高中数学9.2 用样本估计总体第1课时教案设计

这是一份高中数学9.2 用样本估计总体第1课时教案设计，共10页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第1课时 频率分布直方图

一、教学目标
能对问题解决进行系统处理，经历较为系统的数据处理全过程，体会统计思想解决问题的一般步骤.
掌握频率分布直方图的画法，总结其一般步骤，直观估计总体的分布情况，提升学生直观想象核心素养.
能对实际问题进行分析，设计解决方案，提升数学建模和逻辑推理素养.

二、教学重难点
重点：会列频率分布表、画频率分布直方图，用图、表对总体进行估计.
难点：在画频率分布直方图时，如何确定分组及分点；在频率分布直方图中纵坐标的确定；在用样本估计总体分布时不确定性思维与确定性思维的不同.

三、教学过程
（一）创设情境
小明从网上查询得到某贫困地区50户居民家庭年收入（单位：万元），数据如下：
追问：你能很容易地看出这些数据有什么规律吗？若不能，对这些数据如何处理才可以?
问题：我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水里标准a用水里不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费。如果希望确定一个比较合理的标准，以使大部分居民用户的水费支出不受影响，你认为需要做哪些工作？
师生活动：师生互动，生生讨论、交流；师揭示课题.
设计意图：教师以视频引发学生思考，对收集好的数据进行分析、判断，激发学生主动学习，启发学生思考就问题1进行讨论，顺利揭示本节课题.
（二）探究新知
任务1：探究分析情境中的问题，思考问题解决的方案.
说一说：要确定一个比较合理的标准，以使大部分居民用户的水费支出不受影响，你认为需要做哪些工作呢？
师生活动：1.先独立思考；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.
总结：每户居民月均用水量标准如果定得太低，会影响很多居民的日常生活；如果标准太高，则不利于节水.如果经费、时间等条件允许，我们可以通过全面调查获得过去一年全市所有居民用户的月均用水量数据，进而得到月均用水量在不同范围内的居民用户所占的比例.由于全市居民用户很多，通常采用抽样调查的方式，通过分析样本观测数据，来估计全市居民用户月均用水量的分布情况.总体是该市的全体居民用户，个体是每户居民用户，调查的变量是居民用户的月均用水量.要解决这个问题需要先通过抽样调查获取数据，观察数据，整理数据，从而分析数据，最后解决问题.
各抒已见：假设随机抽取100个数据（单位为：t），你能发现什么呢？
答：通过观察数据发现，若将这些数据从小到大排序，最小值是1.3t，最大值是28.0t，其他在1.3t至28.0t之间.
思考：可以采用什么方式来整理数据呢？
师生活动：在师的引导下，师生共同总结.
总结：可以用表格或者图来整理数据，图有条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图.条形图可以直观描述不同类别或分组数据的频数和频率；扇形图可以直观描述各类数据占总数的比例；折线图可以直观描述数据随时间的变化趋势；频数分布直方图能直观描述连续型数据.
提示：问题聚焦：月均用水里在不同范围内的居民用户占全市居民用户的比例.
答：可以用频数分布表、频数分布直方图来整理与表示数据.
任务2：探究频数分布直方图的画法.
说一说：尝试说说频数分布表与频数分布直方图的制作步骤？
答：第一步，求极差；第二步，决定组距与组数；第三步，将数据分组；第四步，列频数分布表；第四步，画频数分布直方图.
师生活动：学生合作探究：1.先独立思考2分钟; 2.小组内交流讨论;3.以小组为单位进行汇报;4.师小结.
思考1：什么是极差？
答：极差为—组教据中最大值与最小值的差.观察计算：样本极差为28.0-1.3=26.7，也就是说样本观测数据的变化范围为26.7t.
思考2：组距与组数如何确定呢？
提示：组数太多或太少都会影响我们了解数据的分布情况.为了方便，一般取等长组距，建议组距“取整”，先确定组距，再确定组数．
答：若极差组距∈Z, 则组数=极差组距.若极差组距∉Z, 则组数=极差组距的整数部分+1.
师生活动：学生合作探究：1.先独立思考2分钟; 2.小组内交流讨论;3.以小组为单位进行汇报;4.师小结.
说一说：如果将上述100个数据按组距为3进行分组，组数是多少呢?
答：组数=极差组距=26.73=8.9 8.9+1=9 ，因此组数为9.
思考3：组距为3，9个组距的长度超过极差，各组范围如何确定呢？
提示：建议各组均为左闭右开区间，最后—组为闭区间．
答：例如：可取区间为[1.2，4.2)，以此类推，把样本观测数据以组距为3分为9组.数据分组为：[1.2，4.2），[4.2，7.2)，[7.2，10.2)，[10.2，13.2)，[13.2，16.2)，[16.2，19.2)，[19.2，22.2)，[22.2，25.2)，[25.2，28.2].
思考4：如何列频数分布表、频率分布表呢？
提示：在频数分布表的基础上再加一列．
答：将频数分布表分为三列：分组、频数累计、频数，再加一列频率，例如：第一组的频率：
第一组频数样本容量=23100=0.23
由此做出频数分布表与频率分布表.

