专题18 万有引力与航天（三）- 【真题汇编】最新10年（2014-2023）高考物理真题分项汇编（全国通用）

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最新10年（2014-2023）高考物理真题分项汇编
专题18 万有引力与航天（三）
二、多选题
77．（2023·海南）如图所示，1、2轨道分别是天宫二号飞船在变轨前后的轨道，下列说法正确的是（ ）

A．飞船从1轨道变到2轨道要点火加速B．飞船在1轨道周期大于2轨道周期
C．飞船在1轨道速度大于2轨道D．飞船在1轨道加速度大于2轨道
【答案】ACD
【解析】A．飞船从较低的轨道1进入较高的轨道2要进行加速做离心运动才能完成，选项A正确；
BCD．根据
可得
可知飞船在轨道1的周期小于在轨道2的周期，在轨道1的速度大于在轨道2的速度，在轨道1的加速度大于在轨道2的加速度，故选项B错误，CD正确。
故选ACD。
78．（2022·重庆）我国载人航天事业已迈入“空间站时代”。若中国空间站绕地球近似做匀速圆周运动，运行周期为T，轨道半径约为地球半径的倍，已知地球半径为R，引力常量为G，忽略地球自转的影响，则（ ）
A．漂浮在空间站中的宇航员不受地球的引力
B．空间站绕地球运动的线速度大小约为
C．地球的平均密度约为
D．空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的倍
【答案】BD
【解析】A．漂浮在空间站中的宇航员依然受地球的引力，所受引力提供向心力做匀速圆周运动而处于完全失重，视重为零，故A错误；
B．根据匀速圆周运动的规律，可知空间站绕地球运动的线速度大小约为
故B正确；
C．设空间站的质量为，其所受万有引力提供向心力，有
则地球的平均密度约为
故C错误；
D．根据万有引力提供向心力，有
则空间站绕地球运动的向心加速度大小为
地表的重力加速度为
可得
即空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的倍，故D正确。
故选BD。
79．（2022·海南）火星与地球的质量比为a，半径比为b，则它们的第一宇宙速度之比和表面的重力加速度之比分别是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】由可得
知
由
结合
可得
知
故BC正确，AD错误。
故选BC。
80．（2022·辽宁）如图所示，行星绕太阳的公转可以看成匀速圆周运动。在地图上容易测得地球—水星连线与地球—太阳连线夹角，地球—金星连线与地球—太阳连线夹角，两角最大值分别为、。则（ ）
A．水星的公转周期比金星的大
B．水星的公转向心加速度比金星的大
C．水星与金星的公转轨道半径之比为
D．水星与金星的公转线速度之比为
【答案】BC
【解析】AB．根据万有引力提供向心力有
可得
因为水星的公转半径比金星小，故可知水星的公转周期比金星小；水星的公转向心加速度比金星的大，故A错误，B正确；
C．设水星的公转半径为，地球的公转半径为，当α角最大时有
同理可知有
所以水星与金星的公转半径之比为
故C正确；
D．根据
可得
结合前面的分析可得
故D错误；
故选BC。
81．（2022·湖南）如图，火星与地球近似在同一平面内，绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的轨道半径大约是地球的1.5倍。地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动，称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行。当火星、地球、太阳三者在同一直线上，且太阳和火星位于地球两侧时，称为火星冲日。忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是（ ）
A．火星的公转周期大约是地球的倍
B．在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行
C．在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为逆行
D．在冲日处，火星相对于地球的速度最小
【答案】CD
【解析】A．由题意根据开普勒第三定律可知
火星轨道半径大约是地球轨道半径的1.5倍，则可得
故A错误；
BC．根据
可得
由于火星轨道半径大于地球轨道半径，故火星运行线速度小于地球运行线速度，所以在冲日处火星相对于地球由东向西运动，为逆行，故B错误，C正确；
D．由于火星和地球运动的线速度大小不变，在冲日处火星和地球速度方向相同，故相对速度最小，故D正确。
故选CD。
82．（2021·重庆）2021年5月15日“祝融号”火星车成功着陆火星表面，是我国航天事业发展中具有里程碑意义的进展。此前我国“玉兔二号”月球车首次实现月球背面软着陆，若“祝融号”的质量是“玉兔二号”的K倍，火星的质量是月球的N倍，火星的半径是月球的P倍，火星与月球均视为球体，则（ ）
A．火星的平均密度是月球的倍
B．火星的第一宇宙速度是月球的倍
