角α−l−β的平面角，
∴AO⊥l，BO⊥l，
又AO∩BO=O，AO⊂α，BO⊂β，
∴l⊥平面ABO．
思考：二面角的平面角的取值范围是多少？
答案：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．我们约定，二面角α的大小范围是0°≤α≤180°．
当平面角为0°时，两半平面重合；当平面角为180°时，两半平面共面，组成整个平面．
任务3：探究平面与平面垂直的定义.
请你举出生活中面面垂直的例子，并尝试给出平面与平面垂直的定义.
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报
例如墙角：教室的墙面与地面构成二面角，二面角的面：墙面和地面；二面角的棱：墙面与地面的交线；二面角的平面角：如图，∠AOB；∠AOB的度数：90°．
一般地，两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作α⊥β．
注意：画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成互相垂直的．
设计意图：结合实际场景，引出二面角的概念，并进一步讨论二面角的平面角及其取值范围，并用二面角的平面角定义两个平面互相垂直．
探究：除了根据定义外，还有其他方法判断两个平面互相垂直吗？
小组讨论：
1.先独立思考,再以小组讨论分享各自的方法；
2.以小组形式汇报展示,其他小组认证倾听之后进行点评.
建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面，这种方法说明了什么道理？

答案：这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直．
类似的结论也可以在长方体中发现，如上图，在长方体ABCD−A'B'C'D'中，平面ABB'A'经过平面ABCD的一条垂线AA'，此时，平面ABB'A'垂直于平面ABCD．
由此，我们就得到了：
两个平面互相垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．

符号语言：若l⊥α，l⊂β，则α⊥β．
这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直．
思考：你能解释为什么教室的门转到任何位置时，门所在的平面都与地面垂直吗？
答案：不管门如何旋转，门所在的平面始终经过地面的垂线(门轴所在的直线)，由面面垂直的判定定理可得，门所在的平面始终与底面垂直．
设计意图：通过观察生活实例及常见的长方体，让学生理解两个平面互相垂直的判定定理，并用其解释生活中的现象，加深理解．
（三）应用举例
例1 如图，在正方体ABCD − A'B'C'D'中，求证：平面A'BD⊥平面ACC'A'．
分析：证明面面垂直的突破口是什么？把面面垂直转化为线面垂直
证明：∵ABCD −A′B′C′D′是正方形，
∴AA′⊥平面ABCD，
∴AA′⊥BD．
又BD⊥AC，且AC∩AA′=A，
∴BD⊥平面ACC′A′．
∴平面A′BD⊥平面ACC′A′ ．
【总结】
证明面面垂直
方法：定义法；面面垂直判定定理
步骤：❶找线线垂直❷再证线面垂➌最后证面面垂直
例2 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点．求证：平面PAC⊥平面PBC．
分析：证明面面垂直找哪条直线垂直于平面？BC垂直于平面PAC
证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC．
∵点C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB是⊙O的直径，
∴∠BCA =90°，即BC⊥AC．
又 PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
∴BC⊥平面PAC．
又BC⊂平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC．
总结：证明平面与平面垂直的两种常用方法
(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：
①找出两相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，这两个相交平面互相垂直．
(2)利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是：
①定思路：分析题意，根据题目条件选择证明哪个平面的垂线；
②证线面：选择恰当的方法证明线面垂直；
③证面面：根据面面垂直的判定定理证明．
设计意图：通过例题，考查学生对两个平面互相垂直的判定定理的应用，加深对知识的理解．
例3 已知正三棱锥V−ABC的高为3，侧棱长为5，那么侧面与底面所成的二面角的余弦值是
解：方法一：如图，正三棱锥V−ABC的顶点V在底面ABC上的射影为O，连接VO，取AC的中点D，连接VD，BD，则VD⊥AC，BD⊥AC，所以∠VDB为侧面VAC与底面ABC所成的角.因为VO⊥平面ABC，所以VO⊥BD，BO2=VB2−VO2，又VO=3，VB=5，所以BO=4，所以OD=12BO=2，所以cs∠VDB=ODVD=2 32+22=2 1313，即侧面与底面所成的二面角的余弦值是2 1313．
方法二：因为正三棱锥V−ABC的三个侧面在底面上的射影完全相同，都是底面正三角形面积的13，由方法一知VO⊥BD，BO2=VB2−VO2，又VO=3，VB=5，所以BO=4，所以BD=32BO=6，所以AD=23，即S△ABC=123，射影面积为43，侧面面积为S△VAB=43×13×12=239，由csθ=S射影S斜面=43239=21313，即侧面与底面所成的二面角的余弦值是21313．
【总结】
求二面角的大小
求法：定义法
步骤：
❶作：作出二面角的平面角
❷证：证明所作的角满足定义
➌求：放在三角形中计算求出角的大小
关于二面角的一个结论：
设二面角α−l−β的大小为θ(0°≤θ≤90°)，S是α内任一平面图形的面积，它再平面β内的射影的面积为S’，则S’=Scsθ.
