人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算教学设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算教学设计，共9页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

一、教学目标
1.理解并掌握导数的和、差、积、商的运算法则；
2.能利用导数的四则运算法则求函数的导数；
3.会利用导数的四则运算法则进行简单的应用.

二、教学重难点
重点：两个函数的和、差、积、商的求导法则及其应用.
难点：综合运用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求函数的导数.

三、教学过程
（一）复习导入
师生活动：教师提出问题，请学生回答，后教师点评总结.
思考1：函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1x，y=x的导数分别是什么？
答：几个常用函数的导数分别为：
思考2：基本初等函数的导数公式是什么？
答：基本初等函数的导数公式为：
思考3：在上节课的例2中，当p0=5时，p(t)=5×1.05t.这时，求p关于t的导数可以看成求函数f(t)=5与g(t)=1.05t乘积的导数.一般地，如何求两个函数的和、差、积、商的导数呢？
设计意图：通过回顾上节课的内容，几何上节课的例题，使学生认识到导数的四则运算的客观存在性，以及学习导数的四则运算法则的必要性.
（二）探究新知
任务一：导数的四则运算法则
探究1：设f(x)=x2，g(x)=x，计算[ f(x)+g(x)]'与[ f(x)−g(x)]'，它们与f '(x)和g'(x)有什么关系？
师生活动：教师提出问题，引导学生探究.
思考1：如何计算函数f(x)+g(x)=x2+x的导数？能利用导数的定义求这个函数的导数吗？
答：设y=f(x)+g(x)=x2+x，因为ΔyΔx=x+Δx2+x+Δx−x2+xΔx=Δx+2x+1，
所以[ f(x)+g(x)]'=y'=limΔx→0Δx+2x+1 =2x+1.
思考2：函数y=f(x)+g(x)=x2+x的导数与函数f(x)=x2和函数g(x)=x的导数有关系吗？
师生活动：学生思考、讨论、交流.
答：因为f '(x)=(x2)'=2x，g'(x)=x'=1，所以[ f(x)+g(x)]'=f '(x)+g'(x).
思考3：类似地，函数y=f(x)−g(x)=x2−x的导数与函数f(x)=x2和函数g(x)=x的导数有什么关系呢？
师生活动：学生思考、讨论，得出结论.
答：[ f(x)−g(x)]'=f '(x)−g'(x).
总结：一般地，对于两个函数f(x)和g(x)的和(或差)的导数，有如下法则：
[ f(x)±g(x)]'=f '(x)±g'(x).
设计意图：通过利用导数的定义和基本初等函数的导数公式求出两个函数的和的导数以及两个函数的导数和，进而得出两个函数的和与差的导数运算法则，发展学生的逻辑推理、数学运算核心素养.
做一做：求下列函数的导数
(1)y=x3−x+3；(2)y=2x+csx.
师生活动：教师出示问题，找两名学生板演，其他学生独立完成解答.教师巡视，观察学生的完成情况，适当进行指导.学生完成后，教师点评.
解：(1)y'=x3−x+3'=x3'−x'+3'=3x2−1；
(2)y'=2x+csx'=2x'+csx'=2xln2−sinx.
设计意图：通过练习的解答，让学生运用基本初等函数的导数公式和函数的和、差的导数运算法则求导数，发展学生的数学运算核心素养.
探究2：设f(x)=x2，g(x)=x，计算[ f(x)g(x)]'与f '(x)g'(x)，它们是否相等？f(x)与g(x)商的导数是否等于它们导数的商呢？
思考1：请计算函数f(x)g(x)=x3的导数以及函数f(x)=x2与函数g(x)=x的导数的积.
答：[ f(x)g(x)]'=(x3)'=3x2，f '(x)g'(x)=2x·1=2x.
思考2：f(x)与g(x)的积的导数是否等于它们导数的积？
答：[ f(x)g(x)]'≠f '(x)g'(x).
思考3：f(x)与g(x)商的导数是否等于它们导数的商?
答：同样地，f(x)g(x)'≠f'(x)g'(x).
师生活动：教师给出两个函数f(x)和g(x)的乘积（或商）的导数运算法则.
总结：对于两个函数f(x)和g(x)的乘积(或商)的导数，我们有如下法则：
