高中人教A版 (2019)9.2 用样本估计总体教案

这是一份高中人教A版 (2019)9.2 用样本估计总体教案，共8页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
总体百分位数的估计

一、教学目标
1.结合实例，理解百分位数的概念，发展数据分析素养.
2掌握求一组数据的百分位数的基本步骤，体会样本估计总体的统计思想，提高分析和解决问题的能力.
3.通过具体实例，体会百分位数在实际生活中的应用，引导学生用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界，并且培养学生用数学知识解决实际生活的能力.

二、教学重难点
重点：用样本估计百分位数．
难点：求一组数据的百分位数．

三、教学过程
（一）创设情境
阶梯收费，是一种根据用户消费数量或使用程度的不同，对价格进行分档的收费方式。通过设定不同的价格档次，当用户的消费量超过一定标准时，价格会相应提高，从而促使用户减少不必要的消费，达到节约资源的目的。这种收费方式在水、电、燃气等公共事业领域以及一些服务行业中得到广泛应用。例如，在水资源紧张的地区，通过实施阶梯收费政策，可以有效减少水资源的浪费，保护生态环境。那如何确定这个阶梯费用，既能使大部分的消费者不受影响，又能够节约资源呢？
想一想：什么是阶梯计费呢，它有什么意义呢？
师生活动：教师展示生活中阶梯计费的实例，让学生也例举生活中的实例.之后提出问题，引导学生思考如何将其数学化，用数学的量来表示.
设计意图：通过实际生活中的问题引出数学知识，使学生易于接受.同时，让他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中.能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：回顾上节课我们采用了哪些方法进行数据分析.
师生活动：教师可以先让学生独立思考，然后分组交流讨论，最后选出小组代表汇报展示.
设计意图：通过对之前知识的梳理，明确这节课要突破和学习的重点知识内容.
任务2：探究第p百分数的概念
探究：如果该市政府希望使80%的居民用户生活用水费支出不受影响，根据上节中100户居民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗？
要求：以小组为单位进行讨论交流。
答：根据市政府的要求确定居民用户月均用水量标准，就是要寻找一个数a，使全市居民用户月均用水量中不超过a的占80%，大于a的占20%．
思考：（1）从整体看我们需要怎么找这个数？
（2）我们如何处理这些样本数据找到这个数呢？
（3）在找这个数的过程中遇到了什么困难？我们该如何解决这个问题呢？
答：要想找到这个数，我们需要把这100个样本数据按从小到大排序，得到第80个和第81个数据分别为13.6和13.8，我们遇到的困难就是这两个数究竟该选择哪一个。
追问：这两个数都行吗？13.6-13.8之间的任何一个数行吗？
答：第80个数(13.6)、第81个数(13.8)及在区间(13.6，13.8)内任意一个数都能把样本数据分成符合要求的两部分.
一般地，取这两个数的平均数，称此数为这组数据的第80百分位数，或80%分位数.
思考：这个标准一定能够保证80%的居民用水不超标吗？如果不一定，那么哪些环节可能会导致结论的差别？
要求：以小组为单位进行讨论交流，打开思路，畅所欲言。
答：不一定，抽样的方法和样本的随机性可能会导致有误差.
说一说：通过刚才的探究过程，你能给出第p百分位数的定义吗？
答：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值.
追问：求一组数据的第p百分位数需要注意什么？
答：求百分位数时，一定要将数据按照从小到大的顺序排列.
任务3：探究第p百分数的计算方法和步骤.
探究1：一个容量为20的样本，其数据按照从小到大的顺序排列为1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18.则该组数据的第0百分位数、第75百分位数、第82百分位数、第86百分位数、第100百分位数分别是多少？
答：由0%×20=0，所以第0百分位数是第1位数1（数据中最小的数）；由100%×20=20，所以第100百分位数是第20位数18（数据中最大的数）；由75%×20=15，所以第75百分位数14+152=14.5(非这组数据中的数)；由于82%×20=16.4，所以第82百分位数为第17个数据17(是这组数据中的数)；由于86%×20=17.2，所以第86百分位数为第18个数据17(是这组数据中的数).
说一说：百分位数有哪些特点？
答：1.第0百分位数是数据组中的最小数，第100百分位数是数据组中的最大数；2.一组数据的第p百分位数可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数；3.一组数据中的某些百分位数可能是同一个数.
探究2：根据以上的求解过程，尝试总结第p百分位数的求解步骤.
答：计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：
第1步，按从小到大排列原始数据.
第2步，计算
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数.
思考：中位数与第p百分位数有关系吗？
答：1.第50百分位数就是中位数，中位数是百分位数的特例.
2.百分位数是中位数的推广.
想一想：还有哪些常用的第p百分位数？
答：中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数.这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等.
设计意图：以本题为例，通过计算一组数据的第p百分位数，引导学生总结得出计算第p百分位数的步骤和以及第p百分位数的特点，既学习了知识，又培养学生抽象概括和逻辑思维能力．
