23 第3章 第3课时　导数与函数的极值、最值-2025年高考数学一轮复习课件

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第3课时　导数与函数的极值、最值
借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
会求闭区间上函数的最大值、最小值．
会用导数求函数的极大值、极小值.
1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f (x)在点x＝a处的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧___________，右侧___________．则_叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值．
(2)函数的极大值：函数y＝f (x)在点x＝b处的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧___________，右侧___________．则_叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为______，极小值和极大值统称为____．提醒：①对于可导函数f (x)，“f ′(x0)＝0”是“函数f (x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．例如：f (x)＝x3，f ′(x)＝3x2，当x0＝0时，f ′(x0)＝0，但x0＝0不是f (x)的极值点；②区分极值与极值点．
2．函数的最大(小)值(1)函数f (x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f (x)在区间(a，b)内的____；②将函数y＝f (x)的各极值与____________________________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[常用结论]1．若函数f (x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值．2．单调函数无极值，区间端点一定不是极值点．
端点处的函数值f (a)，f (b)
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值不一定比极小值大．(　　)(2)函数y＝f ′(x)的零点是函数y＝f (x)的极值点．(　　)(3)函数的极大值一定是函数的最大值．(　　)(4)函数在某区间上的极大值是唯一的．(　　)
二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第二册P92练习T1改编)函数f (x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，则f (x)的极小值点的个数为(　　)A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4A　[由题意知在x＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，f (x)在x＝－1左减右增，函数f (x)在x＝－1处取得极小值．故选A.]
3．(人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T9改编)若函数f (x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为________．2　[函数f (x)＝x(x－c)2的导数为f ′(x)＝3x2－4cx＋c2.由题意知，f (x)在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6.当c＝6时，f ′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x－2)(x－6)，易得f (x)在x＝2处有极大值．当c＝2时，f ′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)，易得f (x)在x＝2处有极小值．故c＝2．]
4　[f ′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，当x∈[0，2)时，f ′(x)0，所以f (x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增．又f (0)＝m，f (3)＝－3＋m.所以在[0，3]上，f (x)max＝f (0)＝4，所以m＝4．]
考点一　利用导数研究函数的极值考向1　根据函数的图象判断函数的极值[典例1]　(2023·巴蜀中学一模)设函数f (x)在R上可导，其导函数为f ′(x)，且函数y＝(x＋1)f ′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　)A．函数f (x)有极大值f (－3)和f (3)B．函数f (x)有极小值f (－3)和f (3)C．函数f (x)有极小值f (－3)和极大值f (3)D．函数f (x)有极小值f (3)和极大值f (－3)C　[由题图可知，当x＜－3时，x＋1＜0，则f ′(x)＜0，当－3＜x＜－1时，x＋1＜0，则f ′(x)＞0，当－1＜x＜3时，x＋1＞0，则f ′(x)＞0，当x＞3时，x＋1＞0，则f ′(x)＜0，所以函数f (x)有极小值f (－3)和极大值f (3)．故选C.]
故f (x)在定义域上的极大值为f (2)＝ln 2－1，无极小值．
名师点评　与函数极值相关的两类热点问题(1)求函数f (x)极值的一般解题步骤①确定函数的定义域．②求导数f ′(x)．③解方程f ′(x)＝0，求出方程f ′(x)＝0在定义域内的所有根．④列表检验f ′(x)在f ′(x)＝0各个根的左、右两侧值的符号．(2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．②验证：求解后验证根的合理性．不满足题意可能有两种情况：一是函数在定义域内单调，二是函数在极值点左、右两侧的单调性相反，即极值相反．
考点二　利用导数研究函数的最值[典例4]　已知函数f (x)＝ax＋ln x，其中a为常数．(1)当a＝－1时，求f (x)的最大值；(2)若f (x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．
【教师备选资源】已知函数f (x)＝2x3－ax2＋2.(1)讨论f (x)的单调性；(2)当0＜a＜3时，记f (x)在区间[0，1]上的最大值为M，最小值为m，求M－m的取值范围．
名师点评求函数f (x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
巩固课堂所学 · 激发学习思维夯实基础知识 · 熟悉命题方式自我检测提能 · 及时矫正不足
本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？
导数与函数的极值、最值