[ f(x)g(x)]'=f '(x)g(x)+f (x)g'(x)；
f(x)g(x)'=f '(x)g(x)−f (x)g'(x)g(x)2(g(x)≠0).
探究3：如何求函数y=cf(x)的导数，其中c为常数？
师生活动：教师提出问题，学生思考回答，教师完善.
答：由函数的乘积的导数法则可以得出[cf(x)]'=c'f(x)+cf '(x)=cf '(x)，也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即[cf(x)]'=cf '(x).
设计意图：引导学生对两个函数的积、商的导数运算法则进行探讨，发展学生的数学抽象、数学运算和逻辑推理等核心素养.
做一做：求下列函数的导数
(1)y=x3ex；(2)y=2sinxx2.
师生活动：教师出示问题，引导学生分析这两个函数是由哪些基本初等函数经过怎样的运算得到的，学生独立完成求导，并在小组内讨论、交流、校对答案，教师点评完善.
解：(1)y'=x3ex'=x3'ex+x3ex'=3x2ex+x3ex；
(2)y'=2sinxx2'=2sinx'x2−2sinxx2'x22=2xcsx−4sinxx3.
设计意图：通过练习的解答，让学生运用基本初等函数的导数公式和函数的积、商的导数运算法则求导数，发展学生的数学运算核心素养.
总结1：一般地，对于两个函数f(x)和g(x)的和、差、积、商的导数，有如下法则：
(1)[cf(x)]'=cf '(x)；
(2)[ f(x)±g(x)]'=f '(x)±g'(x)；
(3)[ f(x)g(x)]'=f '(x)g(x)+f (x)g'(x)；
(4)f(x)g(x)'=f '(x)g(x)−f (x)g'(x)g(x)2(g(x)≠0).
总结2：求函数的导数的策略:
(1)先区分函数的运算特点，即函数关系式中的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数；
(2)对于三个及以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算.
任务二 导数的四则运算法则的应用
师生活动：师生共同回顾利用导数公式求切线方程的一般步骤，然后教师阐述：
根据导数的几何意义，求出曲线在某一点处的导数可直接得到曲线在该点的切线的斜率.而运用导数的四则运算法则求导，可避免利用导数定义求导的大量运算，也能解决利用基本初等函数的导数公式无法解决的求导问题.需要注意直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征.当问题中涉及相切但未出现切点坐标时，要先设处切点坐标，然后根据已知条件求出切点坐标.
做一做：(1)求曲线y=xex+2x+1在点0,1处的切线方程；
(2)在平面直角坐标系中，点P在曲线C：y=x3−10x+13上，且在第一象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，求点P的坐标.
师生活动：学生独立思考、探究，教师指导评价.
解：(1)由题意得y'=ex+xex+2，则曲线y=xex+2x+1在点0,1处切线的斜率为k=y'|x=0=e0+0+2=3，所以所求的切线方程为y−1=3x，即3x−y+1=0.
(2)设点P的坐标为x0,y0.因为y'=3x2−10，所以3x02−10=2，解得x0=±2.因为点P在第一象限内，所以x0=2.又点P在曲线C上，所以y0=23−10×2+13=1.所以点P的坐标为2,1.
设计意图：通过问题，体会利用导数的四则运算法则的便捷性，进一步加深对导数几何意义及其应用的理解.
（三）应用举例
例1：求下列函数的导数：
(1)y=x1+2x+2x2；
(2)y=x+11x−1；
(3)y=1+sinx2csx2；
师生活动：教师出示例题，学生自主完成，教师点评.
分析：将原式化简变形成便于求导数的形式，再运用导数公式及导数的四则运算法则求导数.
解：(1)因为y=x1+2x+2x2=x+2+2x，所以y'=1−2x2；
(2)因为y=x+11x−1=−x+1x，
所以y'=−x'+1x'=−12x−12−12x−32=−12x1+1x；
(3)因为y=1+sinx2csx2=1+12sinx，所以y'=12csx；
例2：日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)=5284100−x(80