师生活动：1.小组内交流、讨论；2.尝试列出频数分布表；3.以小组为单位进行汇报.
总结：频数分布表：统计数据落在各个小区间的个数（即频数)；频率分布表：统计数据落在各个小区间的个数占全部数据的比例（即频率)．
思考5：如何画频数分布直方图？
答：
师生活动：1.小组内交流讨论；2.以小组为单位进行绘制；3.各小组分享成果.
说一说：根据上图，能直接估计60%的居民的用水量不超过多少吗？有没有更好的方法呢？
答：可以画频率分布直方图.
任务3：类比画频数直方图的方法探究频率分布直方图的画法，比较二者异同.
猜想：横坐标不变，纵坐标表示频率是不是就可以了？
答：
总结：纵坐标：用小矩形的高度表示频率.确实比频数分布直方图直观，但是从图中仍不能直观看出各组频率累积后的大小情况.
追问：用什么“几何量”来表示频率更合适呢？
总结：饼状图中面积表示占比大小，而面积的累积显然比高度的累积更直观.纵坐标：用小矩形的面积表示频率.
思考：纵坐标：用小矩的面积表示频率.那纵坐标应该表示什么呢？
答：小长方形的面积=组距×频率组距=频率.所有小长方形的面积之和=1
师生活动：1.小组内交流讨论；2.以小组为单位再次绘制；3.各小组分享成果.
说一说：绘制了频数分布表与频率分布直方图，说说二者的异同？
总结：1.频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小.
2.频数分布图表示数据分布在各个小组的个数.
3.频率分布直方图的纵轴是频率组距 ，而频数分布直方图的纵轴是频数.
任务4：观察频率直方图，探究用样本估计总体.
各抒已见：尝试用适当的语言描述居民用户月均用水量的哪些分布规律.
总结：居民用户月均用水里的样本观测数据的分布是不对称的，图形的左边高右边低﹐右边有一个较长的“尾巴”.这表明大部分居民用户的月均用水里集中在一个较低值区域，尤其在区间[1.2,7.2)最为集中，少数居民用户的月均用水里偏多，而且随着月均用水里的增加，居民用户数呈现降低趋势.
思考1：如果市政府希望85%左右的居民月均用水量不超过标准，根据上述频率直方图，你对制定居民月均用水里标准，有什么建议?
提示：将面积进行累加.
答：对“面积”进行累加，发现有86%的居民用水量不超过16.2t.结合实际，将标准定位为16t是个整数，便于水费的缴纳.因此，将标准定位为16t是合理的.
追问：你认为这个标准一定能保证85%以上的居民用水量不超标吗？说说你的看法?
思考2：以3和27为组数，对数据进行等距分组，画出100户居民用户月均用水量的频率分布直方图. 观察图形，你发现不同的组数对于直方图呈现数据分布规律有什么影响？
答：
师生活动：1.小组内交流讨论；2.以小组为单位进行绘制；3.各小组分享成果.
总结：当组数少、组距大时，容易从中看出数据整体的分布特点，但因无法看出每组内的数据分布情况，损失了较多的原始数据信息；当组数多、组距小时，保留了较多的原始数据信息，但因小长方形较多，图形会变得非常不规则，不容易从中看出总体数据的分布特点.
设计意图：学生初中阶段已经学习了一些统计知识，根据先行组织者理论，引导学生充分挖掘原有知识与新知识的关联，为新知识的学习提供借鉴. 任务串的设计目的是使得知识间的逻辑关系更清晰.注重统计分析过程的理性分析，突出统计思想方法，初步感受统计思维的特点. 合作探究让学生亲身感受数据分析的过程，让学生更有参与感.将将频率分布直方图与频数分布直方图联系起来，有利于学生接纳新知，突破本节课的重难点，最后对如何对总体的分布规律进行简单的估计, 不断分析中体会统计思想.
（三）应用举例
例1 如图所示是由总体的一个样本绘制的频率分布直方图，且在[15，18)内频数为7：
(1) 求样本在[15，18)内的频率；
(2) 求样本量；
(3) 若在[12，15)内的小矩形面积为0.06，求在[18，33)内的频数.
解：由样本频率分布直方图可知组距为3.
（1）由样本频率分布直方图得样本在[15，18)内的频率等于475×3=425.
