(成都专用)中考数学真题模拟题分类汇编专题08 二次函数压轴题（2份，原卷版+解析版）

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（1）当时，求，两点的坐标；
（2）连接，，，，若△的面积与的面积相等，求的值；
（3）试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】见解析
【详解】（1）当时，直线为，
由得：或，
，；
（2）当时，如图：
△的面积与的面积相等，
，
，
、关于轴对称，
，，
，
，
，，
，
，
在中，令得，
，，
，，
在中，令得，
解得或，
，，
把，代入得：
，
解得；
当时，过作交轴于，如图：
在中，令得，
，，
△的面积与的面积相等，
，
、关于轴对称，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
在中，令得，
解得或，
，，
把，代入得：
，
解得，
综上所述，的值为或；
（3）直线经过定点，理由如下：
由得：，
设二根为，，
，，，，
、关于轴对称，
，
设直线解析式为，将，代入得：
，
解得：，
，，
，，
直线解析式为，
令得，
直线经过定点．
2．（2021•成都）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，顶点的坐标为．点为抛物线上一动点，连接，，过点的直线与抛物线交于另一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点的横坐标与纵坐标相等，，且点位于轴上方，求点的坐标；
（3）若点的横坐标为，，请用含的代数式表示点的横坐标，并求出当时，点的横坐标的取值范围．
【答案】见解析
【详解】（1）抛物线，顶点的坐标为，
，，即抛物线为，
抛物线经过，即的图象过，
，解得，
抛物线的函数表达为；
（2）在中，令得，
解得或，
或，
①当时，过作交抛物线于，此时，如图：
在中，令，得，
解得或，
，
设直线解析式为，将、代入得：
，解得，
直线解析式为，
，
设直线解析式为，将代入得，
直线解析式为，
由得（此时为点，舍去）或，
；
②当时，过作轴于，过作轴于，作关于的对称点，作直线交抛物线于，连接，如图：
，，
，，
中，，
，，
，，
中，，
，
关于的对称点，
，
，即是满足条件的点，
设，
关于的对称点，
，，
，
两式相减变形可得，代入即可解得（此时为，舍去）或，
，，
设直线解析式为，将，，代入得；
，解得，
直线解析式为，
解得或（此时为，舍去），
，
综上所述，坐标为或；
（3）设交轴于，过作轴于，过作于，如图：
点的横坐标为，
，又，
，，，
，
，
且，
，
，即
，
，
，
设直线解析式为，
将代入得，
，
直线解析式为，
由得，
解得的横坐标），，
点的横坐标为；
当时，
，
时，最小值是12，此时，
当时，点的横坐标的取值范围是．
3．（2020•成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
（3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【详解】（1）设抛物线的解析式为．
将代入得：，解得，
抛物线的解析式为，即．
（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
．
．
当时，有最大值，最大值是．
（3）存在．符合条件的点的坐标为或．
，
直线的解析式为，
设，，
①当点在直线右侧时，如图2，过点作轴于点，过点作直线于点，
，，，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，，
将点的坐标代入抛物线的解析式得，
解得（舍去）或．
．
②当点在直线左侧时，
由①的方法同理可得点的坐标为，．
此时点的坐标为．
4．（2019•成都）如图，抛物线经过点，与轴相交于，两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线翻折得到△，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标；
（3）设是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点在抛物线的对称轴上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式．
【答案】见解析
【详解】（1）由题意得：
解得，
抛物线的函数表达式为．
（2）抛物线与轴交于，，
，抛物线的对称轴为直线，
如图，设抛物线的对称轴与轴交于点，则点的坐标为，，
由翻折得，
在中，由勾股定理，得，
点的坐标为，，，
，
由翻折得，
在中，，
点的坐标为．
（3）解：取（2）中的点，，连接，
，，
△为等边三角形．分类讨论如下：
①当点在轴的上方时，点在轴上方，连接，．
，△为等边三角形，
，，，
，
△，
．
点在抛物线的对称轴上，
，
，
又，
垂直平分，
由翻折可知垂直平分，
点在直线上，
设直线的函数表达式为，
则，解得，
直线的函数表达式为．
②当点在轴的下方时，点在轴下方．
，△为等边三角形，
，，．
，
△，
，
，，
．
，
设与轴相交于点，
