中考数学一轮复习题型归纳训练专题04 一次方程与方程组（2份，原卷版+解析版）

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题型演练
题型一 方程和一元一次方程的判断
1．对于等式：，下列说法正确的是（ ）
A．不是方程B．是方程，其解只有2
C．是方程，其解只有0D．是方程，其解有0和2
【答案】D
【分析】根据方程的定义及方程解的定义可判断选项的正确性．方程就是含有未知数的等式，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．
【详解】解：|x-1|+2=3符合方程的定义，是方程，
（1）当x≥1时，x-1+2=3，解得x=2；
（2）当x＜1时，1-x+2=3，解得x=0．
故选：D．
2．已知关于的方程是一元一次方程，则方程的解为（ ）
A．-2B．2C．-6D．-1
【答案】D
【分析】利用一元一次方程的定义确定出k的值，进而求出k的值即可．
【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程，
∴ ，
解得：k=-2，方程为-4x=-2+6，
解得：x=-1，
故选：D．
3．下列方程中是一元一次方程的是（ ）
A．3x+4=1﹣2xB．x2+x﹣2=0C．2x﹣3y=5D．
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义，逐个判断即可．
【详解】解：A、符合一元一次方程的定义，故A正确；
B、未知数的最高次数是2次，不是一元一次方程，故B错误；
C、是二元一次方程，故C错误；
D、分母中含有未知数，是分式方程，故D错误．
故选：A．
4．已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是( )．
A．±1B．1C．-1D．0或1
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出m的值．
【详解】解：由题意得：|m|＝1，且m+1≠0，
解得m＝1．
故选：B．
5．下列方程中，一元一次方程共有（ ）
①；②；③；④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据一元一次方程的定义，依次分析①②③④，即可得到答案．
【详解】解：①属于分式方程，不符合一元一次方程的定义，不是一元一次方程，
②符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，
③符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，
④符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，
一元一次方程有②③④，共3个，
故选：．
6．若x|m|﹣10＝2是关于x的一元一次方程，则m的值是 _____．
【答案】
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．
【详解】解：根据题意，有
，
∴，
故答案为：．
题型二 方程的解
7．（2022·重庆秀山·一模）已知是关于x的方程的解，则a的值等于（ ）
A．B．C．9D．19
【答案】C
【分析】把代入方程，再解方程即可求得．
【详解】解：把代入方程，得
解得a=9
故选：C
8．（2022·山东济宁·二模）已知关于的方程的解是，则的值是（ ）
A．-5B．-6C．-3D．8
【答案】C
【分析】根据方程解的定义，将方程的解代入方程可得关于字母系数的一元一次方程，从而可求出的值．
【详解】解：把代入原方程得，
解得．
故选：C．
9．（2022·四川凉山·九年级期末）已知x=-1是方程x2+mx-n=0的解，则m+n的值是（ ）
A．1B．-1C．0D．2
【答案】A
【分析】方程的解就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，因而把x=-1代入方程就得到一个关于m+n的方程，就可以求出m+n的值．
【详解】解：将x=-1代入方程式得1-m-n=0，
解得m+n=1．
故选：A．
10．（2022·山东淄博·一模）若是关于x的一元一次方程的解，则的值是（ ）
A．7B．8C．D．
【答案】A
【分析】将x=2代入ax-b=3中，得2a-b=3，整体代入代数式即可得到答案．
【详解】解：将x=2代入ax-b=3中，得2a-b=3，
∴
=2（2a-b）+1
=
=7，
故选A．
11．x=1是一元一次方程4x＋k＝0的根，则k的值为_______．
【答案】-4
【分析】把x=1代入方程4x+k=0得4+k=0，然后解关于k的方程即可．
【详解】解：把x=1代入方程4x+k=0得4+k=0，
解得k=-4．
故答案为：-4．
12．（2022·江苏苏州·二模）关于x的方程kx＋5=0的解是负数，则k的取值范围为_________．
【答案】k＞0
【分析】直接解方程组，再根据方程的解是负数即可得到答案．
【详解】∵kx＋5=0，当时，等式不成立
∴
∴
∴
∵x为负数
∴
∴
故答案为：
题型三 等式的性质