C．火星的重力加速度大小是月球表面的倍
D．火星对“祝融号”引力的大小是月球对“玉兔二号”引力的倍
【答案】AD
【解析】A．根据密度的定义有
体积
可知火星的平均密度与月球的平均密度之比为
即火星的平均密度是月球的倍，故A正确；
BC．由
可知火星的重力加速度与月球表面的重力加速度之比为
即火星的重力加速度是月球表面的重力加速度的，由
可知火星的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为
故BC错误；
D．由万有引力定律
可知火星对“祝融号”引力大小与月球对“玉兔二号”引力大小之比为
即火星对“祝融号”引力大小是月球对“玉兔二号”引力大小的倍，故D正确。
故选AD。
83．（2021·福建）两位科学家因为在银河系中心发现了一个超大质量的致密天体而获得了2020年诺贝尔物理学奖。他们对一颗靠近银河系中心的恒星的位置变化进行了持续观测，记录到的的椭圆轨道如图所示。图中O为椭圆的一个焦点，椭圆偏心率（离心率）约为0.87。P、Q分别为轨道的远银心点和近银心点，Q与O的距离约为（太阳到地球的距离为），的运行周期约为16年。假设的运动轨迹主要受银河系中心致密天体的万有引力影响，根据上述数据及日常的天文知识，可以推出（ ）
A．与银河系中心致密天体的质量之比
B．银河系中心致密天体与太阳的质量之比
C．在P点与Q点的速度大小之比
D．在P点与Q点的加速度大小之比
【答案】BCD
【解析】A．设椭圆的长轴为2a，两焦点的距离为2c，则偏心率
且由题知，Q与O的距离约为，即
由此可得出a与c，由于是围绕致密天体运动，根据万有定律，可知无法求出两者的质量之比，故A错误；
B．根据开普勒第三定律有
式中k是与中心天体的质量M有关，且与M成正比；所以，对是围绕致密天体运动有
对地球围绕太阳运动有
两式相比，可得
因的半长轴a、周期，日地之间的距离，地球围绕太阳运动的周期都已知，故由上式，可以求出银河系中心致密天体与太阳的质量之比，故B正确；
C．根据开普勒第二定律有
解得
因a、c已求出，故可以求出在P点与Q点的速度大小之比，故C正确；
D．不管是在P点，还是在Q点，都只受致密天体的万有引力作用，根据牛顿第二定律有
解得
因P点到O点的距离为a+c,，Q点到O点的距离为a-c，解得
因a、c已求出，故在P点与Q点的加速度大小之比，故D正确。
故选BCD。
84．（2021·辽宁）2021年2月，我国首个火星探测器“天问一号”实现了对火星的环绕。若已知该探测器在近火星圆轨道与在近地球圆轨道运行的速率比和周期比，则可求出火星与地球的（ ）
A．半径比B．质量比
C．自转角速度比D．公转轨道半径比
【答案】AB
【解析】A．探测器在近火星轨道和近地轨道做圆周运动，根据
可知
若已知探测器在近火星轨道和近地轨道的速率比和周期比，则可求得探测器的运行半径比；又由于探测器在近火星轨道和近地轨道运行，轨道半径近似等于火星和地球的半径比，故A正确；
B．根据万有引力提供向心力有
可得
结合A选项分析可知可以求得火星和地球的质量之比，故B正确
C．由于探测器运行的周期之比不是火星或地球的自转周期之比，故不能求得火星和地球的自转角速度之比；故C错误；
D．由于题目中我们只能求出火星和地球的质量之比和星球半径之比，根据现有条件不能求出火星和地球的公转半径之比，故D错误。
故选AB。
85．（2021·湖南）2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，准确进入预定轨道。根据任务安排，后续将发射问天实验舱和梦天实验舱，计划2022年完成空间站在轨建造。核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径的。下列说法正确的是（ ）
A．核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的倍
B．核心舱在轨道上飞行的速度大于
C．核心舱在轨道上飞行的周期小于
D．后续加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小
【答案】AC
【解析】A．根据万有引力定律有
核心舱进入轨道后的万有引力与地面上万有引力之比为
所以A正确；
B．核心舱在轨道上飞行的速度小于7.9km/s，因为第一宇宙速度是最大的环绕速度，所以B错误；
C．根据
可知轨道半径越大周期越大，则其周期比同步卫星的周期小，小于24h，所以C正确；
D．卫星做圆周运动时万有引力提供向心力有
解得
则卫星的环绕速度与卫星的质量无关，所以变轨时需要点火减速或者点火加速，增加质量不会改变轨道半径，所以D错误；
故选AC。
86．（2017·北京）利用引力常量G和下列数据，能计算出地球质量的是（ ）
A．地球半径R和表面重力加速度g（忽略地球自转）
B．人造卫星绕地球做圆周运动的速度v和周期T
C．月球绕地球做圆周运动的周期T及月球与地心间的距离r
D．地球绕太阳做圆周运动的周期T及地球与太阳间的距离r
【答案】ABC
【解析】A．地球表面的物体的重力等于其所受地球的万有引力（忽略地球自转），即
则地球的质量为
所以A正确；