在中，，
点的坐标为．
设直线的函数表达式为，
则，解得，
直线的函数表达式为．
综上所述，直线的函数表达式为或．
5．（2018•成都）如图，在平面直角坐标系中，以直线对称轴的抛物线与直线交于，两点，与轴交于，直线与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设直线与抛物线的对称轴的交点为，是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若，且与面积相等，求点的坐标；
（3）若在轴上有且仅有一点，使，求的值．
【答案】见解析
【详解】（1）由题意可得，
解得，，；
二次函数的解析式为：，
（2）作轴，轴，垂足分别为，，设对称轴交轴于．
则，
，
，，；
，
解得，
，，
同理可求，，
，
①在下方），，
，
解得，，，
，
，
．
②在上方时，直线与关于对称，
，
，
解得，，
，
，
，，
综上所述点的坐标为，，．
（3）由题意可知：，
，
，
，
解得，，
，
如图，设中点为，
点有且只有一个，
以为直径的圆与轴只有一个交点，且为切点，
轴，
为的中点，
，，
，
，
，
，
，
．
6．（2022•武侯区校级模拟）【阅读理解】对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离”，记作．
【迁移应用】如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与坐标轴交于，两点，点的坐标为，抛物线的图象经过，，三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点为第一象限抛物线上的一点，连接交于点，连接，记的面积为，的面积为，若，求（点，的值；
（3）已知坐标系中有一直线，若，求的取值范围．
【答案】见解析
【详解】（1）对，当时，，当时，，
，，
抛物线经过点，
设抛物线的解析式为，
将点代入得，，
，
抛物线的表达式为．
（2），
，
，
设点的坐标为，则点的坐标为，，
将点的坐标代入抛物线，得，
解得：，
点，点，
如图1，连接，过点作于点，过点作于点，则轴，
点，
，，，
，
，
（点，；
（3），
直线与抛物线没有交点，且最近的距离为2，
如图2，当直线与抛物线只有一个交点时，得到直线，则
方程只有一个实数根，
△，
，
记直线与抛物线的交点为，与轴的交点为点，则，
将直线沿垂直于直线的方向平移2个单位，即可得满足条件的直线，记为直线，
此时，，
过点作轴，交直线于点，则，
，
是等腰直角三角形，
，
记直线与轴的交点为，则四边形为平行四边形，
，
点的坐标为，
的取值范围为．
7．（2022•武侯区模拟）【阅读理解】
定义：在平面直角坐标系中，点为抛物线的顶点，直线与抛物线分别相交于，两点（其中点在点的右侧），与抛物线的对称轴相交于点，若记，则称是直线与抛物线的“截积”．
【迁移应用】
根据以上定义，解答下列问题：
如图，若直线的函数表达式为．
（1）若抛物线的函数表达式为，分别求出点，的坐标及的值；
（2）在（1）的基础上，过点作直线的平行线，现将抛物线进行平移，使得平移后的抛物线的顶点落在直线上，试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）设抛物线的函数表达式为，若，，且点在点的下方，求的值．
【答案】见解析
【详解】（1）直线的函数表达式为①，
抛物线的函数表达式为②，
联立①②解得，或，
，，，
针对于直线，令，则，
，
抛物线的函数表达式为，
顶点，
，；
（2）是定值，其值为；
由（1）知，，
，
直线的解析式为①，
设平移后的抛物线的顶点坐标为，
抛物线的函数表达式为，
平移后的抛物线的解析式为②，
，
，
直线的函数表达式为①，
联立①②整理得，，
或，
，，，
，
，
即是定值，其值为．
（3）抛物线的函数表达式为①的顶点坐标为，
，
，
，
，
，
直线的函数表达式为②，
联立①②整理得，，
设，，，，
，，
，
，
，
，
或，
点在点下方，
，
．
8．（2022•成华区模拟）如图，直线分别交，轴于点，，经过点，的抛物线与轴的另一交点为点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为第一象限内抛物线上一动点，连接，交于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）若点在轴上，点在抛物线的对称轴上，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标．
【答案】见解析
【详解】（1）直线与轴、轴的交点分别为、，
当时，，当时，，
点、的坐标分别为、，
抛物线过点，，
，解得，
抛物线的解析式为；
（2）作轴交于，作轴交于，
，
，
，
，
，
抛物线的解析式为，直线，
，，，
设，
，
，
，
设，则，
，
，
当时，的最大值为，
，
，；
（3）①为平行四边形的边时，如图，
当四边形是平行四边形时，
，，
点在抛物线的对称轴上，
对称轴为，
，
，
，
，
点的坐标为；
当四边形是平行四边形时，
，，
点在抛物线的对称轴上，
对称轴为，
，
，
点的坐标为；
②为平行四边形的对角线时，如图，
四边形是平行四边形，
，，
点在抛物线的对称轴上，
对称轴为，
，
，
，
，
点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
9．（2022•锦江区模拟）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，点是抛物线段上一点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，连接，，过点作交轴于点，连接交于，若与的面积相等，求点的坐标；
（3）如图2，点是线段上一点，连接，始终满足轴，过点作轴交线段于点，连接，若和的面积相等，求证：．
【答案】见解析
【详解】（1）解：抛物线顶点为，
，
，
抛物线的表达式为；
（2）解：由（1）知，抛物线的表达式为，
令，则，
或，
，，
，
，
与的面积相等，
，
，
点是由点先向右平移一个单位，再向下平移个单位，
点是由点先向右平移一个单位，再向下平移个单位，
点的横坐标为，
将代入中，得，
；
（3）证明：
设，，
，，
，
，
过点作轴于，则，，
，
，
，
轴，轴，
，
延长交轴于，则，
，
，，
过点作，
，
，
，
和的面积相等，
，
，
，
（舍或，
，
，
，
，，
．
10．（2022•金牛区模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为抛物线的顶点，如图．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是对称轴左侧抛物线上的一点，连接、、，记的面积为，的面积为，若，求点坐标；
（3）点是对称轴左侧抛物线上的一点（不与点、、重合），连接，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，连接，，若，求点的坐标．
【答案】见解析
【详解】（1）抛物线与轴交于点，
，
将点，代入，
得，
解得，
，
（2）过点作轴交于点，交于点，
设直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，，
，
，
解得或或，
点是对称轴左侧抛物线上的一点，
，
，
，；
（3）过点作轴交于，过点作轴交于点，交于点，
设，
绕点顺时针旋转得到，
，
旋转角等于，
，
，，是抛物线的顶点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得或或或，
点是对称轴左侧抛物线上的一点，
，
，
．
11．（2022•天府新区模拟）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，在直线上方的抛物线上有一动点，过点作轴于，交直线于点，过点作于点．
（1）求抛物线及直线的函数关系式；
（2）设为，为，当时，求点的坐标．
（3）在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【详解】（1）把代入抛物线中得：，
，
抛物线的解析式为：，
当时，，
解得：，，
，
当时，，
，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
直线的解析式为：；
（2）如图1，设，则，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，（舍，
；
（3）分两种情况：
①当点在轴的正半轴上时，如图2，
过点作于，过点作轴于点，过点作轴，交于，过点作于，
，
，
，
，
，，
，
，
设，，则，，
，
，
，，
的解析式为：，
；
②当点在轴的负半轴上时，同理得：，
综上，点的坐标为或．
12．（2022•青羊区模拟）如图1，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，．点是第二象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为，交于点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）过点作，垂足为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？
（3）如图2，连接，，，将线段绕点顺时针旋转，的对应点为，连接和，若△面积与面积比为，求点坐标．
【答案】见解析
【详解】（1）抛物线交轴于，两点，
，
解得：，
此抛物线的表达式为；
（2）与轴交于点，
，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
轴，轴，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
当时，有最大值，最大值是；
（3）如图2，过点作轴于点，
则，
轴，
，
，
将线段绕点顺时针旋转得，
，，
，
，
△，
，，
，，
，
，
△面积与面积比为，即，
，
，
解得：，，
当时，点与点重合，不符合题意，舍去，
当时，，
，．
13．（2022•高新区模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点，点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接，点是直线上方抛物线上一动点，连接，交于点，若，求点的坐标；
（3）直线与抛物线交于，两点，取点，连接，，求面积的最小值．
【答案】见解析
【详解】（1）将，代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2），
抛物线的对称轴为，
，
，
，
如图，过点作轴的平行线，交于点，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线解析式：，
设点，，
，，
，
．
，，
，
，
，
，
或，
或；
（3）直线，
直线过定点，记为点，
又，
轴且，
，
，
，
由韦达定理得：，
，
当时，有最小值，
面积的最小值为．
14．（2022•双流区模拟）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），已知点的横坐标是2，抛物线的顶点为．
（1）求的值及顶点的坐标；
（2）点是轴正半轴上一点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线，记抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点为，（点在点的右侧）．当点与点重合时（如图，求抛物线的表达式；
（3）如图2，在（2）的条件下，从，，中任取一点，，，中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线的勾股伴随同类函数时，求点的坐标．
【答案】见解析
【详解】（1）由得，
顶点的坐标为，
点在抛物线上，
，
解得：；
（2）如图1，连接，作轴于，作轴于，
根据题意，点，关于点成中心对称，
过点，且，
在和中，
，
，
，，
抛物线的顶点的坐标为，
抛物线由绕点旋转后得到，
抛物线的函数表达式为；
（3）抛物线由绕轴上的点旋转后得到，
顶点，关于点成中心对称，由（2）知：点的纵坐标为8，
设点，
如图2，作轴于，轴于，于，
旋转中心在轴上，
，
点的坐标为，点的坐标为，
根据勾股定理得，，
显然，和不可能是直角三角形，
①当是直角三角形时，显然只能有，
根据勾股定理得：
，
，
，
解得：，
，
点的坐标为，；
②当是直角三角形时，显然只能有，
根据勾股定理得：
，
，
，
解得：，
，
点的坐标为，，
③当是直角三角形时，
，
，
当时，，
即，
解得：，
，
点的坐标为，；
当时，，
即，
解得：，
，
点的坐标为，；
，
，
综上所述，当抛物线是抛物线的勾股伴随同类函数时，点的坐标为，或，或，．
15．（2022•温江区模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点为抛物线上一点，过点作轴的垂线，垂足为，若，求点的坐标；
（3）点为抛物线上一点，若，求点的坐标．
【答案】见解析
【详解】（1）将，，代入得，
，
解得，
抛物线的解析式为：；
（2）如图，
，，，
，
设，则，，
，解得或，
当时，，
当时，，
点的坐标为，或，；
（3），，
，
，，
如图，延长交轴于点，
又，
，
在中，，，
，，
，
过点作交于点，则，
在中，，
又，
，
，
即，
设，则，
在中，，
整理得，，
解得，（负值，舍去），，
即，
则，
则点，
设直线的解析式为，
则，
解得，
故直线的解析式为，
联立，
解得（为点坐标，舍去），．
所以点，．
16．（2022•新都区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接，在轴上求作一点，使有最小值，求出此时的度数和点的坐标；
（3）为线段中点，为抛物线上一点，将点绕着点旋转后得点，当四边形为菱形时，求点坐标．
【答案】见解析
【详解】（1）令，
函数图象与轴交于，两点，
；
（2）如图，过点作，交轴负半轴于点，过点作于点，交轴于点，
在中，，
，
，
当，，三点共线时，有最小值，即有最小值．
在中，，，
，
，
，
，
在中，，
，
直线的解析式为：，
，且，
的解析式为：，
当时，，
，；
（3），，，
线段的中点坐标为，，
四边形为菱形时，且直线过点，
直线的表达式为：，
令，
解得或，
点的坐标为或；
由中点坐标公式可得，或．
17．（2022•青羊区校级模拟）抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点．作，垂足为，求的面积的最大值；
（3）如图2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】见解析
【详解】（1）抛物线与轴交于点，两点，
设，把代入，得：，
解得：，
，
该抛物线的函数表达式为；
（2），，
，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
如图1，过点作于点，
则，
，
当最大时，最大，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
当时，取得最大值，
，
的面积的最大值为；
（3）①当为平行四边形的边时，则有，且，
如图2，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点，
则，
在和中，
，
