2024-2025学年江苏省南通市如皋市部分学校高二(上)11月期中联考数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年江苏省南通市如皋市部分学校高二(上)11月期中联考数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知为抛物线上一点，则抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为为抛物线上一点，所以，解得，
所抛物线的方程为，所以准线方程为.
故选：C.
2. 已知正项等比数列的前和为，，则（ ）
A. 85B. 62C. 32D. 31
【答案】B
【解析】根据题意设等比数列公比为，
由可得，即；
因此，解得，所以；
可得.
故选：B
3. 已知双曲线一条渐近线斜率为2，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由双曲线可知：其中一条渐近线的斜率为，
所以该双曲线的离心率为.
故选：A.
4. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则点到原点距离的最小值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】圆，设圆心，圆的半径为，
因为过点与圆相切的两条直线的夹角为，则，
所以，又因为，所以，
则，

设点Px,y，可得，
化简可得，
设，
则点到原点距离，
当时，点到原点距离最小值为，
故选：B.
5. 已知等差数列的前和为，，则（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】在中取得，
故，
所以.
故选：A.
6. 已知为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为．若为双曲线上一点，为的角平分线，过右焦点的直线与直线垂直，垂足为，则（ ）
A.1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】由双曲线的对称性不妨设点在双曲线的右焦点，
如图，延长交于点，
因为为的角平分线，，
所以为线段的中点，且，
又为线段的中点，
所以.
故选：B.
7. 在平行六面体中，，，，则下列说法不正确的是( ).
A. 平面
B. 平面
C. 直线与平面所成角为
D. 的余弦值为
【答案】ABD
【解析】对于A选项：设，由题意可知且，
所以四边形为平行四边形，因此，连接和，
因为且，所以四边形为平行四边形，故，
又因为平面，平面，所以平面，故A正确；

对于B选项：设，因为平行六面体，
所以，，
则，
，
，
，
因为且，即垂直于平面内相交直线和，
所以平面.故B正确；
对于C选项：设，因为平行六面体，
，则由对称性知道在平面的投影一定在上，
则为直线与平面所成角.又，
两边平方，
则，
又因为，
所以.
故直线与平面所成角为，则，
所以不是，故C错误；
对于D选项：设，，
所以，又因为，点是中点，所以，
由题可知，所以，
故为二面角的平面角，因为，
则，
则，因为，
所以，
则，由题可知，
故则，故D正确.

故选：ABD.
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过上顶点和右焦点的直线与椭圆的另一个交点为，且的面积为，则的周长为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】D
【解析】如下图所示：
由已知，则，，
所以，椭圆的方程为，
易知点、，，
所以，直线的方程为，
联立，解得或，即点，
所以，，解得，
所以，，
则的周长为，
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知数列的首项为1，前和为，且，则（ ）
A. 数列是等比数列
B. 是等比数列
C.
D. 数列的前项和为
【答案】BD
【解析】因为①，
所以，
当时，②，
由①②得，即，
又，
所以数列是从第二项开始，以为公比的等比数列，故A错误；
对于C；当时，，所以，故C错误；
对于B，当时，，
当时，，符合上式
所以，
则，所以数列是等比数列，故B正确；
对于D，由C选项知，
所以数列的前项和为，故D正确.
故选：BD.
10. 在正三棱台中，为线段上一动点，，则（ ）
A. 存在点，使得
B. 存在点，使得
C. 当平面时，为中点
D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】对于A，如图1由正三棱台的定义知，与必相交，故与平面必相交，
而平面,故与不可能平行，即A错误；
对于B，设正三棱台的上下底面中心分别为,连接，则平面，
因平面，则；
连接并延长交于，则，
由正棱台结构性之可知与延长线交于一点，
所以过与的平面有且只有一个记为平面，
又平面，故平面，
又平面，故，
即当点与点重合时，成立，故B正确；
对于C，若平面，因平面,则，
又平面，且为正三角形，故为的中点，即C正确；
对于D，绕着边翻折至与共面时，连接交于点(如图2所示)，
由图可知当三点共线时的值最小.
如图3，在梯形中，作于点，则，
因，则，
在中，由余弦定理，，
同理,故，
又，故的最小值为，即D正确.
故选：BCD.
11. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左，右焦点分别为，上顶点，且°．为椭圆上任意一点（异于左，右顶点），直线分别与椭圆交于，则（ ）
A. 椭圆的离心率为
B. 内切圆的半径为
C. △的外接圆方程为
D. △与△内切圆半径之和的最大值为
【答案】ABD
【解析】A选项，由题意，是等腰直角三角形，因此，，
离心率为，A正确；
B选项，由上知，，直线的方程为，椭圆方程为，
由，解得或，∴，
，，
而，
则，
即为直角三角形，
∴△内切圆的半径为，B正确；
C选项，由题意设△的外接圆圆心坐标为，则，解得，
即圆心坐标为，半径为，
圆方程为，C错；
D选项，设，的内切圆在三边上的切点分别为，
如图，