（2）样本在[15，18)内的频数为8，由(1)可知，样本量为 8425=8×254=50.
（3）在[12，15)内的小矩形面积为0.06，故样本在[12，15)内的频率为0.06，故样本在[15，33)内的频数为50×(1-0.06)=47. 又因为在[15，18)内的频数为8，故在[18，33)内的频数为47-8=39.
例2 在某次数学测验后，将参加考试的500名学生的数学成绩绘制成频率分布直方图
如图所示，则在该次测验中成绩不低于100分的学生人数是( ).
A. 210 B. 205 C. 200 D. 195
解：由频率分布直方图得，在该次测验中成绩不低于100分的学生的频率为1－(0.012＋0.018＋0.030)×10＝0.4，所以在该次测验中成绩不低于100分的学生人数为500×0.4＝200.
设计意图：通过例题讲解，引导学生思考在实际问题情境中，如何利用频率分布直方图进行数据分析.
（四）课堂练习
1.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频数直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30].根据频数直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率是( )
A. 0.28B. 0.3C. 0.6D. 0.7
解：每周的自习时间不少于22.5小时的人数：80+40+20=140，
所以这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率是：140200=0.7，
故选D．
2.画样本频率分布直方图时，决定组数的正确方法是( )
A. 任意确定B. 一般分为5～12组
C. 由极差组距决定D. 根据经验法则，灵活掌握
解：画样本频率分布直方图时组数，由极差和组距决定
是对极差组距的值合理取整得到
故选：C．
3.为了解学生在“弘扬传统文化，品读经典文学”月的阅读情况，现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间(阅读时间t∈[0,50])，分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图．则图中a的值为( )
A. 0.028B. 0.029C. 0.280D. 0.290
解：根据题意由频率分布直方图可得：
0.006×2+0.02+a+0.04×10=1，
解得：a=0.028，
故本题选A．
4.在样本的频数直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他10个小长方形的面积的和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为 ．
解：根据题意可得：若中间一个长方形的面积等于其他10个小长方形的面积的和的14，
则中间一个长方形的面积等于总面积的11+4=0.2，且样本容量是160，则中间一组的频数为160×0.2=32．
故答案为32．
5.在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的15，且第一组数据的频数为25，则样本容量为 ．
解：设第一组数据的小矩形对应的频率为x，
则x=15(1−x)，
解得x=16，
∴样本容量为2516=150．
故答案为150．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固数据处理与分析的相关知识，能够灵活运用.
（五）总结归纳
回顾本节课所学内容，回答下列问题：
师生活动：学生回答上述问题，其他学生进行点评补充．
设计意图：通过对之前知识的梳理，提高学生总结概括能力，明确这节课要突破和学习的重点知识内容.