10 第2章 第4课时　函数的对称性-2025年高考数学一轮复习课件

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第4课时　函数的对称性
能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.
会利用对称公式解决问题．
1．奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数的图象关于____对称，偶函数的图象关于___对称．(2)若函数y＝f (x＋a)是偶函数，则函数y＝f (x)的图象关于直线____对称；若函数y＝f (x＋a)是奇函数，则函数y＝f (x)的图象的对称中心为点________．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数y＝f (x－1)是偶函数，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)(2)若函数y＝f (x＋1)是奇函数，则函数y＝f (x)的图象关于点(1，0)对称．(　　)(3)若函数f (x)满足f (x－1)＝f (x＋1)，则f (x)的图象关于y轴对称．(　　)(4)若函数f (x)满足f (1＋x)＝－f (1－x)，则f (x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)
二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P85思考改编)函数f (x)＝x3＋x的图象关于(　　)A．x轴对称　　B．y轴对称　　C．原点对称　　D．直线y＝x对称C　[因为f (x)＝x3＋x为奇函数，所以函数的图象关于原点对称．故选C.]
4．(人教A版必修第一册P87T13(1)改编)函数y＝f (x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)－b为奇函数．已知f (x)＝mx3＋nx＋1.(1)若f (x)在[－6，6]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N＝________；(2)若m＝1，n＝－3，则函数f (x)的对称中心为点________．
(1)B　(2)ACD　[(1)函数y＝f (x＋1)是偶函数， 且在[0，＋∞)上单调递增，即函数y＝f (x＋1)的对称轴为y轴，又函数y＝f (x＋1)向右平移1个单位长度可得y＝f (x)，∴函数y＝f (x)的对称轴为直线x＝1，且在[1，＋∞)上单调递增，∴由f (2x)＞f (x＋2)得|2x－1|＞|x＋2－1|，解得x＜0或x＞2.故选B.(2)∵f (2＋x)＝f (2－x)，∴f (x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；∵函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，∴f (－x)＝f (x＋4)，又f (－x)＝f (x)，∴f (x＋4)＝f (x)，∴函数f (x)的周期为4，故C正确；∵f (x)的周期为4且为偶函数，∴y＝f (x＋4)为偶函数，故D正确．]
[跟进训练]1．(1)已知函数f (x)＝3|x－a|＋2，且满足f (5＋x)＝f (3－x)，则f (6)＝(　　)A．29　　B．11　　C．3　　D．5(2)已知函数g(x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e－x+1)，则该函数图象的对称轴为直线x＝____．(1)B　(2)1　[(1)因为f (5＋x)＝f (3－x)，所以f (x)的图象关于直线x＝4对称，而f (x)＝3|x－a|＋2的图象关于直线x＝a对称，所以a＝4，f (6)＝3|6-4|＋2＝11.故选B.(2)已知函数g(x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e－x+1)，∵g(1＋x)－g(1－x)＝(1＋x)2－2(1＋x)＋a(e1+x-1＋e-1-x+1)－(1－x)2＋2(1－x)－a(e1-x-1＋e-1+x+1)＝x2－1＋a(ex＋e－x)－x2＋1－a(e－x＋ex)＝0，∴y＝g(x＋1)是一个偶函数．∴g(x)的图象关于直线x＝1轴对称. ]
(1)D　(2)BCD　[(1)因为f (2－x)＋f (x)＝－2，所以f (x)关于点(1，－1)对称，所以将f (x)向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f (x＋1)＋1，该函数的对称中心为点(0，0)，故y＝f (x＋1)＋1为奇函数．
[跟进训练]3．设函数y＝f (x)的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，若f (3)＋f (9)＝1，实数m的值为________．1　[∵函数y＝f (x)的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，∴x＝lg3y－m，∴f (x)＝lg3x－m，∴f (3)＋f (9)＝1－m＋2－m＝1，∴m＝1．]
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