一方面，，
另一方面，记的内切圆半径为，，
所以，，事实上，不论点在轴上方还是下方，都有与同号，所以，从而，
则的内切圆半径为，内切圆半径为，
△与△内切圆半径之和为，
设直线方程为，
由得，
，
，
所以当，即时，取得最大值，D正确，
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在正四面体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_______．
【答案】
【解析】取的中点，连接如图所示：
因为点分别是的中点，所以，
即与所成的角为异面直线与所成角，
设正四面体的棱长为，
则，
在中，，
所以异面直线与所成角的余弦值为，
故答案为：.
13. 已知，则数列前11项之和为_______．
【答案】249
【解析】由题意：，
，
所以前11项之和为，故答案为：249
14. 已知为坐标原点，为双曲线上一点，分别为双曲线的左，右顶点，且直线与直线的斜率之积为，则______.
【答案】30
【解析】由题意，，，为双曲线上一点，则，
解得，又点在双曲线上，则，解得，
，，则，，所以.
故答案为：30.
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，且直线与直线斜率之和为0．
（1）求抛物线的方程；
（2）若为抛物线上一动点，直线，且，求到直线距离的最小值．
解：（1）抛物线的焦点
因为直线与直线斜率之和为0，
所以点关于轴对称点与三点在同一直线上，

设直线的方程为，
与抛物线联立可得，消去得，
由是方程的两根，
所以，解得，所以抛物线的方程为；
（2）因为在抛物线上，所以，所以，
所以，又，所以，又且直线，
所以的方程为，
设，所以点到直线距离；
当时，到直线距离取最小值，最小值为.
16. 已知等比数列的前项和为，且．
（1）求；
（2）若，求数列的前项和．
解：（1）设等比数列的公比为，
由题意，得，
解得，
∴或
（2）∵，由（1）知，，，
令①
则②
得
即
所以.
17. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面是直角三角形，，点分别在上，且．
（1）证明：平面；
（2）若平面，求．
解：（1）因为侧棱底面，底面，所以，
又，，平面，
所以平面；
（2）因为，所以确定唯一平面，
设平面，连接，
因为平面，所以，
又因为，底面，底面，所以底面，
又平面，平面底面，
所以，所以，所以，
又因为，，所以四边形是平行四边形，所以，
所以，所以.
18. 已知数列的前项和为，，且．
（1）求；
（2）若从数列中删除中的项，余下的数组成数列．
①求数列的前项和；
②若成等比数列，记数列的前项和为，证明：．
解：（1）∵，∴当时，，
两式相减得，，整理得，即，
∴当时，，满足此式，
∴.
（2）①由（1）得，，
∴，，
∴数列是首项为，公差为的等差数列.
当为奇数时，为偶数，为的整数倍，是数列中的项，
当为偶数时，为奇数，不是数列中的项，
∴数列中的项为数列的偶数项，且，
∴数列是首项为，公差为的等差数列，
∴，
∴，，
∴.
②由①得，，∴，
∵成等比数列，∴，即，
∴，∴，
∴.
19. 已知圆与双曲线只有两个交点，过圆上一点的切线与双曲线交于两点，与轴交于点．当与重合时，．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线的斜率为，求；
（3）当时，求的最小值．
解：（1）由圆与双曲线只有两个交点可知：，
又根据题意，双曲线过点，所以，
所以双曲线的标准方程为：.
（2）如图：
因为直线的斜率为，且直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
设直线的方程为：，即，
由，
不妨令，则直线的方程为：，
代入得：，
整理得：，
设Ax1,y1，Bx2,y2，则，，
所以，
所以，
若，亦可得，
综上：.
（3）设直线的方程为，由，
不妨设点在第二象限，因为，则的两个端点为，，
则，因为，
所以，，
将代入双曲线可得：，
整理得：，
设Ax1,y1，Bx2,y2，则，，
因为，所以，
所以，
所以，
又，
所以，
因为，所以，
即的最小值为.