2024-2025学年湖北省武汉市洪山区八年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年湖北省武汉市洪山区八年级(上)期中数学试卷(解析版)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 中国的方块字中有些具有对称性．下面四个汉字中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2. 已知三角形的两边长分别为和，则此三角形的第三边长可能是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：设第三边长为，
则，
即，
故选：D．
3. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）

A. ∠A=∠DB. AB=DCC. ∠ACB=∠DBCD. AC=BD
【答案】D
【解析】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意．
故选D．
4. 到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）
A. 三条角平分线的交点B. 三条中线的交点
C. 三条高的交点D. 三条边的垂直平分线的交点
【答案】D
【解析】解：到三角形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点，
故选：D．
5. 若一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角等于它相邻外角的3倍，则该多边形的边数是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】解：设它相邻的外角为，则内角度数为，根据题意，得，
解得，
故多边形的边数为：．
故选：C．
6. 如图，在中，点在边上，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵中，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
7. 如图，的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：如图，根据题意，得，且，
故，
故选：A．
．
8. 已知平面直角坐标系中有，两点．若在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】解：当，以为圆心，为半径作圆，与坐标轴有2个交点，但是点三点共线，故有1个等腰三角形，如图：
当时，以为圆心，为半径作圆，与坐标轴有2个交点，故有2个等腰三角形，如图：
当时，作出的垂直平分线，坐标轴有2个交点，故有2个等腰三角形，如图：
综上所述，共计有5个符合条件的点C，
故选：B．
9. 如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】解：延长交于点，作与点，如图所示，
，是的角平分线
，
在和中
，
，，，
故选：C．
10. 在中，，，、分别为边、上的动点，且满足，当最小时，的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：过点A作于点A，且，连接，设与的交点为G，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当三点共线时，取得最小值即取得最小值，
故当点D与点G重合时，取得最小值，
根据题意，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 点关于轴对称的点的坐标是_____．
【答案】
【解析】解：点关于x轴对称的点的坐标是，
故答案为：．
12. 等腰三角形的一个内角为，则它的一个底角的度数为______．
【答案】
【解析】解：①当是顶角时，底角；
②当是底角时，另一个底角为，因为，不符合三角形内角和定理，所以舍去．
故答案为：．
13. 如图，在中，，，平分，若，则的长度为______．
【答案】
【解析】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
14. 在中，，，则边上的中线的取值范围是__．
【答案】
【解析】解：延长到，使，连接，
是边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
15. 已知是等腰三角形，若为腰边上的高，当时，的度数是________．
【答案】或或
【解析】解：当时，取的中点Q，连接，
∵，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，；
当时，∵，，
根据前面证明得，
∴；
当时，∵，，
根据前面证明，得
∴；
∵，
故．
故答案为：或或．
16. 如图，在与中，，，、分别是、上的点，，下列结论：
①；②若，则；③平分；④平分．
其中正确的是________（填写序号）．
【答案】①③④
【解析】解：将绕点顺时针旋转得到，
则，，，，
，，，
，，
，，
点、、共线，，
在和中，
，
，
，
，
，
故①正确；
，
，
与不一定相等，
与不一定相等，
与不一定相等，
与不一定相等，
故②错误；
，
，
平分，
故③正确；
过点作于点，延长线于点，
则，
，，
，
在和中，
，
，
，
点在的平分线上，
平分，
故④正确，
故答案为：①③④．
三、解答题（共8小题，共72分）
17. 在中，，，求的各内角度数．
解：，，
，
，
，
解得，
，．
18. 如图，已知，，．求证：．
解：证明：∵
∴，即
在和中
∴．
19. 如图，在中，是边上的高，平分，，．
（1）求的大小；
（2）求的大小．
解：（1）由内角和为180°得：
∵平分
∴
（2）是边上的高，
∴．
20. 如图，为等腰三角形，，、分别是边、上的点，且满足，连接、交于点．

（1）求证：；
（2）求的度数．
解：（1）证明：∵，，
∴为等边三角形
∴，
在和中，
，
∴．

（2）解：∵，
∴
∴．
21. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，且．仅用无刻度的直尺完成下列作图，保留作图痕迹．

（1）在图1中，画出点关于直线的对称点；
（2）在图1中，作出的高；
（3）在图1中，在线段上确定一点，使得；
（4）在图2中，若与关于直线对称，且，均为格点，请你作出直线（不必画出）．
解：（1）如图，取格点，且，连接，且，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴关于对称．
（2）如图，取格点，且，连接交于，且，
∴，
∴，
取格点，连接交于，且，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即即为所求．
（3）如图，取格点，且，连接交于，且，
∴，
∴，
∴，
∴即为所求．
（4）如图，取格点，，，连接，作直线，交于，
∵，，，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴与关于直线对称，即即为所求；
如图，取格点，，与交于，作直线，
同理可得：与关于直线对称，即即为所求；
如图，当重合时，
此时即为所求的对称轴．
22. 【问题情景】如图1，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小，请你探究点的坐标．
【方法分析】小刚的做法是先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小．请在图1中按照小刚的方法完成作图．小刚进一步发现：连接，利用列方程，可求出点的坐标．请按照小刚的思路求出点的坐标；
【问题解决】为响应“秉承节能减排理念，共筑生态环保家园”的号召，现考虑为某化工厂设计一个工业运输用桥方案（平面示意图如图2）．假定长江两岸为互相平行的直线、，且与相距，铁路所在直线垂直于．位于点处的化工厂与相距，与铁路相距；位于点处的火车站与相距．若桥与长江两岸垂直，则在何处修建运输桥可以使、两点之间的路径最短？请你完成作图，并通过计算求出桥与铁路的距离．

解：方法分析：如图，点即为所求作；

设，则，
点与点关于轴对称，
，
,
，
，
解得：，
点的坐标为；
问题解决：如图，令互相平行的直线、与铁路所在直线相交于点、，将点向左平移至点，连接与交于点，作交于点，连接，过点作于点，则，

由平移的性质可知，，
、两点之间的路径，
即在处修建运输桥可以使、两点之间的路径最短；
由题意可知，，，，，
，
，
设，
，
，
，
解得：，
即桥与铁路的距离为．
23. （1）已知，均为等边三角形．
①如图1，求证：；
②如图2，连接并延长至点，使得，连接并延长至点，使得，连接、、．猜想的形状，并证明；
（2）如图3，等腰中，，，为的中线．延长至，使得，延长至，使得，连接、．证明：．
解：（1）①证明：∵、均为等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中
，
∴．
②猜想为等边三角形，理由如下：
由①得，，
又∵，，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∴
∴为等边三角形．
（2）取中点，连接，延长至使得，连接，
∵为中点，
∴，
又，，
∴，，
∴，
且，
∴，
又，
∴，，
又，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
24. 在平面直角坐标系中，已知，，且满足，连接，

（1）直接写出A，两点的坐标：A ________，________；
（2）如图1，点为线段上一点，且点的横坐标为1，点为第四象限一点，满足且，求点的坐标；
（3）如图2，为的角平分线，点为上一点，以为直角边作等腰，其中，且点在第四象限，，求证：．
解：（1）∵，
∴，，
∴，
∴，B4,0；
（2）过点作于点，过点作轴于点，
由（1）知，，B4,0，
∴，
∴，
∵的横坐标为1，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∵，
∴
∴
在和中

∴
∴，
∴；
（3）在上截取一点，使得，连接、，过点作于点，过点作于点，
在和中

∴
∴，
∴，
即是等腰直角三角形，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴、、三点共线，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵平分，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴．