湖南省衡阳市衡阳县第一中学2025届高三上学期高考第一次模拟考试数学试卷（含答案）

这是一份湖南省衡阳市衡阳县第一中学2025届高三上学期高考第一次模拟考试数学试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知点P为椭圆C，抛物线C等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合A=x1≤x≤3,B=xy=ln2−x，则∁RB∩A=（ ）
A．1,2B．1,2
C．2,3D．2,3
2．已知z=21−i1+i,z是z的共轭复数，则z=（ ）
A．0B．2iC．2D．−2
3．“a=3”是“直线y=x+4与圆x−a2+y−32=8相切”的 （ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，AD=23AC，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，若BP=xBA+yBC，则下列说法错误的是（ ）
A．BD=13BA+23BCB．BD→⋅BO→=132
C．BP⋅BC存在最大值为9D．x+y的最大值为1+39
5．已知点P为椭圆C:x216+y212=1上任意一点，直线l过⊙M:x2+y2−4x+3=0的圆心且与⊙M交于A,B两点，则PA⋅PB的取值范围是（ ）
A．3,35B．2,34C．2,36D．4,36
6．有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球2024−kk∈N*.甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球.若第一局中甲先摸球，记第n局甲获胜的概率为pn，则关于以下两个命题判断正确的是（ ）
①p1=20244048−k，且pn+1=1−2p1pn+p1；
②若第七局甲获胜的概率不小于0.9，则k不小于1992.
A．①②都是真命题B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题D．①②都是假命题
7．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥A−BCD，该三棱锥为鳖臑，O1，O2为半圆柱的圆心，半径为2，BD=4，∠AO2C=60∘，动点Q在△ACD内运动（含边界），且满足BQ=10，则点Q的轨迹长度为（ ）
A．2πB．3πC．22πD．23π
8．已知函数f(x)=e2x+a−12ln(x+5)+a2−5有零点，那么实数a的最大值为（ ）
A．12B．1C．1+ln2D．9−ln2
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．抛物线C：y2=4x的准线为l，过焦点F的直线与C交于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为A'，B'，记△AA'F，△A'B'F，△BB'F的面积分别为S1，S2，S3，则（ ）
A．△A'B'F为锐角三角形B．S2的最小值为4
C．S1，12S2，S3成等差数列D．S1，12S2，S3成等比数列
10．如图，在三棱锥A−BCD中，AB、BD、BC两两垂直，E为AC上一点，DE⊥AC，M、N分别在直线AB、DE上，AB=2BC=2BD=2，则：（ ）.
A．AC⊥BE
B．DE=35
C．若平面α//AD且A、B、C、D到α距离相等，则直线DE与α的夹角正弦值为815
D．MN的最小值为44141
11．在平面直角坐标系xOy中有一点A，A到定点1,1与y轴距离之积为一常数a，A点构成的集合为曲线C，已知C在x>0或x0时A到y轴距离的最大值为2
C．若x>0，C如图，则a=14
D．若C与x轴正半轴交于1,0，则与x轴负半轴的交点横坐标在区间−1,0内
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知函数fx=314x−1+lg39+x2+x.若不等式ff−4x+m⋅2x+f−320，b>0）的左、右焦点，过F2的直线l与双曲线的右支交于A、B两点（其中A在第一象限），△AF1F2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，若r1=2r2，则直线l的斜率为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15．（13分）已知数列an，其前n项和为Sn，对任意正整数n,Sn=2an−μ恒成立，且a1+a2=12.
(1)证明：数列an为等比数列，并求实数μ的值；
(2)若bn=1lg2an，数列bn前n项和为Tn，求证：Tn>lnn+22；
(3)当n≥1时，设集合Bn=ai+aj∣3⋅2n+10的极小值；
(2)若t∈R，函数ℎx=xex−tx为R上严格增函数，求实数t的取值范围；
(3)已知gx=a3x+lnx−exx3，x∈0,+∞，且y=gx只有一个极大值点，求实数a的取值范围.
数学答案
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】A
6．【答案】A
7．【答案】A
8．【答案】D
9．【答案】ABD
10．【答案】AD
11．【答案】BCD
12．【答案】−∞,4
13．【答案】−1−2
14．【答案】2
15．【解】（1）由题意得Sn=2an−μSn−1=2an−1−μ,n≥2，
两式相减可得an=2an−2an−1,∴an=2an−1，
令n=1可得S1=2a1−μ，即a1=μ.
令n=2可得S2=2a2−μ，即a1+a2=2a2−μ，所以a2=2μ
又∵a1+a2=12,∴μ=4.
∴数列an为首项为4，公比为2的等比数列.
（2）由（1）可知an=4×2n−1=2n+1，所以bn=1lg2an=1n+1.
∵Tn=i=1n1i+1,lnn+22=ln32+ln43+…+lnn+2n+1=i=1nlni+2i+1，
∴要证Tn>lnn+22成立，
只需证1n+1>lnn+2n+1，即1n+1>ln1n+1+1
令fx=x−lnx+1,f'x=1−1x+1=xx+1>0,x∈0,+∞，
∴当x∈0,+∞时，fx单调递增,
故fx=x−lnx+1>f0=0,∴f1n+1>0，
∴1n+1>ln1n+1+1,∴Tn>lnn+22；
（3）n≥1时，集合Bn=ai+aj∣3⋅2n+10, gx单调递增；当x∈x1,2时，g'x