57 第7章 第5课时　空间直线、平面的垂直-2025年高考数学一轮复习课件

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第5课时　空间直线、平面的垂直
从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．
1．直线与平面垂直(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的____一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：
(3)直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在____________所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．②范围：____________．2．二面角(1)从一条直线出发的__________所组成的图形叫做二面角．以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．(2)二面角的平面角α的范围：_____________．
3．平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是________，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：
[常用结论]直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)垂直于同一个平面的两平面平行．(　　)(2)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α．(　　)(3) 若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b．(　　)(4) 若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　)
1．(人教A版必修第二册P162练习T2改编)已知平面α，β和直线m，l，则下列命题正确的是(　　)A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βD　[若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊂β或l∥β或l与β相交，A错误；若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l与β相交但不一定垂直，B错误；若α⊥β，l⊂α，则l⊂β或l∥β或l与β相交，C错误；若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β，由面面垂直的性质定理可知D正确．故选D.]
2．(人教A版必修第二册P158例8改编)如图，AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD垂直圆柱的底面，则必有(　　)A．平面ABC⊥平面BCDB．平面BCD⊥平面ACDC．平面ABD⊥平面ACDD．平面BCD⊥平面ABDB　[因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直于圆柱的底面，所以AD⊥BC，因为AC∩AD＝A，AC，AD⊂平面ACD，所以BC⊥平面ACD，因为BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD.故选B.]
3．(人教A版必修第二册P152例4改编)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________．
4．(人教A版必修第二册P152练习T4改编)已知点P为边长为a的正△ABC所在平面外一点且PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为________．
考点一　直线与平面垂直的判定与性质[典例1]　如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明]　(1)在四棱锥P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.又PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
名师点评　判定线面垂直的四种方法
[解]　(1)证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1，∴C1D⊥平面AA1B1B.
考点二　平面与平面垂直的判定与性质[典例2]　(2024·江西吉安模拟)如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA＝AD，DC＝2AB，E为PC的中点．求证：(1)PA⊥BC；(2)BE⊥平面PDC.[证明]　(1)∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PA⊂平面PAB，PA⊥AB，∴PA⊥平面ABCD.∵BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC.
名师点评　证明面面垂直的两种方法提醒：在已知两个平面垂直时，一般要在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
[跟进训练]2．如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC＝CA＝AA1．求证：(1)平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；(2)BC1⊥AB1.[证明]　(1)设BC的中点为M，因为点B1在底面ABC上的射影恰好是点M，所以B1M⊥平面ABC，又因为AC⊂平面ABC，所以B1M⊥AC，又由BC⊥AC，B1M∩BC＝M且B1M，BC⊂平面B1C1CB，所以AC⊥平面B1C1CB，因为AC⊂平面ACC1A1，所以平面ACC1A1⊥平面B1C1CB.
(2)连接B1C，因为AC⊥平面B1C1CB，且BC1⊂平面B1C1CB，所以AC⊥BC1，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，因为BC＝CC1，所以四边形B1C1CB为菱形，所以B1C⊥BC1.又因为B1C∩AC＝C，且B1C，AC⊂平面ACB1，所以BC1⊥平面ACB1，因为AB1⊂平面ACB1，所以BC1⊥AB1.
(2)证明：∵△SAD是等边三角形，E是AD的中点，∴SE⊥AD.∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ACD是等边三角形，又E是AD的中点，∴AD⊥CE，又SE∩CE＝E，SE，CE⊂平面SEC，∴AD⊥平面SEC，又EG⊂平面SEC，∴AD⊥EG，又四边形AFGE是平行四边形，∴四边形AFGE是矩形，∴AF⊥FG，又SA＝AB，F是SB的中点，∴AF⊥SB，又FG∩SB＝F，FG⊂平面SBC，SB⊂平面SBC，∴AF⊥平面SBC，又AF⊂平面ASB，∴平面ASB⊥平面CSB.
考点三　垂直关系的综合应用[典例3]　如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面PBC，PA⊥平面ABC.(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)若AC＝BC＝PA，求二面角A-PB-C的大小．[解]　(1)证明：作AD⊥PC于D，因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD⊂平面PAC，则AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，则AD⊥BC，又因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，则PA⊥BC，又PA，AD⊂平面PAC，PA∩AD＝A，则BC⊥平面PAC.
名师点评　三种垂直关系的转化
线线垂直 线面垂直 面面垂直
[跟进训练]3．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，四边形PACQ是矩形，PA＝1，且平面PACQ⊥平面ABCD.求：(1)直线BP与平面PACQ所成角的正弦值；(2)平面BPQ与平面DPQ的夹角的大小；(3)点C到平面BPQ的距离．
拓展视野1　三垂线定理及其逆定理1．三垂线定理如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．2．三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线和该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．[典例1]　(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)如图，下列各正方体中，O为下底面的中心，M，N为顶点，P为正方体所在棱的中点，则满足MN⊥OP的是(　　)
BC　[本题可以用基本性质和判定定理等进行分析，但如果学会了三垂线定理，本题将很直观．如图所示：选项A：OP在上底面的射影与MN重合，因此不满足题意．选项B：OP在左侧面的射影为PQ，P，Q均为棱的中点，PQ⊥MN，根据三垂线定理可知满足题意．选项C：OP在右侧面的射影为QR，Q，R均为棱的中点，QR⊥MN，根据三垂线定理可知满足题意．选项D：OP在后表面的射影为QR，QR与MN不垂直，因此不满足题意．综上，故选BC.]
[典例2]　如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是BC的中点，求平面C1DE与平面CDE所成二面角的正切值．
巩固课堂所学 · 激发学习思维夯实基础知识 · 熟悉命题方式自我检测提能 · 及时矫正不足
本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？
课时分层作业(四十五)
空间直线、平面的垂直(一)
课时分层作业(四十六)
空间直线、平面的垂直(二)