2025高考数学一轮复习-8.8-双曲线-第二课时-专项训练模拟练习【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-8.8-双曲线-第二课时-专项训练模拟练习【含解析】，共14页。
一、单选题
1．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的一条渐近线方程是y＝eq \r(2)x，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过点F2且垂直于x轴的垂线在x轴上方交双曲线C于点M，则tan∠MF1F2＝( )
A.eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(2),3)
C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),3)
2．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M，直线MF与另一渐近线交于点N，若M是FN的中点，则双曲线的离心率为( )
A.eq \r(2) B．2
C．eq \r(3) D．3
3．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，F1、F2分别为左、右焦点，点P在双曲线上，PF1⊥PF2，P到左焦点F1的距离是P到右焦点F2的距离的3倍，则双曲线的离心率是( )
A.eq \r(2) B．eq \f(\r(10),2)
C．2 D．eq \r(10)
4．已知F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F作x轴的垂线与双曲线及它的渐近线在第一象限内依次交于点A和点B.若|AB|＝|AF|，则双曲线C的渐近线方程为( )
A.eq \r(3)x±y＝0 B．x±eq \r(3)y＝0
C.eq \r(2)x±y＝0 D．x±eq \r(2)y＝0
5．设O为坐标原点，F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，已知双曲线C的离心率为eq \r(3)，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，则eq \f(|PF1|,|OP|)＝( )
A.eq \r(6) B．2
C．eq \r(3) D．eq \f(\r(6),2)
6．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，以F为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线的两个交点为A，B.若∠AFB＝60°，则该双曲线的离心率为( )
A.eq \f(\r(6),2) B．eq \f(\r(5),2)
C．eq \f(\r(7),2) D．eq \f(4,3)
7．已知F1，F2是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，以F2为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点，若|AB|>eq \f(|F1F2|,3)，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(3\r(5),5))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(5),5)，＋∞))
C．(1，eq \r(3)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3\r(5),5)))
8．设直线y＝kx与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)相交于A，B两点，P为C上不同于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若C的离心率为eq \r(2)，则k1·k2＝( )
A．3 B．1
C．2 D．eq \r(3)
二、多选题
9．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,a2＋3)＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2eq \r(5)，点P是C上一点，则( )
A．C的离心率为eq \r(5)
B．若PF1⊥x轴，则|PF1|＝8
C．若|PF1|＝2|PF2|，则|PO|＝eq \r(5)(其中O为坐标原点)
D．点P到C的两条渐近线的距离之积为eq \f(4,5)
10．已知双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，过其右焦点F的直线l与双曲线交于A，B两个不同的点，则下列结论正确的为( )
A．|AB|的最小值为eq \f(32,3)
B．以F为焦点的抛物线的标准方程为y2＝20x
C．满足|AB|＝2的直线有3条
D．若A，B同在双曲线的右支上，则直线l的斜率k∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(4,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞))
三、填空题
11．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的焦距为10，点P(2,1)在其渐近线上，则双曲线方程为 .
12．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1(－c,0)，坐标原点为O，若在双曲线右支上存在一点P满足|PF1|＝eq \r(3)c，且|PO|＝c，则双曲线C的离心率为 .
13．记双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值 .
四、解答题
14．已知过点P(2,0)的直线l1与双曲线C：eq \f(x2,2)－y2＝1的左右两支分别交于A、B两点．求直线l1的斜率k的取值范围．
15．双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)经过点(eq \r(3)，1)，且渐近线方程为y＝±x.
(1)求a，b的值；
(2)点A，B，D是双曲线C上不同的三点，且B，D两点关于y轴对称，△ABD的外接圆经过原点O.求证：直线AB与圆x2＋y2＝1相切．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c,0)作其渐近线的垂线，垂足为点T，交双曲线C的左支于点P，若eq \(FP,\s\up6(→))＝2eq \(FT,\s\up6(→))，则双曲线C的离心率为( )
A.eq \r(3) B．eq \r(5)
C．3 D．5
2．(多选题)已知双曲线C：x2－eq \f(y2,3)＝1，F1，F2为双曲线的左、右焦点，若直线l过点F2，且与双曲线的右支交于M，N两点，下列说法正确的是( )
A．双曲线C的离心率为eq \r(3)
B．若l的斜率为2，则MN的中点为(8,12)
C．若∠F1MF2＝eq \f(π,3)，则△MF1F2的面积为3eq \r(3)
D．使△MNF1为等腰三角形的直线l有3条
3.如图，已知双曲线M：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，正六边形ABF2CDF1的一边AF1的中点恰好在双曲线M上，则双曲线M的离心率是 .