，
，
点到对称轴的距离为3，
又，
抛物线对称轴为直线，
设点，则，
解得：或，
当时，，
当时，，
点坐标为或；
②当为平行四边形的对角线时，
如图3，设的中点为，
，，
，，
点在对称轴上，
点的横坐标为，设点的横坐标为，
根据中点公式得：，
，此时，
；
综上所述，点的坐标为或或．
18．（2022•龙泉驿区模拟）如图，若抛物线与直线的两个交点，关于原点对称，则称线段为抛物线的“对称弦”，该直线为抛物线的“对称弦直线”．已知抛物线交轴于点，与其“对称弦直线” 交于点，．
（1）若该抛物线的“对称弦直线”为，求抛物线的函数解析式；
（2）在（1）的条件下，点为抛物线上点右侧一点，连接交于点，连接，，当时，求点坐标；
（3）当该抛物线对称轴在轴左侧时，抛物线上是否存在点，使得是以“对称弦” 为斜边的等腰直角三角形，若存在，请求出此时抛物线解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【详解】（1）抛物线交轴于点，
，
，
抛物线的解析式为：，
该抛物线与其“对称弦直线”交于点，，
设，则．
令，整理得，，
，
解得，
抛物线的解析式为：．
（2）由（1）知，抛物线的解析式为：，
设点的横坐标为，则，
，
点是的中点，
，，
点在直线上，
，解得（负值舍去）．
，．
（3）存在，理由如下：
①当点在直线的上方时，如图，过点作轴的线，分别过点，作轴的平行线交于点，，连接，
，
，
，
，
，
，，
设点的横坐标为，
令，
可得，
解得，
，．
，，
，解得，
，
是等腰直角三角形，
，
，
解得或，（负值舍去），
当是，点与点重合，不符合题意；
抛物线的解析式为：．
②当点在直线的下方时，如图，过点作轴的线，分别过点，作轴的平行线交于点，，连接，
同理可得，，
，，
设点的横坐标为，
令，
可得，
解得，
，．
，，
，解得，
，
是等腰直角三角形，
，
，
解得或，（负值舍去），
当是，点与点重合，不符合题意；
抛物线的解析式为：．
综上，抛物线的解析式为：或．
19．（2022•锦江区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与轴从左至右依次交于，两点，交轴于点，连接，．
（1）求，两点以及抛物线顶点的坐标；
（2）当时，直线平行于且与抛物线只有一个交点，求点的坐标；
（3）当时，二次函数有最小值，求的值．
【答案】见解析
【详解】（1）抛物线与轴从左至右依次交于，两点，
令，即，解得或，
，，
，
该抛物线的顶点坐标，．
（2）当时，代入抛物线，得，
，，
当时，代入抛物线，得，
；
直线的解析式为：，
直线平行于，
，
与只有一个交点，
令，整理得只有一个解，
△，解得．
把代入上式得，解得，
．
（3）二次函数，
由二次函数的性质可知，当，则，则，
同理，当，即，
由二次函数的图象性质可得，当时，，
解得或，均不符合题意，舍去，
同理，当，则，
由二次函数的图象性质可得，当时，，
解得或，均不符合题意，舍去；
综上，的值为．
20．（2022•新都区模拟）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，点横坐标为2，延长矩形的边交抛物线于．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，若点是直线上方的抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，求的最大值；
（3）如图3，如果点是抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【详解】（1）由题意得，
，，
，
，
抛物线的解析式是：；
（2）抛物线对称轴是直线：，，
，
直线的解析式是：，
设点，，
，
当时，最大值是；
（3）当以，，，为顶点的平行四边形是时，
点，，，
点的横坐标是：，
当时，，
，
当以，，，为顶点的平行四边形时，
可得点横坐标是，
当时，，
，
当以，，，为顶点的平行四边形时，
点横坐标是：，
当时，，
，
综上所述点或或．
21．（2022•锦江区校级模拟）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，，点是抛物线第一象限上的一动点，过点作轴于点，交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，作于点，使，以，为邻边作矩形．当矩形的面积与的面积相等时，求点的坐标；
（3）如图2，当点运动到抛物线的顶点时，点在直线上，若为钝角，请直接写出点纵坐标的取值范围．
【答案】见解析
【详解】（1）抛物线经过点，点，
，
解得：，
该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，由，得：，，
，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
，，
，
矩形的面积与的面积相等，
，
解得：，
点的坐标为；
（3），
抛物线对称轴为：直线，
，，
设，，，
当点在点上方时，，如图2，过点作于点，连接、，
则，，，，，
，，
，
，
，即，
解得：，
，
，
当点在点下方时，，如图3，过点作于点，连接、，
则，，，，，
，，
，
