数学选择性必修 第二册5.2 导数的运算教案设计

这是一份数学选择性必修 第二册5.2 导数的运算教案设计，共8页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

一、教学目标
1.了解复合函数的概念；
2.理解复合函数的求导法则，并能求简单复合函数的导数；
3.在独立思考的基础上，主动参与到数学活动中，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性，增强学好数学的信心.

二、教学重难点
重点：复合函数的求导法则.
难点：复合函数的概念，分清函数的复合关系，选好中间变量.

三、教学过程
（一）复习导入
师生活动：教师提出问题，学生回顾并回答.
思考1：导数的四则运算法则是什么？
答：一般地，对于两个函数f(x)和g(x)的和、差、积、商的导数，有如下法则：
(1)[cf(x)]'=cf '(x)；
(2)[ f(x)±g(x)]'=f '(x)±g'(x)；
(3)[ f(x)g(x)]'=f '(x)g(x)+f (x)g'(x)；
(4)f(x)g(x)'=f '(x)g(x)−f (x)g'(x)g(x)2(g(x)≠0).
思考2：如何求函数y=ln(2x−1)的导数呢？
本节课就来研究这类问题.
设计意图：回顾上节课所学的主要知识，温故知新.提出问题，开门见山，点明本节课要探究复合函数的求导问题.
（二）探究新知
任务一：复合函数的概念
探究：什么是复合函数？
师生活动：教师提出问题，引导学生探究.
思考1：函数y=ln(2x−1)是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的吗？
答：基本初等函数通过加、减、乘、除运算无法得到函数y=ln(2x−1).
思考2：函数y=ln(2x−1)的结构特点是什么，它与函数y=(2x−1)lnx有什么不同？
师生活动：学生观察思考、讨论、交流.
答：在函数y=ln(2x−1)中，其中的2x−1占据了对数函数y=lnx中x的位置，fx=lnx，f2x−1=ln(2x−1)，这里有代入、代换的思想；而y=(2x−1)lnx是两个基本初等函数y=2x−1、y=lnx之间相乘的关系，没有代入、代换的意思.
若设u=2x−1(x>12)，则y=ln u.从而y=ln(2x−1)可以看成是由y=ln u和u=2x−1(x>12)经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.
如果把y与u的关系记作y=f(u)，u与x的关系记作u=g(x)，那么这个“复合”过程可表示为y=f(u)=f(g(x))=ln(2x−1).
【概念的形成】教师给出复合函数的概念：
复合函数的概念：一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).
说明：通常称u=g(x)与y=f(u)分别为内、外层函数，内外层函数一般为基本初等函数.
总结：(1)函数y=ln(2x−1)是复合函数，其中外层函数为y=ln u，内层函数为u=2x−1(x>12)；y=(2x−1)lnx不是复合函数.
(2)判断一个函数是否为复合函数，主要看该函数是否可以表示为两个或多个基本函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等）通过有限次加、减、乘、除以及函数的复合等运算得到的结果.
思考3：函数y=sin 2x是由哪些函数复合而成的？
答：函数y=sin 2x是由y=sin u和u=2x复合而成.
设计意图：通过分析函数y=ln(2x−1)的结构特点，引入复合函数的概念，体现了由特殊到一般的思想，发展学生的数学抽象核心素养.
做一做：下列函数不可以看成是复合函数的是（ ）
A.y=xcsx B.y=1lnx C.y=2x+34 D.y=sinπ2−x
师生活动：学生观察思考、回答，教师点评.
解：选项B中，函数y=1lnx由函数y=1u和u=lnx复合而成，其中u是中间变量；
选项C中，函数y=2x+34由函数y=u4和u=2x+3复合而成，其中u是中间变量；
选项D中，函数y=sinπ2−x由函数y=sinu和u=π2−x复合而成，其中u是中间变量.
设计意图：通过练习的解答，让学生加深对复合函数概念的理解，进一步弄清函数的复合关系，为接下来复合函数的求导做铺垫.
任务二：简单复合函数的求导法则
探究：如何求函数y=sin 2x的导数呢？
师生活动：教师提出问题，并引导学生思考、回答，然后完善、讲解.
答：y'=sin 2x'=2sin xcsx'
=2sin x'csx+sin xcsx'
=2csx∙csx+sin x∙−sin x
=2cs2x−sin2x
=2cs2x.
思考：函数y=sin 2x是由y=sin u和u=2x复合而成的，如果以yx'表示y对x的导数，yu'表示y对u的导数，ux'表示u对x的导数，那么yx'与yu'及ux'有什么关系呢？
师生活动：学生先求出yu'和ux'，然后找关系，教师完善、讲解.
答：yu'=sin u'=csu，ux'=2x'=2，又yx'=2cs2x，所以yx'=yu'∙ux'.
师生活动：教师引导学生抽象出复合函数的求导法则.
总结：复合函数的求导法则：
一般地，对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为yx'=yu'∙ux'.
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
设计意图：通过设置问题引导学生进行思考与探究，从而得出复合函数的求导法则，提高学生探究问题的能力，通过对复合函数求导法则的推导，发展学生的数学抽象、数学运算等核心素养.
做一做：求下列函数的导数
(1)y= 1−2x2；
(2)y=esinx；
(3)y=sin(2x+π3)；
(4)y=5lg2(2x+1)．
师生活动：学生独立完成求导，并在小组内讨论、交流、校对答案，教师点评完善.
解：(1)设y=u12，u=1−2x2，
则yx'=yu'·ux'=(12u−12)⋅(−4x)
=12(1−2x2)−12(−4x)=−2x 1−2x2，− 22