13．在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下关系：去分母得，那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1B．等式的性质2C．分式的基本性质D．不等式的性质2
【答案】B
【分析】根据等式的性质2可得答案．
【详解】解：去分母得，其变形的依据是等式的性质2，
故选：B．
14．已知，下列等式不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等式的性质和合并同类项即可判断．
【详解】由，得，故A成立；
，故B成立；
根据等式的性质，等式两边同加或减一个等式，左右两边仍相等，
，故C成立；
，故D不成立；
故选D．
15．（2022·安徽·合肥38中模拟预测）已知a≠b，且a＋＝b＋则下列结论正确的是（ ）
A．a＋b＝0B．ab＝1
C．若a＋b＝0，则a－b＝2D．若a－b＝2，则a＋b＝0
【答案】D
【分析】利用等式的性质将代数式的变形计算即可
【详解】∵a＋＝b＋，
∴a－b＋－＝0，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴选项A、B错误；
当a＋b＝0时，与联立，解得 或，
可得a－b＝－2或a－b＝2，
故选项C错误；
当a－b＝2时，与联立，解得，
可得a＋b＝0，
故选项D正确；
故选D
16．（2022·湖北宜昌·九年级期中）若，则的值为（ ）．
A．2018B．2019C．2020D．2021
【答案】C
【分析】根据可得，整体代入，即可求解．
【详解】解：由可得：，即，
则，
故选：C
17．（2022·湖南永州·九年级期末）已知，则的值为__________．
【答案】
【分析】根据等式的性质，可得答案．
【详解】解：等式两边都除以2b，得，
故答案为：．
18．（2021·广东惠州·三模）已知2x﹣3y﹣5＝0，则9y﹣6x＋16＝________．
【答案】1
【分析】用等式的性质1求得，再利用等式的基本性质2来求解.
【详解】解：∵2x﹣3y﹣5＝0，
∴2x﹣3y＝5，
∴9y﹣6x+16
＝﹣3（2x﹣3y）+16
＝﹣3×5+16
＝1，
故答案为：1．
题型四 解一元一次方程
19．（2022·四川广元·一模）解方程：．
【答案】
【分析】先去分母，在去括号，然后移项合并同类项，即可求解．
【详解】解：去分母，得．
去括号，得．
移项、合并同类项，得．
系数化为1，得．
20．（2022·安徽合肥·二模）解不等式：．
【答案】
【分析】根据解一元一次不等式的一般步骤计算即可得到答案．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
两边同时除以得：．
21．（2022·四川·一模）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
【详解】(1)解：去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：；
(2)解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：．
22．解方程：
(1)2x－3（2x－3）＝x＋4；
(2)．
【答案】(1)x＝1；
(2)，
【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【详解】(1)解：2x－3（2x－3）＝x＋4
去括号，可得：2x﹣6x+9＝x+4，
移项，可得：2x﹣6x﹣x＝4﹣9，
合并同类项，可得：﹣5x＝﹣5，
系数化为1，可得：x＝1
(2)解：
∴，
23．解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据解方程步骤，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解；
（1）根据解方程步骤，方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：（1）移项得：，
合并同类项得：，
解得：；
（2）去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：．
24．（2022·河北邯郸·三模）嘉淇在解关于x的一元一次方程＝3时，发现正整数被污染了；
(1)嘉淇猜是2，请解一元一次方程；
(2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？
【答案】(1)；(2)2
【分析】（1）由题意得方程，按解一元一次方程的一般步骤求解即可；
（2）设被污染的正整数为m，得方程，求解得，再根据解是正整数求解即可．
【详解】（1）解：，
去分母，得；
移项，合并同类项，得；
系数化为1，得．
（2）解：设被污染的正整数为m，
则有，
解之得，，
∵是正整数，且m为正整数，
∴．
题型五 二元一次方程的概念与二元一次方程的解
25．（2022·上海杨浦·二模）下列方程中，二元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二元一次方程的定义可得答案．
【详解】解：A．含有2个未知数，未知数的项的最高次数是2的整式方程，不属于二元一次方程，不符合题意；
