2024-2025学年福建省三明市六校高二(上)期中联考数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年福建省三明市六校高二(上)期中联考数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题．，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题．（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．）
1. 直线的一个方向向量为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得，所以直线的斜率为，
又当直线斜率存在时，直线的一个方向向量为，所以直线的一个方向向量为，
故选：C.
2. 已知空间向量，若 ，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，
又，所以，解得，
故选：A.
3. 已知点、，直线经过的中点且在两坐标轴上的截距相等，则直线的倾斜角等于（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】由题意可知，点.
①当直线不过原点时，可设直线的方程为，则，得，
此时，直线的方程为，直线的斜率为，倾斜角为；
②当直线过原点时，可设直线的方程为，则，，此时，直线的倾斜角为.
综上所述，直线的倾斜角为或.
故选：C.
4. 如图,在平行六面体中,为与的交点,若，,，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
=
故选：A.
5. 已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，因为点在双曲线上，
则，两式相减可得，
整理可得，又线段的中点是，
则，
所以，又直线过点，得到，所以，
得到，
故选：C.
6. 已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知:圆的圆心为，半径，
设中点为，则，且，可得，
又因为，可知为等腰直角三角形，
则，可得，
故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
因为直线上存在点使得，
即直线与圆有交点，
即圆心到直线的距离，解得或.

故选：A.
7. 如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且AB总是平行于轴，则的周长的取值范围是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】过点作准线的垂线，垂足为，
则的周长为，
由可得，
故，故的周长的取值范围为，
故选：D.
8. 三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，，直线AC与BD所成角为，则三棱锥外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得，因为为等边三角形，所以，
又，且
所以，所以,
取的中点，易得,又
所以平面，又平面，所以平面平面，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，D0,1,0，
令，所以，
因为，所以，所以，
所以，
因为直线AC与BD所成角为，所以，
解得，即，
如图，为外接球的球心，为等边三角形的重心，
设点A在平面内投影为，作，
所以,
所以在中，
,,
所以在中，，解得，
所以，三棱锥外接球表面积为，
故选：A
二、选择题．（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）
9.已知曲线Γ：（），则（ ）
A. Γ可能是等轴双曲线
B. 若Γ表示焦点在y轴上的椭圆，则
C. Γ可能是半径为的圆
D. 若Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则
【答案】BCD
【解析】对于A，若Γ是等轴双曲线，则，显然不成立，故A错误；
对于B，Γ表示焦点在y轴上的椭圆，
则，解得，故B正确；
对于C，Γ是圆，则，解得，半径为2，故C正确；
对于D，Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则，
解得，故D正确.
故选：BCD.
10. 在正方体中，，，则（ ）
A. 若，则点的轨迹为线段
B. 若，则点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段
C. 若，则三棱锥的体积为定值
D. 若，则与平面所成角的余弦值的最大值为
【答案】BCD
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则A0,0,0、、、、、、
、，
因为，
对于A选项，当时，则点的轨迹为线段，A错；
对于B选项，若，即点，
此时，点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段，B对；
对于C选项，若，即点，其中，
，，设平面的法向量为m=x1,y1,z1，
则，取，可得，
，则点到平面的距离为，
因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，C对；
对于D选项，若，则，其中，
易知平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则，
当时，取最小值，此时取最大值，且，
则，
因此，当时，则与平面所成角的余弦值的最大值为，D对.
故选：BCD.
11. 已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的有（ ）
A. 曲线有4条对称轴B. 曲线围成的图形面积为
C. 的最大值为D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】当时，
，
当时，，
当时，，
当时，，
且曲线过原点，曲线围成的图形是四个全等的弓形组成，
令，有，又各圆半径为，则每个弓形圆弧是圆弧，
所以曲线的图形如下图示，

