21 第3章 第2课时　导数与函数的单调性-2025年高考数学一轮复习课件

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第2课时　导数与函数的单调性
结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
1．函数的单调性与导数的关系
2．利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的______；第2步，求出导数f ′(x)的____；第3步，用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性．
[常用结论]1．若函数f (x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f ′(x)≥0恒成立；若函数f (x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f ′(x)≤0恒成立．2．若函数f (x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f ′(x)>0有解；若函数f (x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f ′(x)0，则f (x)在定义域上一定单调递增．(　　)(4)函数f (x)＝x－sin x在R上单调递增．(　　)
二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第二册P103复习参考题5T3改编) f ′(x)是f (x)的导函数，若f ′(x)的图象如图所示，则f (x)的图象可能是(　　)A　　　 　B　　 　 　C　　　　DC　[由f ′(x)的图象知，当x∈(－∞，0)时，f ′(x)>0，∴f (x)单调递增；当x∈(0，x1)时，f ′(x)0，∴f (x)单调递增．故选C.]
名师点评　利用导函数求函数单调区间的注意点(1)必须先求函数定义域，单调区间是定义域的子集．(2)正确求导函数．(3)当f ′(x)＝0无解时，可根据f ′(x)的结构特征确定f ′(x)的符号．(4)所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”及“和”隔开．
[拓展变式]　若将本例中参数a的取值范围改为a∈R，其他条件不变，试讨论f (x)的单调性．
【教师备选资源】讨论下列函数的单调性．(1)f (x)＝x－a ln x；(2)g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2.
(2)g(x)的定义域为R，g′(x)＝(x－a)ex－2(x－a)＝(x－a)(ex－2)，令g′(x)＝0，得x＝a或x＝ln 2.①当a>ln 2时，x∈(－∞，ln 2)∪(a，＋∞)时，g′(x)>0，x∈(ln 2，a)时，g′(x)