高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义教案，共12页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

一、教学目标
1.会从数值逼近、几何直观感知、解析式抽象三个角度认识导数的含义，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数，能归纳出求导数的基本步骤；
2.通过函数图象直观理解导数的几何意义，经历导数的几何意义的抽象概括过程，体会数形结合、以直代曲、极限思想，会用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程；
3.通过问题的探究，培养观察、分析、比较和归纳的能力，体会逼近、类比、用已知探究未知、由特殊到一般的数学思想.

二、教学重难点
重点：导数的概念，导数的几何意义及其应用.
难点：导数的概念，导数的几何解释及曲线的切线概念.

三、教学过程
（一）复习导入
师生活动：师生共同回顾总结，也可先请学生回答，后教师点评总结.
复习回顾：上节课我们研究了两类问题：一类来自物理学，涉及平均速度和瞬时速度；另一类问题来自几何学，涉及割线斜率和切线斜率.具体如下：
虽然上面的问题涉及不同的领域，但从数学的角度思考，它们在过程与方法及结果的形式上存在如下共性：
本节课我们将用上述思想方法来研究更具有一般性的问题.
设计意图：通过回顾上一节学习的内容及思想方法，培养学生的观察、概括能力，让学生体会微积分的重要思想------用运动变化的观点研究问题，体会极限思想，感受用“平均变化率”趋近“瞬时变化率”的研究方法，关注结果的一致性，都是一个确定的数值，为本节课将要学习的内容和方法作铺垫.
（二）探究新知
任务一：函数y=f(x)在x=x0处的导数的概念
探究：一般地,对于函数y=f(x)，你能用由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法来研究其在某点(如x=x0)处的瞬时变化率吗？
师生活动：教师提出问题，引导学生思考.
思考1：类比前面探究问题的方法，为了研究函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，可以先研究哪个范围内函数值的平均变化率？
答：选取自变量x的一个变化量Δx，研究自变量x从x0变化到x0+Δx这个过程中函数值的平均变化率.
思考2：函数y=f(x)的自变量x从x0变化到x0+Δx这个过程中，函数值的平均变化率如何表示？在x=x0处的瞬时变化率如何表示？
答：平均变化率：ΔyΔx=fx0+Δx−fx0Δx；
瞬时变化率：limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0fx0+Δx−fx0Δx.
思考3：对于任意函数y=f(x)，当Δx无限趋近于0时，平均变化率ΔyΔx是否一定会无限趋近于一个确定的值呢？
答：不一定.如函数f(x)=|x|在x=0处的平均变化率ΔyΔx并不无限趋近于一个确定的值.
师生活动：教师引导学生研究函数f(x)=|x|在x=0附近的变化情况，学生思考、讨论、交流.然后师生共同总结，形成导数的概念.
总结：
(1)对于函数y=f(x)，设自变量x从x0变化到x0+Δx，相应地，函数值y就从fx0变化到fx0+Δx.这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy=fx0+Δx−fx0.我们把比值ΔyΔx，即ΔyΔx=fx0+Δx−fx0Δx叫做函数y=f(x)从x0变化到x0+Δx的平均变化率.
(2)如果当Δx→0时，平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx有极限，则称y=f(x)在x=x0处可导，并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f '(x0)或y'|x=x0，即f '(x0)=y'|x=x0=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0fx0+Δx−fx0Δx .
设计意图：利用由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法，结合具体案例的共性归纳、概括出导数的概念，发展学生的数学抽象素养.通过反例，让学生理解并非任意函数在定义域内任意一点处都可导，加深学生对导数概念的理解.
做一做：设f(x)=1x，你能利用导数的定义求出函数f(x)=1x在x=1处的导数f '(1)吗？
师生活动：学生尝试独自完成解答，教师出示计算过程，强调导数计算的步骤，提醒学生体会导数的概念.
解：f '(1)=limΔx→0f1+Δx−f1Δx=limΔx→011+Δx−1Δx=limΔx→0−11+Δx=−1.
思考1：对于函数f(x)=1x，你能求f '(a)吗？
答：f '(a)=limΔx→0fa+Δx−faΔx=limΔx→01a+Δx−1aΔx=limΔx→0−1aa+Δx=−1a2.
思考2：你能总结出求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤吗？
师生活动：学生尝试，后师生共同总结.
总结：求函数y=f(x)在x=x0处的导数的一般步骤：
第一步：写出函数y=f(x)从x0变化到x0+Δx的平均变化率ΔyΔx=fx0+Δx−fx0Δx并化简；
第二步：求limΔx→0ΔyΔx，若limΔx→0ΔyΔx存在，则导数f '(x0)=limΔx→0ΔyΔx .
设计意图：通过问题的解答，引导学生经历并总结用定义法求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤，使学生体会特殊点处的导数与一般点处的导数的异同点，为后续学习导函数作准备.
做一做：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，已知在第x h时，原油的温度(单位：℃)为y=f(x)=x2−7x+15(0≤x≤8)．计算第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
师生活动：教师示范计算第2h时原油温度的瞬时变化率，在此基础上，由学生自行求出第6h时原油温度的瞬时变化率.
解：在第2h时原油温度的瞬时变化率就是f '(2).
根据导数的定义，
ΔyΔx=f2+Δx−f2Δx
=2+Δx2−72+Δx+15−22−7×2+15Δx
=4Δx+Δx2−7ΔxΔx
=Δx−3
所以，f '(2)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0Δx−3=−3 .
同理，f '(6)=5.
即在第2h与第6h时原油温度的瞬时变化率分别为−3℃/h与5℃/h．
思考：你能说出第2h与第6h时原油温度的瞬时变化率的意义吗？
答：在第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为−3℃/h与5℃/h．
说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降；
在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速率上升．
总结：一般地，f '(x0)0≤x0≤8反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况.
设计意图：通过求解实际问题中的瞬时变化率，使学生理解导数的内涵和意义，进一步熟悉根据导数的定义求函数在某点处的导数的过程和步骤.
任务二 导数的几何意义
探究：导数f '(x0)表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况.那么导数f '(x0)的几何意义是什么？
师生活动：教师出示图象，并提出问题，学生观察后回答.
思考1：观察函数y=f(x)的图象(如图)，它的平均变化率ΔyΔx=fx0+Δx−fx0Δx表示什么？
答：平均变化率表示割线P0P的斜率.
总结：一般曲线y=f(x)在点P0(x0, f(x0))处切线的定义
如图，在曲线y=f(x)上任取一点P(x, f(x))，如果当点P(x, f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0, f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的切线.
思考2：曲线上两点P0(x0, f(x0))，P(x0+Δx, f(x0+Δx))，当点P沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，割线P0P无限趋近于点P0处的切线，那么当Δx→0时，割线的斜率k无限趋近于什么？它与导数f '(x0)又有什么关系呢？
答：当Δx→0时，割线的斜率k无限趋近于切线的斜率k0.
k0=limΔx→0fx0+Δx−fx0Δx，f '(x0)=limΔx→0fx0+Δx−fx0Δx，k0=f '(x0).
思考3：瞬时变化率f '(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0fx0+Δx−fx0Δx表示什么？
答：瞬时变化率表示切线P0T的斜率.
思考4：你能总结导数的几何意义吗？
答：函数y=f(x)在x=x0处的导数f '(x0)就是曲线在该点处的切线的斜率k0，即k0=limΔx→0fx0+Δx−fx0Δx=f '(x0)，这就是导数的几何意义.
设计意图：通过从平均变化率的几何意义入手，利用图形直观探索导数的几何意义，让学生在获得直观感知的基础上，通过合作探索，再次亲身经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，研究一般曲线在某点处的切线的定义，以及该点处的切线斜率与导数之间的关系，抽象出导数的几何意义.
任务三 探究“以直代曲”的数学思想
师生活动：教师用几何画板演示“割线逼近切线”的过程，学生观察、思考.
放大

