北师大版（2024）七年级上册（2024）3 一元一次方程的应用第1课时教学设计

这是一份北师大版（2024）七年级上册（2024）3 一元一次方程的应用第1课时教学设计，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学用具等内容，欢迎下载使用。
第1课时
一、教学目标
1.借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系，建立方程，解决实际问题.
2.通过具体问题的解决，体会利用方程解决问题的关键是寻找等量关系.
3.通过分析图形问题中的数量关系体会方程模型的作用，进一步提高学生分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力.
4.通过对实际问题的探讨，鼓励学生大胆质疑，激发学生的好奇心和主动学习的欲望.
二、教学重难点
重点：抓住变化中的不变量，设出未知数，根据等量关系列出方程.
难点：在具体问题中找出等量关系，建立方程模型.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
教学过程设计
环节一 知识回顾
【复习回顾】
教师活动：想一想：解一元一次方程的一般步骤：
预设：

填空：
长方形的周长=__________，面积=_______.
正方形的周长=__________，面积=_______.
长方体的体积=______，正方体的体积=____.
圆的周长=_______，面积=___________.
圆柱的体积=_______________.
预设答案：
2(a+b)；ab；4a；a2；abc；a3；2πr；πr2；πr2h (或sh)
【观察思考】
教师活动：老师手里的橡皮泥在手压前和手压后有何变化？你发现了一个相等关系没有？
预设答案：
变胖了，变矮了.
手压前后体积不变，重量不变.
高度和底面半径发生了改变.
设计意图：复习回顾已学知识，为新课的学习做准备.让学生观察橡皮泥的过程中体会等体积变化的现象中蕴涵的不变量.同时分析出不变量与变量间的等量关系.
环节二 典例探究
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
【引例】某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm，12cm的圆柱形易拉罐饮料.经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6 cm.那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米?

教师活动：想一想，什么发生了变化？什么没有发生变化？
问题1：在这个问题中有一个怎样的等量关系？
预设答案：旧包装的容积 = 新包装的容积
问题2：设易拉罐的高度为 x m，填写下表：
预设答案：
问题3：根据等量关系，列出方程： .
解得x = .
因此，易拉罐的高变成了 m.
预设答案：
π×3.32×12= π×32×x；14.52；14.52
教师活动：列方程时，关键是找出问题中的等量关系.
设计意图：通过几个问题，寻找图形问题中的等量关系，激发学生的求知欲望，培养学生的积极性.此时要注意提醒学生π的取值相关细节问题.此类题目中的π值由等式的基本性质就已约去，无须带具体值；若是题目中的π值约不掉，也要看题目中对近似数有什么要求，再确定精确程度.
【例】用一根长为 10 m 的铁丝围成一个长方形.
(1)使得该长方形的长比宽多1.4 m，此时长方形的长、宽各为多少米？
(2)使得该长方形的长比宽多0.8 m，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与(1)中所围长方形相比，面积有什么变化？
(3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与(2)中相比又有什么变化？
教师活动：在这个过程中什么没有发生变化？
分析：由题意知， 长方形的周长始终是不变的， 即长与宽的和为：10×= 5(m).
解：（1）如图所示：
设此时长方形的宽为 x m，则它的长为（x + 1.4）m
根据题意，得 x + x + 1.4 = 10×.
解这个方程， 得 x = 1.8.
1.8 + 1.4 = 3.2.
此时长方形的长为 3.2 m，宽为 1.8 m.
（2）如图所示：
设此时长方形的宽为 x m，则它的长为(x + 0.8)m.
根据题意，得 x + x + 0.8 = 10×.
解这个方程，得 x = 2.1.
2.1 + 0.8 = 2.9.
此时长方形的长为 2.9 m，宽为 2.1 m，
面积为 2.9×2.1 = 6.09(m2)，(1)中长方形所围成的面积为 3.2×1.8 = 5.76(m2).此时长方形的面积比(1)中面积增大 6.09 – 5.76 = 0.33(m2).
（3）如图所示：
设正方形的边长为 x m.
根据题意，得 x + x = 10× .
解这个方程，得 x = 2.5.
正方形的边长为 2.5 m，
它所围成的面积为 2.5×2.5 = 6.25(m2)，
比(2)中面积增大 6.25 – 6.09 = 0.16(m2).
等量关系：周长不变
长方形的周长不变时，它的面积会随着长和宽的变化而变化，当_______（即为 ）时，面积最大.
预设答案：长=宽；正方形.
设计意图：鼓励学生通过独立思考发现：围成的长方形的长和宽在发生变化，但在围的过程中，长方形的周长不变，由此便可建立“等量关系”.同时，根据计算，发现随着长方形长与宽的变化，长方形的面积也在发生变化.培养学生数学思考的严谨性，语言表述的准确性.
环节三 总结归纳
【方法归纳】
通过上述两个例题，让学生先独立思考，然后再小组交流探讨：如何找等量关系及列一元一次方程解实际问题的一般步骤.
等积变形：
1.形状变了，体积没变；原材料的体积＝成品的体积．
2.解决等积变形的问题时，通常利用体积相等建立方程.
等长变形：
1.线段长度不变时，不管围成怎样的图形，周长不变.即C前=C后.
2.当长方形周长不变时，长方形的面积随着长与宽的变化而变化，当长与宽相等时，面积最大.
【思考交流】
在上面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量?列方程的思路是什么?与同伴进行交流.
预设答案：相等的量；
方程的思路：审，设，列，解，检，答.
审：通过审题找出等量关系；
②设：设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称；
③列：依据找到的等量关系，列出方程；
④解：求出方程的解；
⑤检：检验所得的解是否符合题意；
⑥答：回答题目中要解决的问题，注意单位名称.
设计意图：明确如何根据等积变形和等长变形找等量关系，以及列一元一次方程解决实际问题的步骤.
环节四 巩固练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.某工厂要制造直径长为120 mm，高为20 mm的圆钢毛坯，现有的原料是直径长为60 mm的圆钢若干米，则应取原料的长为( )
A.50 mm B.60 mm C.70 mm D.80 mm
预设答案：D
2. 墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如下图虚线所示(单位：cm). 小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如下图实线所示. 小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米？
【分析】等量关系是变形前后周长相等.
解：设长方形的长是 x cm.
根据题意，得x + x + 10 + 10 =10 + 10 + 10 + 10 + 6 + 6
解得 x = 16
答：小颖所钉长方形的长为16 cm，宽为 10 cm.
3. 一种牙膏出口处直径为5 mm，小明每次刷牙都挤出1 cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为6 mm，小明还是按习惯每次挤出1 cm的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？
【分析】等量关系是变形前后体积相等.
解：设这一支牙膏能用x次，根据题意得
π××10×36＝π× ×10x.
解这个方程，得x＝25.
答：这一支牙膏能用25次．
教师活动：注意单位要统一哦！
4.把一块长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体铁块，浸入半径为4cm的圆柱形玻璃杯中(盛有水)，水面将增高多少？(结果保留两位小数)
【分析】等量关系是水面增高体积=长方体体积.
解：设水面增高 x 厘米，则
解得
因此，水面增高约为0.90厘米.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结
通过这节课，你学到了哪些内容？
设计意图：回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.