5．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为2eq \r(6)，且焦点到渐近线的距离为1.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：△OPQ的面积为定值．
参考答案
【A级 基础巩固】
一、单选题
1．( D )[解析] 因为该双曲线的一条渐近线方程是y＝eq \r(2)x，则eq \f(b,a)＝eq \r(2)，结合c2＝a2＋b2，可得eq \f(b,c)＝eq \r(\f(2,3)).又Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，所以tan∠MF1F2＝eq \f(b2,2ac)＝eq \f(1,2)·eq \f(b,a)·eq \f(b,c)＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \r(\f(2,3))＝eq \f(\r(3),3).
2．( B )[解析] 如图所示，由题意可知，∠AOF＝∠COF1，又因为若M是FN的中点，OM⊥FN，所以∠AOF＝∠AOC，所以3∠AOF＝π，∠AOF＝eq \f(π,3)，根据双曲线的性质，双曲线的渐近线方程为：y＝±eq \f(b,a)x，OF＝c，tan∠AOF＝eq \f(b,a)，所以eq \f(b,a)＝eq \r(3)，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝2.故选B.
3．( B )[解析] 设双曲线C的半焦距为c>0，由题意可知：|PF1|＝3|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2|PF2|＝2a，可得|PF1|＝3|PF2|＝3a，因为PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即9a2＋a2＝4c2，整理得eq \f(c2,a2)＝eq \f(5,2)，所以双曲线的离心率是e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \f(\r(10),2).故选B.
4．( B )[解析] 由题意得F(c,0)，双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x.设点A，B的纵坐标依次为y1，y2，因为eq \f(c2,a2)－eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1，所以y1＝eq \f(b2,a)，所以|AF|＝eq \f(b2,a).因为y2＝eq \f(bc,a)，所以|BF|＝eq \f(bc,a).因为|AB|＝|AF|，所以eq \f(bc,a)＝eq \f(2b2,a)，得c＝2b，所以a＝eq \r(c2－b2)＝eq \r(3)b，故eq \f(b,a)＝eq \f(1,\r(3))，双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(1,\r(3))x，即x±eq \r(3)y＝0，故选B.
5．( A )[解析] 不妨设a＝1，c＝eq \r(3)，b＝eq \r(2)，则|PF2|＝b＝eq \r(2)，|OP|＝a＝1，cs∠POF2＝eq \f(\r(3),3)，cs∠POF1＝－eq \f(\r(3),3).由余弦定理可得，|PF1|2＝|OF1|2＋|OP|2－2|OF1|·|OP|·cs∠F1OP＝3＋1－2×eq \r(3)×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)))＝6，所以|PF1|＝eq \r(6)，所以eq \f(|PF1|,|OP|)＝eq \r(6).故选A.
6．( C )[解析] 由题意知F(c,0)到直线bx－ay＝0的距离为eq \f(\r(3)a,2)，所以eq \f(bc,\r(a2＋b2))＝eq \f(\r(3)a,2)，因为a2＋b2＝c2，所以b＝eq \f(\r(3)a,2)，c2＝eq \f(7,4)a2，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),2).故选C.
7．( D )[解析] 焦点F2(c,0)到渐近线y＝±eq \f(b,a)x的距离为d＝eq \f(|cb|,\r(a2＋b2))＝b，所以|AB|＝2eq \r(a2－b2)，因为|AB|>eq \f(2c,3)，即2eq \r(a2－b2)>eq \f(2c,3)，∴9(a2－b2)>c2.解得e20)的离心率为e，e＝eq \f(c,a)，双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，直线y＝2x与C无公共点，可得eq \f(b,a)≤2，即eq \f(b2,a2)≤4，即eq \f(c2－a2,a2)≤4，可得10，,t2－2≠0，,y1y2>0，))又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝\f(－4t,t2－2)，,y1y2＝\f(2,t2－2)，))
所以eq \f(2,t2－2)>0，解得t2>2，即eq \f(1,k2)>2，所以k2