2024-2025学年广东省佛山市H7教育共同体高二(上)12月联考数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年广东省佛山市H7教育共同体高二(上)12月联考数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列直线中，倾斜角最大的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A，直线的斜率，则倾斜角；
对于B，直线的倾斜角；
对于C，直线的斜率，则倾斜角；
对于D，直线的倾斜角，
所以直线的倾斜角最大.
故选：C
2. 已知为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且，，则（ ）
A. 0.06B. 0.5C. 0.6D. 0.7
【答案】D
【解析】因为B与C互为对立，，
所以，
因为A与B互斥，
所以.
故选：D.
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. 2C. D. 1
【答案】A
【解析】由题意可设，即，
即，解得，所以.
故选：A
4. 若圆的圆心到两坐标轴的距离相等，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】圆化为标准方程为，
则圆心为，半径，由题意得，解得.故选：C.
5. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0，为坐标原点，直线与椭圆交于两点.若为直角三角形，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由椭圆的对称性可得，则，
则不妨取，
将点的坐标代入得：，
所以，所以的离心率.
故选：B.
6. 已知，，，，，若从A，B，C，D，E这五个点中任意选择两个点，则这两个点都落在圆外的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由可得点在圆外，
由可得点在圆内，
由可得点在圆外，
由可得点在圆外，
由可得点在圆上，
从A，B，C，D，E这五个点中任意选择两个点，
则基本事件总数有,
共10种，
两个点都落在圆外包含基本事件个数有共3种，
设事件表示从五个点中任意选择两个点，两个点都落在圆外，
则.
故选：C
7. 一条光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点M，则光线从P到M经过的路程为（ ）
A. 4B. 5C. D.
【答案】C
【解析】设关于直线的对称点为，则光线反射后经过的路径所在的直线即为直线.
根据的定义，有到直线的距离相等，且其连线与其垂直，
故，.
从而，，故，
即或.
但不重合，故，所以，从而，即.
而，，故.
根据对称性，光线经过的路程即为.
故选：C.
8. 在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，经过点且法向量为的平面的方程为.已知在空间直角坐标系中，经过点的直线的方程为，经过点的平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】经过点的直线方程为，即，
故直线的一个方向向量为，
又经过点的平面的方程为，
即，
故的一个法向量为，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知曲线，则下列结论正确的有（ ）
A. 若，则C是焦点在轴上的椭圆
B. 若，则C是圆
C. 若，则C是焦点在轴上的椭圆
D. 若，则C是两条平行于y轴的直线
【答案】ABD
【解析】对于A，若，则，
所以C是焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则曲线，
所以C是圆，故B正确；
对于C，若，则，
所以C是焦点在轴上的椭圆，故C错误；
对于D，若，则，
所以C是两条平行于y轴的直线，故D正确.
故选：ABD.
10. 在四棱锥中,,,,，，则下列结论正确的有（ ）
A. 四边形为正方形
B. 四边形的面积为
C. 在上的投影向量的坐标为
D. 点到平面的距离为
【答案】BCD
【解析】对于A，，
则，
所以，与不垂直，
所以四边形为平行四边形，故A错误；
对于B，，
所以，
所以四边形的面积为，故B正确；
对于C，，
则在上的投影向量为，故C正确；
对于D，设平面的法向量为，
则有，可取，
所以点到平面的距离为，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知,,是曲线上的任意一点,若的值与无关，则（ ）
A. m的取值范围为
B. n的取值范围为
C. 的最大值为7
D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】由曲线，得，则（），
所以曲线表示以为圆心，半径的半圆（轴及以上部分）.
设直线：与：，
由，
得表示点到直线和的距离和的2倍，
对于AB，若的值与无关，
则该曲线在两平行直线：与：之间，
当与该曲线相切时，，解得，
则的取值范围为，
当经过点时，，解得，
则的取值范围为，故A正确，B错误；
对于C，由图知，当点的坐标为时，
点到直线的距离最大，为，
所以的最大值为7，故C正确；
对于D，由图可知，当与该曲线相切，且经过点时，
点到直线和的距离和最小，
此时，
则点到直线和的距离和最小值为，
所以的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则m的值为_______.