（四）课堂练习
1.已知直线m、n，平面α、β，给出下列命题：
①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β ②若m//α，n//β，且m//n，则α//β
③若m⊥α，n//β，且m⊥n，则α⊥β ④若m⊥α，n//β，且m//n，则α//β
其中正确的命题是( )
A. ①③B. ②④C. ③④D. ①
解：①若n⊥β ，且m⊥n，可得出m//β或m⊂β，又m⊥α，故可得到α⊥β，故①正确；
②若m//α，n//β，且m//n，两个面平行于同一直线时，两平面有可能相交，故②错误；
③若m⊥α且m⊥n，可得出n// α或n⊂α，又n//β，故不能得出α⊥β，故③错误；
④若m⊥α且m//n，可得出n⊥α，又n//β，故得出α⊥β，故④错误．
其中正确的命题是①．
故选D．
2.正方形ABCD中，边长为2,O为正方形中心，E为AB的中点，F为CD中点，将▵ABD沿着对角线BD缓慢折起，当∠EOF的余弦值为−13时，二面角A−BD−C的余弦值为( )
A. 12B. 13C. −13D. −12
解：由已知可得，
OA=OB=OC=OD= 2 ， OA⊥BD ， OC⊥BD ，
所以， △AOB ， △COD 均为直角三角形， ∠AOC 即为二面角 A−BD−C 的平面角．
又 E,F 分别是 AB,CD 的中点，
所以， OE=12AB=1 ， OF=12CD=1 ，
且 ∠BOE=∠DOF=45∘ ，
所以， OB⋅OE= 2×1×cs45∘=1 ， OB⋅OF= 2×1×cs135∘=−1 ， OE⋅OF=1×1×cs∠EOF=−13 ．
由 OA+OB=2OE 可得， OA=2OE−OB ．
同理可得， OC=2OF−OD=2OF+OB ．
所以， OA⋅OC=2OE−OB⋅2OF+OB
=4OE⋅OF+2OE⋅OB−2OF⋅OB−OB2
=4×−13+2×1−2×−1− 22=23 ，
所以， cs∠AOC=csOA,OC =OA⋅OCOAOC=23 2× 2=13 ．
故选：B．
3.已知二面角C−AB−C′的大小为45∘，且CC′⊥平面ABC，△ABC的面积为4，则▵ABC′的面积为( )
A. 2 2B. 3 2C. 4 2D. 8 2
解：如图，过点C作CO⊥AB于O，连接C'O，
因C'C⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，则AB⊥C'C，
而C'C∩CO=C，C'C,CO⊂平面C'OC，于是得AB⊥平面C'OC，
显然，C'O⊂平面C′OC，从而有AB⊥C'O，
因此，∠C'OC是二面角C−AB−C′的平面角，即∠C'OC=45∘，
在△C'CO中，C'C⊥CO，则有C′O= 2CO，
所以S△ABC'=12AB⋅C'O=12AB⋅ 2CO= 2S△ABC=4 2，
所以△ABC′的面积是4 2．
故选：C．
4.如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠ADC=60∘，PA=AD=4，E为AD的中点．
(1)求证：平面PCE⊥平面PAD；
(2)求二面角A−PD−C的平面角的正弦值．
解：(1)由题意，因为四边形 ABCD 为菱形，所以 DA=DC ．
连接AC．
因为 ∠ADC=60∘ ，
所以 △ADC 为等边三角形，从而 CA=CD ．
在 △ADC 中， E 是 AD 的中点，
所以 CE⊥AD ．
因为 PA⊥ 平面 ABCD ， CE⊂ 平面 ABCD ，
所以 CE⊥PA ．
∵ PA∩AD=A ， PA⊂ 面 PAD ， AD⊂ 平面 PAD ， CE⊄ 面 PAD ，
∴ EC⊥ 平面 PAD ．
又 CE⊂ 平面 PCE ，
∴平面PCE⊥平面PAD
(2)由题意及(1)得，
在平面 PAD 中，过点 E 作 EM⊥PD ，垂足为 M ，连接 CM ．
因为 EC⊥ 平面 PAD ， PD⊂ 平面 PAD ，所以 EC⊥PD ．
又 EM∩CE=E ， EM⊂ 平面 EMC ， CE⊂ 平面 EMC ，所以 PD⊥ 平面 EMC ．
又 CM⊂ 平面 EMC ，所以 PD⊥CM ，
从而 ∠EMC 是二面角 APDC 的平面角．
在Rt △EMD 中， ED=2 ， ∠ADP=45∘ ，
所以 EM=MD= 2 .在Rt △CMD 中， MD= 2 ， CD=4 ，
所以 CM= CD2−MD2= 14 ．
在Rt △CME 中，
CE=2 3,sin∠EMC=CECM=2 3 14= 427 ，
所以二面角 APDC 的平面角的正弦值为 427 ．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固平面与平面垂直的判定定理，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？
1.如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．
2.判定两个平面垂直的方法：①利用定义，证明二面角为直角；②利用判定定理．
设计意图：让学生回顾本节课知识点，建立知识与知识之间的联系，形成自己的知识体系，加深对新知识的理解与认识.