人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义教学设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义教学设计，共10页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

一、教学目标
1.经历用平均速度“逼近”瞬时速度和用抛物线的割线“逼近”切线的过程，培养观察、归纳、类比、猜想、验证的能力.通过问题的探究，体会逼近、类比、以已知探究未知、从特殊到一般的数学思想方法；
2.理解瞬时速度的本质是平均速度的极限值、抛物线的切线斜率是割线斜率的极限值，初步体会极限的思想与内涵；
3.通过求跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法；
4.会求抛物线在某点处的切线的斜率.

二、教学重难点
重点：瞬时速度和切线的斜率的概念.
难点：在求瞬时速度和切线的斜率的过程中体会极限思想.

三、教学过程
（一）创设情境
情境一：请同学们欣赏一段视频，这是我国运动员全红婵在2024年巴黎奥运会10米台跳水夺冠的精彩瞬间，看后你的感受是什么？
师生活动：学生作出感性认知，如动作优美，水花小等回答后，教师继续阐述.
伟大的英国物理学家牛顿他思考的是运动员的运动变化规律之美！伟大的德国数学家莱布尼茨观察到的是身体划过的曲线之美！他们都是微积分的缔造者.

牛顿：运动之美 莱布尼茨：曲线之美
微积分是17世纪数学史上最重大的研究成果，它改变了物理和数学的发展，微积分分为微分学和积分学，本节课我们跟随两个科学家的脚步，探索微分中最重要的内容, 导数的探索之旅吧！
情境二：在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度ℎ(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系ℎ(t)=−4.9t2+4.8t+11.如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？
师生活动：教师提出问题，并引导学生用每段时间内的平均速度近似描述运动员的运动状态.
思考1：什么是平均速度？
答：平均速度是一个描述物体运动平均快慢程度和运动方向的矢量，它粗略地表示物体在一段时间内的运动情况.
思考2：你能利用计算工具计算在0≤t≤0.5和1≤t≤2这两个时间段的平均速度，并描述运动员的运动状态吗？
答：在0≤t≤0.5这段时间里，v=h(0.5)−h(0)0.5−0=2.35(m/s)；
在1≤t≤2这段时间里，v=ℎ(2)−ℎ(1)2−1=−9.9(m/s).
综上，当0≤t≤0.5时，运动员以2.35 m/s的平均速度向上运动；
当1≤t≤2时，运动员以9.9m/s的平均速度向下运动.
归纳：一般地，在t1≤t≤t2这段时间里，v=ℎ(t2)−ℎ(t1)t2−t1=−4.9(t2+t1)+4.8.
思考3：计算运动员在0≤t≤4849这段时间里的平均速度，发现了什么？用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
答：运动员在0≤t≤4849这段时间里的平均速度为0.显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态.因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.
总结：用平均速度刻画运动员的运动状态稍显粗糙，为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.
瞬时速度：把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
设计意图：通过对跳水运动员的速度这一具体问题的分析，引导学生认识到平均速度描述运动状态的局限性，从而感受到引入瞬时速度这一新的概念来描述物体的运动状态的必要性.
（二）探究新知
任务一：探究瞬时速度与平均速度的关系
探究：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1 s时的瞬时速度吗？
师生活动：教师提出问题，引导学生认识瞬时速度与平均速度的关系，从而确定探究的方向.
答：瞬时速度与平均速度的关系：
设运动员在t0时刻附近某一时间段内的平均速度是v，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么v将越来越趋近于运动员在t0时刻的瞬时速度.
为了求运动员在t=1时的瞬时速度，我们在t=1之后或之前，任意取一个时刻1+Δt，Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当Δt >0时，1+Δt在1之后；当Δt0时，把运动员在时间段[1,1+Δt]内近似看成做匀速直线运动，计算时间段[1,1+Δt]内的平均速度v，用平均速度v近似表示运动员在t=1时的瞬时速度.当Δt