B．含有1个未知数，未知数的项的最高次数是2的整式方程，不属于二元一次方程，不符合题意；
C．含有2个未知数，未知数的项的最高次数是1的整式方程，属于二元一次方程，符合题意；
D．是分式方程，不属于二元一次方程，不符合题意．
故选：C．
26．下列各式是二元一次方程的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二元一次方程的定义解答即可．
【详解】A．含有二次项，属于二元二次方程；
B．含有分式，不属于整式方程；
C．是二元一次方程；
D．没有等号不属于方程；
故选：C．
27．（2022·浙江·宁波市第七中学九年级期中）下列各式中是二元一次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】二元一次方程是含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数均为的整式方程．
【详解】解：对于A，是一元一次方程，不符合题意；
对于B，是分式方程，不符合题意；
对于C，中的最高次为次，不符合题意；
对于D，是二元一次方程，符合题意．
故选：D．
28．（2022·黑龙江佳木斯·三模）为了加大“精准扶贫”力度，某市准备将10名干部分成2人一组或3人一组，到村屯带领贫困户脱贫．在所有干部都参加且每人只能参加一个小组的前提下，分组方案有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
【答案】B
【分析】列出二元一次方程求出符合条件的解即可．
【详解】解：设有x个3人小组，y个2人小组，
∴；
可知x的最大值为3，
当有3个3人小组时，则余下1人，不足以成组，故此时不成立；
当有2个3人小组时，余下4人，则可组成2个2人小组，故此时成立；
当有1个3人小组时，余下7人，故组成3个人2人小组后还余下1人，故此时不成立；
当有0个3人小组时，全部10个人组成5个2人小组，故此时成立；
综上可知：可行的方案有2种，
故选：B．
29．（2022·浙江杭州·一模）二元一次方程的解可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】把各个选项答案带进去验证是否成立即可得出答案．
【详解】逐项代入计算，
A．将代入4x-y=2，方程左右两边不相等，故A项错误；
B．将代入4x-y=2，方程左右两边不相等，故B项错误；
C．将代入4x-y=2，方程左右两边相等，故C项正确；
D．将代入4x-y=2，方程左右两边不相等，故D项错误；
故选：C．
30．（2022·浙江·一模）已知x+2y与x+4互为相反数，则x+y的值为（ ）
A．﹣4B．﹣1C．﹣2D．2
【答案】C
【分析】根据相反数的性质“互为相反数的两个数相加得0”，可建立等式x+2y+x+4＝0，化简后可求出x+y的值．
【详解】解：∵x+2y与x+4互为相反数，
∴x+2y+x+4＝0，
则2x+2y＝﹣4，
故x+y＝﹣2．
故选：C
题型六 二元一次方程组的判断
31．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二元一次方程组的基本形式及特点，即①含有两个二元一次方程，②方程都为整式方程，③未知数的最高次数都为一次．
【详解】解：A、是二元二次方程组，故不符合题意；
B、是三元一次方程组，故不符合题意；
C、是二元一次方程组，故符合题意；
D、中含有分式，不是二元一次方程组，故不符合题意；
故选C．
32．下列方程中，是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二元一次方程组的定义逐项判断即得答案．
【详解】解：A、是二元一次方程组，故本选项符合题意；
B、不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C、不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
D、不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
故选：A．
33．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组逐一判断即可．
【详解】解：A．此选项方程组是二元一次方程组，符合题意．
B．此方程组未知项的最高次数是2，不是二元一次方程组，不符合题意．
C．此方程组未知项的最高次数是2，不是二元一次方程组，不符合题意；
D．此方程组含有3个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意；
故选：A．
34．（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二元一次方程组的定义（方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组）逐项判断即可得．
【详解】解：A、中的次数是2，则此项不是二元一次方程组，不符合题意；
B、中是分式，则此项不是二元一次方程组，不符合题意；
C、中含有三个未知数，则此项不是二元一次方程组，不符合题意；
D、是二元一次方程组，则此项符合题意；
故选：D．
35．下列方程组中，二元一次方程组一共有（ ）个．