B．人造卫星所受地球的万有引力提供其做圆周运动的向心力，即
又
可得地球的质量为
所以B正确；
C．月球绕地球做圆周运动的向心力由其受到地球的万有引力提供，即
则地球的质量为
所以C正确；
D．与C选项分析类似，地球绕太阳做圆周运动的向心力由太阳的万有引力提供，则
可求得太阳的质量为
不能求出地球的质量，所以D错误。
故选ABC。
87．（2020·江苏）甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有（ ）
A．由可知，甲的速度是乙的倍
B．由可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C．由可知，甲的向心力是乙的
D．由可知，甲的周期是乙的倍
【答案】CD
【解析】卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，则
A．因为在不同轨道上g是不一样的，故不能根据得出甲乙速度的关系，卫星的运行线速度
代入数据可得
故A错误；
B．因为在不同轨道上两卫星的角速度不一样，故不能根据得出两卫星加速度的关系，卫星的运行加速度
代入数据可得
故B错误；
C．根据，两颗人造卫星质量相等，可得
故C正确；
D．两卫星均绕地球做圆周运动，根据开普勒第三定律，可得
故D正确。
故选CD。
88．（2019·全国）在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示．在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a–x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体．已知星球M的半径是星球N的3倍，则
A．M与N的密度相等
B．Q的质量是P的3倍
C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
【答案】AC
【解析】A、由a-x图象可知，加速度沿竖直向下方向为正方向，根据牛顿第二定律有：，变形式为：，该图象的斜率为，纵轴截距为重力加速度．根据图象的纵轴截距可知，两星球表面的重力加速度之比为：；又因为在某星球表面上的物体，所受重力和万有引力相等，即：，即该星球的质量．又因为：，联立得．故两星球的密度之比为：，故A正确；
B、当物体在弹簧上运动过程中，加速度为0的一瞬间，其所受弹力和重力二力平衡，，即：；结合a-x图象可知，当物体P和物体Q分别处于平衡位置时，弹簧的压缩量之比为：，故物体P和物体Q的质量之比为：，故B错误；
C、物体P和物体Q分别处于各自的平衡位置（a=0）时，它们的动能最大；根据，结合a-x图象面积的物理意义可知：物体P的最大速度满足，物体Q的最大速度满足：，则两物体的最大动能之比：，C正确；
D、物体P和物体Q分别在弹簧上做简谐运动，由平衡位置（a=0）可知，物体P和Q振动的振幅A分别为和，即物体P所在弹簧最大压缩量为2，物体Q所在弹簧最大压缩量为4，则Q下落过程中，弹簧最大压缩量时P物体最大压缩量的2倍，D错误；
故本题选AC．
89．（2015·全国）我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4m高处做一次悬停（可认为是相对于月球静止）；最后关闭发动机，探测器自由下落．已知探测器的质量约为1.3×103kg，地球质量约为月球的81倍，地球半径为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8m/s2。则次探测器（ ）
A．在着陆前瞬间，速度大小约为8.9m/s
B．悬停时受到的反冲作用力约为2×103N
C．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒
D．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度
【答案】BD
【解析】A．根据万有引力等于重力
可得重力加速度
地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8m/s2，所以月球表面的重力加速度大小约为
根据运动学公式得在着陆前的瞬间，速度大小约
故A错误；
B．登月探测器悬停时，二力平衡
F=mg′=1.3×103×1.66≈2×103N
故B正确；
C．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，有外力做功，机械能不守恒，故C错误；
D．根据，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，所以在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度，故D正确；
故选BD．
【点睛】解答本题要知道除重力以外的力对物体做功等于物体机械能的变化量，月球重力加速度约为地球重力加速度的1/6，关于万有引力的应用中，常用公式是在地球表面重力等于万有引力，卫星绕地球做圆周运动万有引力提供圆周运动向心力.