，
，即，
解得：，
，
，
当为钝角时，或．
22．（2022•高新区校级模拟）平面直角坐标系中，已知抛物线为常数）与轴交于点，两点（点在点左边），与轴交于点．
（1）若，求点，，的坐标；
（2）如图1，在（1）的条件下，为抛物线轴上方一点，连接，若，求点的坐标；
（3）如图2，将抛物线向左平移个单位长度与直线交于，（点在点右边），若，求，之间的数量关系．
【答案】见解析
【详解】（1）当时，抛物线为，
令得，
，
令得，
解得或，
，；
答：的坐标为，的坐标为，的坐标为；
（2）过作轴于，过作于，如图：
由（1）知，，，
，，，
在中，，
，
，
，
又，
，
，
，
设，则，，
，
解得或（舍去），
，；
（3）过作轴交轴于点，过作轴，过作轴交于点，如图：
抛物线，
将其向左平移个单位，得到的抛物线的解析式为，
当时，，，，当时，，，，
①当，，，时，
由设直线的解析式为，将代入得，
解得，
直线的解析式为，
由，得，
设点、的横坐标分别为、，则，，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
整理得．
②当，，，时，直线的解析式为，
由得，
同①可得，
综上所述，，之间的数量关系为或．
23．（2022•郫都区模拟）如图，抛物线与轴交于，两点在的左侧），与轴交于点，点为线段上一个动点（与点，不重合），过点作轴的垂线与线段交于点，与抛物线交于点，连接，与轴交于点．
（1）求、、三点的坐标；
（2）求的最大值；
（3）连接，当线段时，求的值．
【答案】见解析
【详解】（1）在抛物线中，
令，则，
解得：，，
点坐标为，点坐标，
令，则，
点坐标为；
（2）过点作于点，
由（1）知，，，，
，
，
，
，，，
，，
，，
，
，
在中，，
，
，
当时，的最大值为4；
（3），当时，有两种情况
①当四边形为平行四边形时，则，如图：
，点为，
点坐标为，点坐标为，
，
，
点坐标为，
因为点、、三点在一条直线上，
设直线的解析式为，
将点、、代入得：
，
解得：（舍去）或；
②当四边形为等腰梯形时，则点、关于垂直平分线的对称，
即、的中点纵坐标相同，如图：
，点为，
点坐标为，点坐标为．，点坐标为
因为点、、三点在一条直线上，
设直线的解析式为，
将点、、代入得：
，
解得：（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）或，
综上所述：当或时，．
24．（2022•成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点．
（1） ， ；
（2）若点为第四象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，过点作于点，过点作轴于点，求出的最大值及此时点的坐标；
（3）若点是该抛物线对称轴上的一点，点为坐标平面内一点，那么在抛物线上且位于轴上方是否存在点，使四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【详解】（1）将点，代入，
，
，
，
故答案为：，；
（2）延长交轴于点，延长交于点，
令，则，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，有最大值，
此时，；
（3）存在点，使四边形为正方形，理由如下：
，
抛物线的对称轴为直线，
设，，，
过点作轴，过点作交于，过点作交于点，
四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
，，
是正方形的对角线，
，①，
当点在第一象限时，如图2，
，，，，
②，
由①②可得，
解得，
，；
当点在第二象限时，如图3，
，，，，
③，
由①③可得，
解得，
，；
综上所述：点的坐标为，或，．
25．（2022•青羊区校级模拟）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，连接．直线经过点、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为抛物线上一点，连接，若将的面积分成相等的两部分，求点坐标；
（3）在直线上是否存在点，使直线与直线形成的夹角（锐角）等于的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【详解】解（1）由得点坐标，点坐标为，
把，代入抛物线得，
，解得，，
抛物线；
（2）作的中点，连接并延长交抛物线于，如图：
为中点，
直线将的面积分成相等的两部分，即是满足条件的点，
，，为中点，
，，
设，
解得：，，
，
设直线解析式为，
将，，代入得：，
解得：，
直线解析式为，
解方程组，
解得：或，
，；
（3）存在点，使与直线的夹角等于的2倍，
设抛物线的对称轴与直线相交于点，
分两种情况：
①点在左边时，
，，
，
，
点在直线上，
设点的坐标为，
根据两点间距离公式，
，
，
，解得，
点的坐标为，，
②点在右边，
此时，
，
，
点是的中点，
根据中点坐标公式得，，
点的坐标为，或，．
26．（2022•锦江区校级模拟）如图，抛物线的图象与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，其顶点为．