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探究1：观察上图，点P0处哪条直线最接近P0点附近的曲线？若将图象放大，你能否发现P0点处切线与曲线的位置关系？
答：观察上图：可以发现点P0处的切线P0T比任何一条割线更贴近点P0附近的曲线.如果将点P0附近的曲线不断放大，可以发现点P0附近的曲线越来越接近于直线.因此,在点P0附近，曲线y=f(x)可以用点P0处的切线P0T近似代替.
设计意图：通过动态演示，让学生直观感受和体会微积分中“逼近”、“以直代曲”的重要数学思想..
探究2：如图是跳水运动中某运动员的重心相对于水面高度随时间变化的函数ℎt=−4.9t2+2.8t+11的图象.根据图象，请描述、比较曲线ℎt在t=t0，t1，t2附近的变化情况.
思考1：如何描述ℎt在t=t0，t1，t2附近的变化情况？
师生活动：教师提出问题，学生思考、交流、讨论.
答：可以近似地由曲线ℎt在相应三点处的切线变化情况来描述.
师生活动：教师要求学生动手画出曲线ℎt在t=t0，t1，t2处的切线，师生共同研究，得出结论后教师展示完整解答过程.
解：我们用曲线ℎt在t=t0，t1，t2处的切线斜率，刻画曲线ℎ(t)在上述三个时刻附近的变化情况．
(1)当t=t0时，曲线ℎt在t=t0处的切线l0平行于t轴，ℎ'(t0)=0.这时，在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．
(2)当t=t1时，曲线ℎt在t=t1处的切线l1的斜率ℎ'(t1)