2024-2025学年广东省东莞市七校高一(上)期中联考数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年广东省东莞市七校高一(上)期中联考数学试卷(解析版)，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，
，
所以.
故选：A.
2. 下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（ ）
A. 梯形四边形B. ，
C. ，D. 存在一个实数x，使
【答案】A
【解析】对于A，是全称量词命题且为真命题，A选项正确；
对于B，是全称量词命题，当时，，命题为假命题，B选项错误；
CD选项都为存在量词命题，不合题意.
故选：A.
3. “”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. 或B. C. D.
【答案】B
【解析】解不等式可得，解得或，
所以不等式的解集为或，
因此不等式成立的一个充分不必要条件，对应的范围是解集的真子集，
即是或的真子集.
故选：B.
4. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，解得，
所以函数定义域是.
故选：C.
5. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对A，函数是偶函数，当时，，在区间上单调递增，
A选项不合题意；
对B，函数的定义域为，是非奇非偶函数，B选项不合题意；
对C，设，定义域为，关于原点对称，且，
则函数是偶函数，当时，，在区间上单调递减，
C选项正确；
对D，设，其定义域为，关于原点对称，
且，则函数，是奇函数，D选项不合题意.
故选：C.
6. 设，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】指数函数在R上单调递减，对数函数在上单调递增，
则有，即，又，
所以.
故选：C.
7. 已知函数（且）在上具有单调性，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】（且）在上具有单调性，
当在上单调递减时，，解得；
当在上单调递增时，，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：B.
8. 已知是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，且，在上单调递减，则（ ）
A. 是偶函数B. 是奇函数
C. D.
【答案】D
【解析】由，得是奇函数，
且定义域（全体实数）关于原点对称，
由，且定义域（全体实数）关于原点对称，得为偶函数，
故A，B选项均错误．
由题易知函数在R上单调递减，函数在上单调递增，
由，得，从而，即C选项错误；
由，得，从而，即D选项正确．
故选：D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选错或不选得0分，部分选对的得部分分．）
9. 下列各组函数中是同一函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D.
【答案】CD
【解析】对于A，定义域为，定义域为，A错；
对于B，定义域为，定义域为，B错；
对于C，和定义域都是，，C正确；
选项D，两函数定义域、对应关系、值域相同，正确.
故选：CD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若不等式的解集为，则
C. 当时，的最小值是
D. 函数（，且）过定点
【答案】BCD
【解析】对于A，当，时，有，但，故A错误；
对于B，因为不等式的解集为，
所以为方程的根，从而，即，故B正确；
对于C，当时，有；
而当时，有，所以的最小值是，故C正确；
对于D，由于a>0，故恒有，所以函数过定点，故D正确.
故选：BCD.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是
B. 已知，，则
C. 记表示x，y中最大的数，则的最小值为1
D. 函数，，其中表示不超过x的最大整数，则函数的最大值为1
【答案】BC
【解析】对于A，，，则有，解得，
A选项错误；
对于B，，，
则，所以，B选项正确；
对于C，时，有，
则有，由一次函数和二次函数的性质可知，
在上单调递减，在上单调递增，
时，的最小值为1，C选项正确；
对于D，，使得，
从而恒成立，故D选项错误.
故选：BC.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，其中第14题第一空3分，第二空2分．把答案填在答题卡中的横线上．）
12. 计算的结果是______．
【答案】
【解析】
.
13. 已知函数在上是减函数，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】当时，在R上递减，符合题意；
当时，由二次函数的性质可知，且对称轴，解之得.
综上：的取值范围是.
14. 若，且函数与的图象若只有个交点，则写出一个符合条件的集合______；若有两个交点，则满足条件的不同集合有______个．
【答案】（答案不唯一）
【解析】函数与的图象分别有个，个，个交点；
函数与的图象都有个交点；
函数与的图象有个交点，
所以函数与的图象若只有个交点，
则或；
函数与的图象若只有个交点，
则或或或.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知全集为R，集合
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围.
解：（1）解不等式，即，得，则，
当时，，
所以.
（2）依题意，，，
由存在实数使""是""的充分不必要条件，转化为是A的真子集，
因此，其中等号不能同时取到，解得，
所以实数的取值范围是.
16. 已知函数是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）证明在区间上单调递减；
（3）解不等式.
解：（1）∵是奇函数，
∴，则，经验证此时为奇函数.
（2）∵，∴，
设，则，
，
∵，∴，，则，
则，则，
即y=fx在区间1,+∞上单调递减.
（3），
∵y=fx在区间1,+∞上单调递减，
∴不等式等价为，
即，解得或，
即不等式的解集为.
17. 某公司打算在2023年度建设某型手机芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出x万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本V（x）（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出．
（1）设2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式；
（2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，要产出多少万枚芯片才能使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润．
解：（1）由题意可得，，
所以，
即.
（2）当时，；
当时，，在上单调递增，；
当时，由基本不等式有，当且仅当，
即时等号成立，
此时.
综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元.
18. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）在给定的直角坐标系内画出的图象，并指出的单调区间（不必说明理由）；
（3）求在上的最大值和最小值（不必说明理由）；
（4）求不等式的解集．
解：（1）函数是定义在的奇函数，
当时，，
可得时，，即有，
即有，
综上可得.
（2）函数的图象如图，
由图可知，函数的单调递减区间为，
单调递增区间为.
（3）由图可知，，.
（4）当时，，
由，得，解得；
当时，，
由，得，解得.
综上所述，不等式的解集为．
19. 我们知道，函数的图象关于原点中心对称的充要条件是 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于中心对称的充要条件是 为奇函数.
（1）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴对称的充要条件是 为偶函数”的一个推广结论；
（2）直接写出函数的图象的对称中心，并证明你的结论；
（3）已知函数，函数满足为奇函数， 若函数与的图象的交点为 其中为正整数，求(结果用表示)
解：（1）推论：函数的图象关于成轴对称的充要条件是函数为偶函数；
或函数的图象关于成轴对称的充要条件是满足.
（2）函数的图象的对称中心为，证明如下：
因为，
又奇函数，函数图象关于对称，
函数的图象是由的图象向右平移个单位，
再向上平移个单位得到，
所以关于对称，即函数的图象的对称中心为.
（3）因为，
所以，
，
则，所以关于1,0对称，
又为奇函数，则关于1,0对称，
所以函数y=gx与的图象的交点（其中为正整数）也关于对称，
所以
.