由图知，显然对称轴只有轴，A错；
曲线围成的图形是四个全等的弓形组成，面积为，B对；
由上分析，易知的最大值为，C对；
由表示曲线上点与点所成直线斜率，结合图知，
当过的直线与圆右上方相切时斜率最小，
令直线为且，联立圆得，
所以，
则，整理得，
所以，可得（正值舍），D对.
故选：BCD
第II卷（非选择题）
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，A为上顶点，则的面积为_______.
【答案】
【解析】由椭圆得,
所以，
所以，
故答案为：
13. 如图所示，由圆锥曲线的光学性质知道：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射（即经椭圆在该点处的切线反射）后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C相切于点，过点P且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则_______________．

【答案】
【解析】因为直线与椭圆C相切于点，所以，解得，
由椭圆C的方程为，所以,,
由椭圆的定义可知：，
由椭圆的光学性质得到直线平分，可得.
故答案为：.
14. 若点在椭圆上，点在直线上，则的最小值是__________.
【答案】
【解析】
，
当且仅当，等号成立，
令，即，代入椭圆方程得，
由，解得，
，则（可验证等号可取），
故的最小值是.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 在中，，，且边的中点在轴上，边的中点在轴上．
（1）求边上的高所在直线方程；
（2）设过点的直线为，且点与点到直线距离相等，求直线的方程．
解：（1）设，，，
∵边的中点在轴上，边的中点在轴上，
∴，∴，
∵，∴，
∴所在直线方程为，即.
（2）方法一：当斜率不存在时，，不满足题意；
当斜率存在时，设,
即，
依题意得：，
解得或，
综上所述，直线的方程为：或，
即：或.
方法二：依题意，所求直线与直线平行或过线段的中点，
综上所述，直线的方程为：或，
即：或.
16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点.
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
解：（1）如图以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.
设，则，
于，，则，
由
故直线与所成角的余弦值为；
（2）如图，连接，
由建系知，，
设平面的法向量为则
故可取
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
17. 已知圆.
（1）若直线AB方程为与圆C相交于A、B两点，求.
（2）在（1）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值.
解：（1）由题意可得圆的标准方程为，
所以圆心，半径r=1，
又直线AB方程为，
则圆心C到直线AB的距离，直线AB与圆相交，
所以.
（2）圆的圆心，半径，
则点到直线AB：的距离为，
所以点Q到直线AB距离的最大值为，
所以面积的最大值为.
18. 如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求MN的方程；
（3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值.
解：（1）由椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0过点，焦距为，
得，解得，
故椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为，，，
联立，消去得，
由，得，
则．
，
解得或，
当时，直线的方程为；
当时，直线经过点，不符合题意，舍去．
所以当时，的方程为．
（3）直线，均不与轴垂直，所以，，则且，
所以
，
所以为定值．
19. 《文心雕龙》有语：“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意指自然界的事物都是成双成对的．已知动点P与定点的距离和它到定直线l：的距离的比是常数（）．设点P的轨迹为曲线H，若某条直线上存在这样的点P，则称该直线为“齐备直线”．
（1）若，求曲线H的方程；
（2）若“齐备直线”：与曲线H相交于A，B两点，点M为曲线H上不同于A，B的一点，且直线MA，MB的斜率分别为，，试判断是否存在λ，使得取得最小值？说明理由；
（3）若，与曲线H有公共点N的“齐备直线”与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且N为线段ST的中点，求证：直线与曲线H有且仅有一个公共点．
解：（1）当时，定直线：，比值为：.
设，则点到定点的距离与它到定直线的距离之比为，
即，
两边平方，整理得：，
即为曲线的方程.
（2）因为动点P与定点的距离和它到定直线l：的距离的比是常数（），
所以，
整理得，
即，
即为曲线的方程.
设，
则，
，
得，
当且仅当即时，等号成立，
所以存在使得取得最小值4.
（3）由（2）知，当时，曲线：，双曲线的渐近线方程为：，
如图：
设，则，解得，
即，所以，
代入双曲线方程，得，
整理得，即，
解得或.
当时，，若，则，
，消去得，方程有唯一的解，
同理，若，得，方程有唯一的解，
故直线与曲线H有且仅有一个公共点；
当时，，消去得，
，方程有唯一的解，
故直线与曲线H有且仅有一个公共点.
综上，直线与曲线H有且仅有一个公共点.