广东省大湾区2025届高三上学期12月联考数学试卷

这是一份广东省大湾区2025届高三上学期12月联考数学试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合.则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．如图，某双曲线笔简的轴截面曲线部分为一条离心率为且焦距为的双曲线的一部分.忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，若，则实数的值为（ ）
A．4B．或1C．D．4或
6．已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知随机变量服从正态分布服从二项分布，则（ ）
A．B．
C．，D．
8．已知，其中相邻的两条对称轴的距离为，且经过点，则关于的方程在上的不同解的个数为（ ）
A．6B．5C．4D．3
二、多选题
9．为了弘扬奥运会中我国射击队顽强拼博的布斗精神，某校射击兴趣小组组织了校内射击比赛，得到8名同学的射击环数为：6，6，7，8，9，9，9，10（位：环），则这组样本数据的（ ）
A．极差为4B．平均数是8
C．75%分位数是9D．方差为4
10．设函数，则（ ）
A．有三个零点
B．是的极小值点
C．的图象关于点中心对称
D．当时，
11．曲线上任点，满足点到定点的距离与到定直线的距离之和为6，则下列说法中正确的有（ ）
A．曲线经过原点
B．曲线关于轴对称
C．曲线上点的横坐标的取值范围为
D．直线被曲线截得的线段长为
三、填空题
12．二项式的展开式中的系数是 .
13．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为，母线长最短，最长，则斜截圆柱的体积为
14．若直线（为常数）与曲线，曲线均相切，则 .
四、解答题
15．在中，内角的对边分别为.已知.
(1)求角的大小；
(2)已知.求的面积.
16．如图，在三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，其对角线交于点.且平面.

(1)求证：平面；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.
17．已知函数.
(1)判断函数的单调性；
(2)若恒成立，求的值.
18．已知椭圆的焦点为，为椭圆上一点且的周长为.
(1)求椭圆的方程.
(2)若直线过点交椭圆于两点，且线段的垂直平分线与轴的交点
（i）求直线的方程；
（ii）已知点，求的面积.
19．已知数列是由正整数组成的无穷数列.若存在常数， 对任意的成立，则称数列具有性质.
(1)若，请判断数列是否具有性质；
(2)若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列”的充要条件；
(3)已知数列中，且.若数列只有性质，求数列的通项公式.
参考答案：
1．C
【分析】通过解二次不等式及对数不等式可化简集合，然后由交集定义可得答案.
【详解】或，
，所以.
故选：C.
2．A
【分析】根据复数的除法运算化简即可求解.
【详解】在复平面内对应的点为，
∴在复平面内对应的点位于第一象限.
故选：A.
3．B
【分析】根据题意求出，该笔筒中间最窄处的直径为得解.
【详解】依题意可得，所以，
所以该笔筒中间最窄处的直径为.
故选：B.
4．A
【分析】根据和差角的余弦公式即可求解.
【详解】
.
故选：A.
5．B
【分析】将平方化简得，然后利用数量积的坐标公式列式计算即可.
【详解】将两边平方，得，
由得，
即，解得或1.
故选：B.
6．B
【分析】由题可得在0,+∞上单调递增，后由零点存在性定理结合幂函数，指数函数单调性可判断选项正误.
【详解】注意到函数图象在0,+∞上连续不间断，因为在0,+∞上均单调递增，则在0,+∞上单调递增.
对于A，.因函数在0,+∞上单调递增，所以，则在上无零点，故A错误；
对于B，因为在0,+∞上单调递减，则，结合，故在上存在零点，故正确；
对于CD，由于在0,+∞上单调递增，，可知C､D都是错误的.
故选：B.
7．D
【分析】根据正态分布以及二项分布的期望和方差公式即可求解AB，根据二项分布的概率公式即可求解C，根据正态分布的对称性质即可求解D.
【详解】，故AB错误；
，故C错误；
根据正态分布的对称性可得，故D正确.
故选:D.
8．A
【分析】把方程解的个数问题转化为两函数图象的交点个数问题，从而利用数形结合可找到答案.
【详解】由已知相邻两条对称轴的距离为，可得，又，可得，
由函数经过点，则，即，
又，可得，所以，
因为函数的最小正周期为，
所以函数的最小正周期为，
所以在函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点，
故选：A.
9．ABC
【分析】根据极差、方差、平均数、百分位数定义，结合给定数据求对应值，即可判断各项正误.
【详解】将这组数据从小到大排序，得，这组数据的极差为，故A正确；
平均数为，故B正确；
因为，所以第75%分位数为，故C正确；
方差为，故D错误.
故选：ABC
10．BC
【分析】根据零点的定义直接判断A选项，求导判断函数的单调性与极值情况，可判断BD选项，根据函数图像的对称性可判断C选项.
【详解】对于A，令，解得或，所以有两个零点，故A 选项错误；
对于B，由，
令，解得或，
当或时，f′x>0，即在和1,+∞上单调递增，
当时，f′x