上海市虹口区2024-2025学年高三上学期期终学生学习能力诊断测试数学试卷（一模）

这是一份上海市虹口区2024-2025学年高三上学期期终学生学习能力诊断测试数学试卷（一模），共4页。试卷主要包含了未知等内容，欢迎下载使用。

一、未知
1．已知集合，则 ．
2．函数的定义域是 ．
3．若，则 ．
4．在的二项展开式中，项的系数为 ．
5．设且，则函数的图像恒过的定点坐标为 ．
6．若某圆锥的底面半径为1，高为1，则该圆锥的侧面积为 ．（结果保留π）
7．已知非零复数z满足，则z的虚部为 ．
8．已知，则的解集是 ．
9．如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角的大小为，则 ．
10．双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为 ．
11．2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船船体长度为h，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m．假设该记者连按拍照键间的反应时间为t，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为 ．（用含有H、h、m、t的式子表示）
12．已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足．若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有 个．
13．已知，则“”是“”的（ ）条件．
A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要
14．已知事件A和事件B满足，则下列说法正确的是（ ）．
A．事件A和事件B独立B．事件A和事件B互斥
C．事件A和事件B对立D．事件和事件互斥
15．已知边长为2的正四面体．的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）的球心为O，若空间中的动点P满足，则点P的轨迹所形成的几何体的体积为（ ）．
A．B．C．．D．
16．设数列的前四项分别为，对于以下两个命题，说法正确的是（ ）．
①存在等比数列以及锐角α，使成立．
②对任意等差数列以及锐角α，均不能使成立．
A．①是真命题，②是真命题B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题D．①是假命题，②是假命题
17．设．
(1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值；
(2)若，且在中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，锐角A满足，求a的最小值．
18．如图，已知在四棱柱中，平面，N、M分别是EF、HD的中点．
(1)求证：平面；
(2)若底面ABCD为梯形，，异面直线AB与EH所成角为．求直线AN与平面AFM所成角的正弦值．
19．2024年法国奥运会落下帷幕．某平台为了解观众对本次奥运会的满意度，随机调查了本市1000名观众，得到他们对本届奥运会的满意度评分（满分100分），平台将评分分为共5层，绘制成频率分布直方图（如图1所示）．并在这些评分中以分层抽样的方式从这5层中再抽取了共20名观众的评分，绘制成茎叶图，但由于某种原因茎叶图受到了污损，可见部分信息如图2所示．
(1)求图2中这20名观众的满意度评分的第35百分位数；
(2)若从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分的概率；
(3)已知这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7，位于上的均值为73，方差为134.6，求这1000名观众的评分位于上的均值与方差．
20．已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为A，上顶点为B，设P为Γ上的一点．
(1)当时，求的值；
(2)若P点坐标为，则在Γ上是否存在点Q使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)已知D点坐标为，过点P和点D的直线l与椭圆Γ交于另一点T，当直线l与x轴和y轴均不平行时，有，求实数m的取值范围．
21．设．若函数满足恒成立，则称函数具有性质．
(1)判断是否具有性质，并说明理由；
(2)设，若函数具有性质，求实数a的取值范围；
(3)设函数的定义域为R，且对任意以及，都有．若当时，恒有．求证：函数对任意实数a均具有性质．