（1）如图1，，，，四点的坐标依次为 ， ， ， ；
（2）顺次连接，，三点得，点为抛物线上一点（点不与点重合），若的面积等于的面积，求点的横坐标；
（3）如图2，过点作轴交抛物线于另一点，其对称轴与交于点，将抛物线向右平移个单位得抛物线，过点作轴的垂线交抛物线于点，点与点平移后的对应点分别为点，，记点与，与之间的距离分别为，，若，请直接写出符合要求的的值．
【答案】见解析
【详解】（1）抛物线中，
当时，；当时，或3；
，，；
，
；
故，，，
故答案为：，，，；
（2），，，
，
，
，
，
是直角三角形，，
设直线的解析式为，
将代入得，，
，
直线的解析式为，
分两种情况：
①点在上方时，过点作交抛物线于点，
的面积等于的面积，
直线的解析式为，，
设直线的解析式为，
将代入得，，
，
直线的解析式为，
联立抛物线得，
解得，，
点的横坐标为2；
②点在下方时，过点作，使，过作交抛物线于点，作轴于，
的面积等于的面积，
，
，
，
，
，
轴，
，
，
的坐标为，
设的解析式为，
将代入得，，
，
直线的解析式为，
联立抛物线得，
解得，，
点的横坐标为或；
综上，点的横坐标为2或或；
（3）如图2，
点，轴，抛物线，
当时，，
解得，，
点，抛物线的对称轴为，
直线的解析式为，
当时，，
点，
将抛物线向右平移个单位得抛物线，
抛物线，
，，
，，
点与，与之间的距离分别为，，，
，化简得，或，化简得，
或，或，或（无解），
解得，（不合题意，舍去）或，（不合题意，舍去），，（不合题意，舍去），
综上所述，的值为3或2或1．
27．（2022•郫都区模拟）如图，边长为5的正方形的两边在坐标轴上，以点为顶点的抛物线经过点，点是抛物线段上一动点，过点作于点，点，连接、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当，求点的坐标；
（3）求周长的取值范围．
【答案】见解析
【详解】（1）抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
将点代入，
，
；
（2）边长为5的正方形的两边在坐标轴上，
，，，
设，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
解得，
，
点在第一象限内，
，
，；
（3）当点与重合时，的周长最大，此时，，，
，，，
的周长的最小值为．
当点与重合时，，，
，此时三角形不存在，
的周长．
解法二：．
的周长．
当时，随的增大而增大，随的增大而增大，
随的增大而增大，
的周长．
28．（2022•双流区校级模拟）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点和点，抛物线经过点，且与直线的另一个交点为．
（1）求的值和抛物线的解析式；
（2）点在抛物线上，且点的横坐标为．轴交直线于点，点在直线上，且四边形为矩形（如图．若矩形的周长为，求与的函数关系式以及的最大值；
（3）是平面内一点，将绕点沿逆时针方向旋转后，得到△，点、、的对应点分别是点、、．若△的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点的横坐标．
【答案】见解析
【详解】（1）直线经过点，
，
直线的解析式为，
直线经过点，
，
抛物线经过点和点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）令，则，
解得，
点的坐标为，，
，
在中，，
，
轴，
，
在矩形中，，
，
，
点的横坐标为，
，，
，
，
，且，
当时，有最大值；
（3）绕点沿逆时针方向旋转，
轴时，轴，设点的横坐标为，
①如图1，点、在抛物线上时，点的横坐标为，点的横坐标为，
，
解得，
②如图2，点、在抛物线上时，点的横坐标为，点的纵坐标比点的纵坐标大，
，
解得，
综上所述，点的横坐标为或．
29．（2022•简阳市模拟）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线的对称轴交轴于点，连接、．求的周长及的值；
（3）如图2，过点的直线，点是直线上方抛物线上一动点，过点作，垂足为点，连接，，，．当四边形的面积最大时，求点的坐标及四边形面积的最大值．
【答案】见解析
【详解】（1）将，分别代入得：，
解得，
．
（2）由解析式可得，，
．
的周长为．
如图1，过点作于点，
，
．
．
．
．
（3）由题意可知：，
过点的直线，
．
，，
．
抛物线交轴于点，
．
．
如图2，过点作轴，垂足为点，交于点，
直线的解析式为：．
设，则，
点是直线上方抛物线上一动点，
．
则．
．
当时，四边形的面积最大，最大面积为．
此时，点的坐标为．
30．（2022•武侯区校级模拟）【阅读理解】
定义：在平面直角坐标系中，对于一个动点，若，都可以用同一个字母表示，那么点的运动路径是确定的．若根据点坐标求出点运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点“去隐”．
例如，将点，为任意实数）“去隐”的方法如下：
设①，②
由①得③
将③代入②得，整理得
则直线是点的运动路径．
【迁移应用】
在平面直角坐标系中，已知动点，为任意实数）的运动路径是抛物线．
（1）请将点 “去隐”，得到该抛物线表达式；
