2024-2025学年浙江省台州市六校联盟高二(上)期中联考数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年浙江省台州市六校联盟高二(上)期中联考数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了 直线的倾斜角是， 双曲线的焦距为．， 下列说法正确的是， 已知直线，则下列选项正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分）
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设直线的倾斜角为，，
由，得，
所以.
故选：B.
2. 双曲线的焦距为（ ）．
A. 2B. C. D. 4
【答案】D
【解析】因为双曲线方程为，所以，，因为，所以，
所以双曲线的焦距是4.
故选D．
3. 已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）
A. 10B. 3C. D.
【答案】C
【解析】由题得，
所以到平面的距离为，
故选：C.
4. 已知圆与圆的位置关系为（ ）
A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切
【答案】C
【解析】圆圆心为，半径，
圆圆心，半径，
则，
圆心距，
因为，
所以两圆位置关系为外切.
故选：C.
5. 已知直线经过两条直线的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】已知直线经过两条直线的交点，
则，解得，故交点坐标为，
因为的一个方向向量为，
所以直线方程为，即，
故选：C.
6. 已知双曲线的左右焦点分别为，且，当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题设可得双曲线渐近线为，且，
所以，即，又，所以，
所以.
故选：D
7. 已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，过点引直线与圆相切，切点分别为，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为椭圆，即，
所以右焦点坐标，
又圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，
所以圆的标准方程为：，
设，根据圆的性质得，
，
因为，四边形的面积，
即，
设Mx,y，则，
因为点在椭圆上，所以，
将代入到中得
，
对于二次函数，其对称轴为，
所以，，所以，
当时，，
当时，，
所以，
故选：B.
8. 在三棱锥中，，若为三棱锥的外接球直径，且与所成角的余弦值为，则该外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设外接球的半径为，则，由于是外接球的直径，
所以，
，所以，
所以，所以，
所以，
，
设与所成角为，则，
整理得，所以外接球的表面积为.
故选：A
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B. 直线的方向向量，平面的法向量，则
C. 已知直线经过点，则到的距离为
D. 若，则为钝角
【答案】AC
【解析】A：对于空间向量，若，
空间中任意两个向量均是共面的，即、均共面，
所以一定共面，故A对；
B：因为，,所以与不平行，
故不成立，故B错；
C：由题设，，
则直线上的单位方向向量为，
故，
所以到直线的距离，故C对；
D：当反向共线时，也有，但此时不是钝角，故D错.
故选：AC
10. 已知直线，则下列选项正确的是（ ）
A. 当直线与直线平行时，
B. 当直线与直线垂直时，
C. 当实数变化时，直线恒过点
D. 直线和负半轴构成的三角形面积最小值是4
【答案】ACD
【解析】A：由题意，，则，对；
B：由题意，，则，错；
C：直线可化为，联立，直线恒过点，对；
D：由题意，直线与负半轴均有交点，
令，则，令，则，易知，
所以直线和负半轴构成的三角形面积，
令，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以直线和负半轴构成的三角形面积最小值是4，对.故选：ACD
11. 如图，在长方体中，，点是平面上的动点，满足，（ ）
A. 在底面上的轨迹是一条直线
B. 三棱锥的体积是定值
C. 若角是直线和平面所成角，则的最大值是
D. 不存在点，使得
【答案】ABC
【解析】A：在上取，连接并延长交延长线于，
在和中，且，
所以，则，
所以，由长方体性质易得，而都在面内，
所以面，面，故，
根据题设，易知，，同理可证，
由且都在面内，所以面，
即面，又面面，由，
只需在直线，即在底面上的轨迹是一条直线，对；
B：由长方体的结构特征知：面，即面，
所以到面的距离恒定不变，即三棱锥的体积是定值，对；
C：由面，易知是直线和平面所成角的平面角，
所以，要使该值最大，只需最小，显然当时最小，
而，，且，
所以，则，则，，故，对；
D：由面，面，则，若存在，使，又且都在面内，此时面，面，只需，显然，在面上以为直径的圆与的交点作为点，满足，故存在点，使得，错.
故选：ABC
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 向量与共线，且方向相同，则__________.
【答案】14
【解析】因为向量与共线，且方向相同，
所以，则，
得到，解得，，
所以，
故答案为：.
13. 设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且,则的面积等于__________.
【答案】24
【解析】由题设，令且m>0，则，
即，
所以，而，
则，
所以为直角三角形，且，
故其面积为.
故答案为：
14. 圆和圆锥曲线的关系十分密切，它们有很多相似的结论.例如，过圆上任意不同两点作圆的切线，如果切线垂直且相交于点，则动点的轨迹为圆.在椭圆中也有类似的结论.已知椭圆，过椭圆上任意不同两点作椭圆的切线，若两切线垂直且相交于点，则动点的轨迹方程是__________.
【答案】
【解析】设，
若切线的斜率存在且不为0，则过点的切线方程为
，
联立方程，
消去y可得，
则，
整理可得，
由题意可知：关于的方程有两个不同的实数根，
则且，
整理可得；
若切线的斜率不存在或为0，则点为，满足；
综上所述：，
即动点的轨迹方程是.
故答案为：.
四､解答题（本题共5小题；其中第15小题13分，第16小题15分，第17小题15分，第18小题17分，第19小题17分；共77分）
15. 如图，在正四面体中，为棱的中点，为棱（靠近点）的三等分点，设.
（1）用表示；
（2）求的长.
解：（1）连接，
，
则；
（2）由（1）可得，所以
，
因为是正四面体，，故夹角均为，
所以，
，所以，即的长为.
16. 在坐标平面上有两定点，动点满足
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若直线与圆交于两点，且，求实数的值.
解：（1）设Px,y，因为，所以，
平方并整理得，即；
（2）已知直线与圆交于两点，
设，
联立，得，
所以，得，
，
所以或，又，则.
17. 如图，在四棱锥中，平面平面，且，.
（1）求证：平面平面；
（2）设.若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角夹角余弦值的大小.
解：（1）在四棱锥中，面面，面，面面，
所以面，
又面，
所以面面.
（2）以A为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
由，则，
设，则，所以，
设面的法向量为n=x,y,z，则，取，
则，
所以，即，
化简得，解得或（舍），所以，，
设平面的法向量，且，，
则，取，则，
设二面角的夹角大小为，则，
所以二面角的夹角的余弦值为.
18. 已知椭圆焦距为2，离心率e是
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作两条互相垂直的弦，其中在轴的上方，且在的右侧，设弦的中点分别为.
①若弦的斜率均存在，求四边形面积的最小值；
②判断直线是否过定点，若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由.
解：（1）依题意有，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）①设，则
联立，，
由弦长公式可得：
同理可得：，
所以
令，
则
当的最小值是；
②
，由代替m，得，
当，即时，，过点.
当，即时，，
，
当时，，经验证直线过点，
综上，直线恒过点.
19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种.设Ax1,y1,Bx2,y2，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）.
（1）若，求之间曼哈顿距离和余弦距离；
（2）若点，求的最大值；
（3）已知点是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由.
解：（1）由题可得，
，
；
（2）设，由题意得：，
即，而表示的图形是正方形，

其中.
即点在正方形的边上运动，，
可知：当最大时，取到最小值，
相应的有最大值，
①点与点重合时，则，
可得；
②点在线段上运动时，此时与同向，取，
则，
因为，所以的最大值为；
（3）易知，设，
则，
当时，，则，满足题意；
当时，，
由分段函数性质可知，
又且恒成立，
当且仅当时等号成立，
综上，满足条件的直线有且只有两条，和.