90．（2018·天津）2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看作是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的（ ）
A．密度B．向心力的大小C．离地高度D．线速度的大小
【答案】CD
【解析】AB．根据题意，已知卫星运动的周期T，地球的半径R，地球表面的重力加速度g，卫星受到的外有引力充当向心力，故有
卫星的质量被抵消，则不能计算卫星的密度，更不能计算卫星的向心力大小，AB错误；
C．由
，G=mg
解得
而
故可计算卫星距离地球表面的高度，C正确；
D．根据公式
由选项C可知，轨道半径可以求出，周期已知，故可以计算出卫星绕地球运动的线速度，D正确。
故选CD。
【点睛】解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1．万有引力等于重力（忽略自转），2．万有引力提供向心力，并能灵活运用。
91．（2018·全国）2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星（ ）
A．质量之积B．质量之和
C．速率之和D．各自的自转角速度
【答案】BC
【解析】AB．双中子星做匀速圆周运动的频率f=12Hz（周期），由万有引力等于向心力，可得
，
r1+r2=r=400km
联立解得
选项B正确A错误；
C．由可得
选项C正确；
D．不能得出各自自转的角速度，选项D错误。
【点睛】此题以最新科学发现为情景，考查天体运动、万有引力定律等。
92．（2016·海南）通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量．假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量．这两个物理量可以是
A．卫星的速度和角速度
B．卫星的质量和轨道半径
C．卫星的质量和角速度
D．卫星的运行周期和轨道半径
【答案】AD
【解析】试题分析：卫星围绕冥王星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，已知卫星的速度和角速度，则轨道半径，根据即可求解冥王星质量M，故A正确；根据可知，卫星的质量可以约去，只知道半径不能求出冥王星质量，故B错误；根据可知，卫星的质量可以约去，只知道角速度不能求出冥王星质量，故C错误；根据可知，知道卫星的运行周期和轨道半径可求解冥王星质量M，故D正确；故选AD．
考点：万有引力定律的应用
93．（2015·天津）P1、P2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星S1、S2做匀速圆周运动，图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a，横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方，两条曲线分别表示 P1、P2周围的a与r2的反比关系，它们左端点横坐标相同，则（ ）
A．P1的平均密度比P2的大
B．P1的第一宇宙速度比 P2的小
C．S1的向心加速度比S2的大
D．S1的公转周期比S2的大
【答案】AC
【解析】A．由图可加速度从同一横坐标值开始产生，说明两行星的球体半径相同，对行星周围空间各处物体来说，万有引力提供加速度，故有
故可知P1的质量比P2的大，即P1的平均密度比P2的大，故A正确；
B．由上式知，当等于行星球半径时，等于行星表面重力加速度，则P1表面的重力加速比P2的大，由
得第一宇宙速度为
可知，的第一宇宙速度比的大，故B错误；
C．对卫星而言，万有引力提供向心加速度，即
故可知，S1的向心加速度比S2的大，故C正确；
D．根据
可知，S1的公转周期比S2的小，故D错误。
故选AC。
三、填空题
94．（2023·上海）假设月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，月球到地心的距离为r，则月球的线速度v=_____________；若已月球的质量为m，则地球对月球的引力F = _____________。
【答案】
【解析】[1]根据角速度和周期的关系有
再根据线速度和角速度的关系有
[2] 月球绕地球做匀速圆周运动有
95．（2017·天津）我国自主研制的首艘货运飞船“天舟一号”发射升空后，与已经在轨运行的“天宫二号”成功对接形成组合体．假设组合体在距地面高度为h的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动，已知地球的半径为R，地球表面处重力加速度为g，且不考虑地球自转的影响．则组合体运动的线速度大小为__________，向心加速度大小为___________。
【答案】
【解析】在地球表面的物体受到的重力等于万有引力，有：，得地球质量为
根据万有引力提供向心力有，解得组合体运动的线速度大小为 ，加速度
96．（2016·上海）两颗卫星绕地球运行的周期之比为27:1，则它们的角速度之比为__________，轨道半径之比为___________。
【答案】1:27；9:1
【解析】[1]．根据题意，卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星的运行角速度与周期关系为：，即角速度与周期成反比，则
；