（三）应用举例
例1 以下是树人中学高一年级抽取27名女生的样本数据：
163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0
162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0
155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0．请估计树人中学高一年级女生的第25，50，75百分位数.
解：把27名女生的样本数据按从小到大排序，可得
148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.5 157.0 157.0 158.0 158.0 159.0 161.0 161.0 162.0 162.5 162.5 163.0 163.0 164.0 164.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0 172.0
由，，，可知样本数据的第25，50，75百分位数为第7，14，21项数据，分别为155.5，161，164.
据此可以估计树人中学高一年级女生的第25，50，75百分位数分别约为155.5，161和164.
例2 根据下表估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数.
解：月均用水量在13.2t以下的居民用户所占比例为23%+32%+13%+9%=77%，在16.2t以下的居民用户所占比例为77%+9%=86%，因此，80%分位数一定位于[13.2，16.2)内，由
可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2.
例3 某年级举办了一场百米测试，该年级120名学生在此次测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成5组[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如图所示的频率分布直方图，如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，求成绩的第70百分位数.
解：设成绩的第70百分位数为x，因为，，所以x∈[16，17)，则由，得x=16.5，故成绩的第70百分位数约为16.5.
【总结】求解图表和第p百分位数问题的一般步骤：
第一步：审读题意，抓住问题本质；
第二步：根据图表特点进行计算；
第三步：结合题目要求，得出正确结论.
设计意图：通过例题，熟悉第分位数的相关解题方法，培养学生运算和逻辑思维能力．
（四）课堂练习
1.新时期党史学习教育，是党中央立足党的百年历史新起点、统筹中华民族复兴战略全局和世界百年末有之大变局，为动员全党全国满怀信心投身全面建设社会主义现代化国家而做出重大决策.某企业成立的党史学习教育督查组为调研本单位的党史学习情况，到某部门对10名成员进行了问卷测试，成绩如下：90，92，92，93，93，94，95，96，99，100，则这组数据的第75百分位数是 ______ .
解：因为10×75％=7.5，不是整数，
所以这组数据的第75百分位数是第8位数，即96.
故答案为：96.
2.记录并整理某车间10名工人一天生产的产品数量(单位：个)如表所示：
那么这10名工人一天生产的产品数量的第30百分位数为( ).
A 49.5 B 51 C 52 D 53
解：将10个数据按照从小到大的顺序排列为：
46，48，51，53，53，56，56，56，58，71
∵10×30％=3，
∴所给数据的第30百分位数为第3个数据与第4个数据的平均数，
等于51+532 =52
故选：C.
3.为了解“双减”政策实施后学生每天的体育活动时间，研究人员随机调查了该地区1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长(单位：分钟)分成6组：第一组[30，40)，第二组[40，50)，第三组[50，60)，第四组[60，70)，第五组[70，80)，第六组[80，90]，经整理得到如图的频率分布直方图，则可以估计该地区学生每天体育活动时间的第70百分位数位于的区间为( )
A [50，60) B [60，70) C [70，80) D [80，90]
解：由(0.01+0.02+0.03+2a+0.01)×10=1，
则a=0.015，
由于(0.01+0.02+0.03)×10=0.6< 0.7
(0.01+0.02+0.03+0.015)×10=0.75>0.7，
所以第70百分位数位于的区间为[60，70).
故选：B.
4. 《中国居民膳食指南 (2022)》 数据显示， 6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0％.为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重(单位：千克)，根据测量数据，按[40，45)，[45，50)，[50，55)，[55，60)，[60，65)，[65，70]分成六组，得到的频率分布直方图如图所示.根据调查的数据，估计该地中学生体重的第75百分位数是( )
A 55 B 57.25 C 58.75 D 60
解：因为，，
所以该地中学生的体重的第75百分位数在[55，60)内，
设第75百分位数为m，则，解得m=58.75.
故选：C.
5.从某地随机抽取100户居民进行月用电量调查，每户居民的月用电量都在50KW·h至300KW·h之间，分组后画出频率分布直方图如图，则根据直方图估计该地居民月用电量的第80百分位数为 __________.
解：已知月用电量在[200，250)和[250，300]之间的频率为50(0.004+0.0016)=0.28，
所以前三组的频率之和为1-0.28=0.72