（2）记（1）中抛物线为（如图），与轴交于点，在的左侧），其顶点为点，现将进行平移，平移后的抛物线始终过点，点的对应点为．
ⅰ试确定点运动路径所对应的函数表达式；
ⅱ在直线的左侧，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【详解】（1）设①，②，
由①得③，
；
（2），
，
令，则，
解得或，
，，
ⅰ设抛物线的解析式为，
，
经过点，
，
令，，
；
ⅱ存在点，使为等腰三角形，理由如下：
在上，
点关于直线的对称点为，
此时，为等腰三角形；
设，
当时，，
解得或（舍，
，；
当时，只能在右侧，此时不符合题意；
综上所述：或，．
31．（2022•青羊区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于，，三点．
（1）求证：；
（2）点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点．
①求的最大值；
②点是的中点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：中，令得，令得，，
，，，
，，，，
，，
，
而，
，
；
（2）解：①设直线解析式为，将，代入可得：，
解得，
直线解析式为，
由（1）知，，，
，
轴，
，
，
设第一象限，则，
，，
，
当时，的最大值是9；
②由（1）知，
，
轴于，
，
，
（一当与对应时，
以点，，为顶点的三角形与相似，只需或，
而为中点，，，
，，，
由①知：，，
，
当时，，解得或（此时与重合，舍去）
，
当时，，解得或（舍去），
，
在中，是中点，
，
，即，
，
（二当与对应时，
以点，，为顶点的三角形与相似，只需或，
与答案相同，同理与或答案相同，
综上所述，以点，，为顶点的三角形与相似，则的坐标为或．
32．（2022•成都模拟）如图①，已知抛物线交轴于，两点，交轴于点，是抛物线上的动点，且满足．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点在第一象限，直线经过点且与直线交于点，设点的横坐标为，当线段的长度随着的增大而减小时，求的取值范围；
（3）如图②，过点作的平行线，与抛物线交于另一点．点在直线上方，点在线段上，若与相似，且点与点是对应点，求点的坐标．
【答案】见解析
【详解】（1）抛物线的对称轴为直线，，
，，
，，
把代入，得，
解得：，
，
该抛物线的解析式为；
（2）设，
，
，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
过点作轴交于点，过点作于点，如图①，
则，
，
联立得：，
解得：，
，，
，
，，
，
，
，
当时，线段的长度随着的增大而减小，
又点在第一象限，，
当线段的长度随着的增大而减小时，；
（3）直线，
设直线的解析式为，把代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，
则，，
过点作轴于点，过点作于点，
，，
，
则，，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，，
把，代入，得，
解得：或，
或，；
当时，
，，
同理可得：，，，
代入，得，
解得：，
点在直线上方，
，
，或，；
综上所述，点的坐标为或，或，或，．
33．（2022•郫都区模拟）如图1所示，直线与轴、轴分别相交于点，点，点在经过点，的二次函数的图象上．
（1）求抛物线的解析式：
（2）点为线段上（不与端点重合）的一动点，过点作轴交抛物线于点，求取得最大值时点的坐标；
（3）如图2，连接并延长，交轴于点，为第三象限抛物线上一点，连接，点为轴上一点，且，直线与交于点，点在线段上，且，连接交于点，已知，求点的坐标．
【答案】见解析
【详解】（1）直线与轴、轴分别相交于点，点，
，，
点在经过点，的二次函数的图象上．
，
，
；
（2）如图，作于，
设，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
当时，取得最大值，
，
，；
（3）如图，作于，作于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
直线的解析式为：，
，，
直线的解析式为：，
由得，，
，
．
34．（2022•青白江区模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴，轴分别相交于，，三点，点是二次函数图象的顶点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点为抛物线上异于点的一点，连接，若，求点的坐标；
（3）是第四象限内一动点，且，连接，，求的最小值．
【答案】见解析
【详解】（1）将，，三点代入中，
，
解得，
；
（2）设直线的解析式为，
，
解得，
，
过点与直线平行的直线解析式为，
直线关于直线对称的直线解析式为，
联立方程组，
解得或，
点坐标为，或，；
（3）以为圆心，为半径做圆，取的中点，
连接，，
，，
，
点在圆上，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为．