[2]．两颗卫星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有：
即
所以有：
．
【考点定位】圆周运动关系、万有引力定律
【方法技巧】先通过圆周运动关系分析两颗卫星的角速度关系，再通过万有引力关系，计算轨道半径关系．
97．（2015·上海）两靠得较近的天体组成的系统成为双星，它们以两者连线上某点为圆心做匀速圆周运动，因而不至于由于引力作用而吸引在一起．设两天体的质量分别为和，则它们的轨道半径之比__________；速度之比__________．
【答案】；
【解析】设和的轨道半径分别为，角速度为，由万有引力定律和向心力公式：
得
由得：
【点睛】解决本题的关键掌握双星模型系统，知道它们靠相互间的万有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等
四、解答题
98．（2022·北京）利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。
（1）某质量为m的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，在近日点速度为v1，在远日点速度为v2。求从近日点到远日点过程中太阳对行星所做的功W；
（2）设行星与恒星的距离为r，请根据开普勒第三定律（）及向心力相关知识，证明恒星对行星的作用力F与r的平方成反比；
（3）宇宙中某恒星质量是太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍。设想地球“流浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕太阳公转的周期为T1，绕此恒星公转的周期为T2，求。
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【解析】（1）根据动能定理有
（2）设行星绕恒星做匀速圆周运动，行星的质量为m，运动半径为r，运动速度大小为v。恒星对行星的作用力F提供向心力，则
运动周期
根据开普勒第三定律，k为常量，得
即恒星对行星的作用力F与r的平方成反比。
（3）假定恒星的能量辐射各向均匀，地球绕恒星做半径为r的圆周运动，恒星单位时间内向外辐射的能量为P0。以恒星为球心，以r为半径的球面上，单位面积单位时间接受到的辐射能量
设地球绕太阳公转半径为r1在新轨道上公转半径为r2。地球在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样，必须满足P不变，由于恒星单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍，得
r2 = 4r1
设恒星质量为M，地球在轨道上运行周期为T，万有引力提供向心力，有
解得
由于恒星质量是太阳质量的2倍，得
99．（2022·江苏）在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略，空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L，如题图1所示，机械臂一端固定在空间站上的O点，另一端抓住质量为m的货物，在机械臂的操控下，货物先绕O点做半径为、角速度为的匀速圆周运动，运动到A点停下，然后在机械臂操控下，货物从A点由静止开始做匀加速直线运动，经时间t到达B点，A、B间的距离为L。
（1）求货物做匀速圆周运动时受到合力提供的向心力大小；
（2）求货物运动到B点时机械臂对其做功的瞬时功率P。
（3）在机械臂作用下，货物、空间站和地球的位置如题图2所示，它们在同一直线上，货物与空间站同步做匀速圆周运动，已知空间站轨道半径为r，货物与空间站中心的距离为d，忽略空间站对货物的引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）质量为的货物绕点做匀速圆周运动，半径为，根据牛顿第二定律可知
（2）货物从静止开始以加速度做匀加速直线运动，根据运动学公式可知
解得
货物到达点时的速度大小为
货物在机械臂的作用下在水平方向上做匀加速直线运动，机械臂对货物的作用力即为货物所受合力，所以经过时间，货物运动到点时机械臂对其做功的瞬时功率为
（3）空间站和货物同轴转动，角速度相同，对质量为空间站，质量为的地球提供向心力
解得
货物在机械臂的作用力和万有引力的作用下做匀速圆周运动，则
货物受到的万有引力
解得机械臂对货物的作用力大小为
则
100．（2014·重庆）图为“嫦娥三号”探测器在月球上着陆最后阶段的示意图，首先在发动机作用下，探测器受到推力在距月球高度为处悬停（速度为0，远小于月球半径）；接着推力改变，探测器开始竖直下降，到达距月面高度为处的速度为，此后发动机关闭，探测器仅受重力下落至月面。已知探测器总质量为（不包括燃料），地球和月球的半径比为，质量比为，地球表面附近的重力加速度为，求：
（1）月球表面附近的重力加速度大小及探测器刚接触月面时的速度大小；
（2）从开始竖直下降到刚接触月面时，探测器机械能的变化。
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）设地球质量和半径分别为和，月球的质量、半径和表面附近的重力加速度分别为、、和，探测器刚接触月面时的速度大小为，在星球表面根据万有引力近似等于重力，即
解得
由根据速度位移公式
解得
（2）设机械能变化量为，动能变化量为，重力势能变化量为，由能量守恒定律
有
解得