【答案】或
【解析】令，则，令，则，
则，即，解得或.
故答案为：或.
13. 在四棱锥中，底面是平行四边形，点E满足，点F满足，若四点共面，则_______.
【答案】
【解析】因为，所以，
则
，
因为四点共面，
所以，解得.
故答案为：.
14. 已知P是椭圆的一点，，分别为C的左、右焦点，且P满足，.若的角平分线与x轴交于点，则椭圆C的长轴长为_______.
【答案】
【解析】因为，所以，
即，所以，所以，
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
又因为的角平分线与x轴交于点，则，
又因为，所以，
所以，即，解得，
所以，
即椭圆C的长轴长为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆经过点，，.
（1）求圆的标准方程；
（2）若倾斜角为的直线经过点，且l与圆M相交于E，F两点，求.
解：（1）设圆的标准方程为，
则，解得，
所以圆的标准方程为；
（2）直线的斜率，
所以直线的方程为，即，
圆的圆心，半径，
圆心到直线的距离，
所以.
16. 如图，在正方体中，分别为和的中点.
（1）证明：直线平面.
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
解：（1）如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为，
则，
故，
设平面的法向量为，
则有，
可取，
则，
所以，
又平面，
所以直线平面；
（2）A0,0,0，
故，
设平面的法向量为，
则有，
可取，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值.
17. 某中学举办科学竞技活动，报名参加科学竞技活动的同学需要通过两轮选拔.第一轮为笔试，设有三门考试科目且每门是否通过相互独立，至少有两门通过，则认为是笔试合格.若笔试不合格，则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试.面试合格者代表年级组参加全校的决赛.现有某年级甲、乙两名学生报名参加本次竞技活动，假设笔试中甲每门合格的概率均为，乙每门合格的概率分别是，，，甲、乙面试合格的概率分别是，.
（1）求甲能够代表年级组参加全校的决赛的概率；
（2）求甲、乙两人中有且只有一人代表年级组参加全校的决赛的概率.
解：（1）由题意甲能够代表年级组参加全校的决赛的概率为：
；
（2）由题意乙能够代表年级组参加全校的决赛的概率为：
，
所以甲、乙两人中有且只有一人代表年级组参加全校的决赛的概率为：
.
18. 设，分别是椭圆的左、右焦点，P为C上一点.
（1）已知，且点在C上.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求的最大值.
（2）若为坐标原点，，且的面积等于9，求的值和的取值范围.
解：（1）（Ⅰ）由题意得，
所以，
所以椭圆C的方程为；
（Ⅱ）设，则，
则，
所以当时，取得最大值，
所以的最大值为；
（2）取得中点，连接，则，
因为为的中点，
所以，所以，
则，所以，
由，
得，
即，所以，
即，所以，
因为P为C上一点，且，
则的最大值要大于等于，
当取得最大值时，点位于椭圆的上下顶点，设椭圆的上顶点为，
则，
所以，
则，
所以，
所以，
所以.

19. 图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达的位置，且，如图2．
（1）求证：平面平面ABED；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
（3）在棱上是否存在点P，使得二面角的平面角为？若存在，求出线段的长度，若不存在说明理由．
解：（1）在图1中，连结AE，由已知条件得，
∵且，
∴四边形ABCE为菱形，连结AC交BE于点F，
∴，又∵在中，，
∴，
在图2中，，∵，∴，
由题意知，且
∴平面ABED，又平面，
∴平面平面ABED；
（2）如图，以D为坐标原点，DA，分别为x，y轴，方向为z轴正方向建立空间直角坐标系．由已知得各点坐标为
，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，，
所以，即，
令，解得，，
所以，，记直线与平面所成角为，
则．
（3）假设存在，设，
所以，，
∵平面，易得平面的一个法向量，
设平面PBE的一个法向量，
由，可得，
可取，
则，
解得，此时．