（1），（2），（3），（4）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
【详解】解：（1）符合二元一次方程组的定义；
（2）第二个方程中的是二次的，故该选项不符合题意；
（3）第一个方程不是整式方程，故该选项不符合题意；
（4）符合二元一次方程组的定义．
则二元一次方程组共2个，
故选：B．
题型七 二元一次方程组的解及其参数求解
36．（2022·天津滨海新·一模）方程组的解是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用将各选项中的值代入方程组检验即可．
【详解】解：∵7+2=9,7-2×2=3
∴
故选：D．
37．（2022·广东·二模）若一个方程组的一个解为，则这个方程组不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】把解代入各个方程组，根据二元一次方程解的定义判断即可
【详解】解：A、x=2，y=1适合方程组中的每一个方程，故本选项不符合题意；
B、x=2，y=1适合方程组中的每一个方程，故本选项不符合题意；
C、x=2，y=1不是方程的解，故该选项符合题意．
D、x=2，y=1适合方程组中的每一个方程，故本选项不符合题意；
故选C．
38．（2022·浙江金华·九年级期中）已知二元一次方程组，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通过两式相减变形即可得解；
【详解】，
，可得：，
．
故选：．
39．（2022·四川成都·模拟预测）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（ ）
A．±B．C．±2D．2
【答案】B
【分析】先：把代入方程组，可得，
解可求m、n的值，最后把m、n的值代入所求二次根式计算即可．
【详解】解：把代入二元一次方程组得：
，
解得：，
则＝＝2，
∴2的算术平方根为，
故选：B．
40．（2022·贵州黔东南·模拟预测）在下列数对中：①；②；③；④，其中是方程的解的是______ ；是方程的解的是______ ；既是方程的解，又是方程的解的是______ 填序号
【答案】 ①③ ③ ③
【分析】把四组值分别代入方程和，然后根据二元一次方程的解的定义进行判断．
【详解】解：；；；，
∴①③是方程的解；
当，时，，
∴①不是方程的解；
当，时，，
∴②不是方程的解；
当，时，，
∴③是方程的解；
当，时，，
∴④不是方程的解．
故答案为①③；③；③．
41．（2022·江苏淮安·九年级期中）已知 是方程 的解， 则_____________．
【答案】-1
【分析】把 代入方程求解即可.
【详解】解：把 代入方程
得：
解得：a=-1
故答案为：-1
题型八 解二元一次方程组
42．（2022·福建漳州·模拟预测）解方程组：
【答案】
【分析】利用加减消元法求解可得．
【详解】解：②×2＋①，得
解得
将代入②，得
解得
所以，方程组的解：．
43．解方程组：．
【答案】
【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可；
【详解】．
解：，得．
把代入①，得．
∴原方程组的解为．
44．（2022·江苏南京·二模）解方程组 ．
【答案】
【分析】利用加减消元法计算，即可求解．
【详解】解∶ ①×2-②得：，
解得：，
把代入①，得：，
解得：，
∴方程组的解为．
45．（2022·上海松江·二模）解方程组：
【答案】
【分析】先将左侧因式分解化为，再解二元一次方程组即可．
【详解】解：∵
∴原方程组可化为，
①-②得，，
解得：
将代入①中得，
解得：，
∴所以原方程组的解为．
46．（2022·上海崇明·二模）解方程组：
【答案】或
【分析】将方程②因式分解，得到两个新的方程，原方程组转化为两个新的方程组，求解即可．
【详解】由②得：，
或，
因此，原方程组可以化为两个二元一次方程组
或．
分别解这两个方程组，得原方程组的解是或．
47．同学们，我们已经学习过如何解二元一次方程组和一元二次方程，我们知道了解整式方程的主要思想是通过“消元”或“降次”将其转化为一元一次方程来求解的．请你利用我们学过的思想、方法，解下列的方程组．
【答案】或
【分析】把第二个方程变形为x＝2+y，代入第一个方程可得y的解，再把y的值分别代入第二个方程可得答案．
【详解】解：，
由②得x＝2+y③，
把③代入①得，，
整理得：，
，
把分别代入方程②得，
，
∴原方程组的解为或．
题型九 一元一次方程的应用
48．（2022·河北石家庄·一模）其社区打算购买一批垃圾分类提示牌和垃圾箱，计划提示牌比垃圾箱多购买6个，且提示牌与垃圾箱的个数之和恰好为100个．
(1)求计划购买提示牌多少个？
(2)为提升居民垃圾分类意识，实际购买时增加了提示牌的购买数量，且提示牌与垃圾箱的购买数量之和不变．已知提示牌的单价为每个60元，垃圾箱的单价为每个150元，若预算费用不超过9800元，请求出实际购买提示牌的数量至少增加了多少个？
【答案】(1)53个
(2)至少增加5个
【分析】（1）设计划购买提示牌x个，，则购买(x-6)个垃圾箱，根据提示牌和垃圾箱的个数之和为100个，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可．
（2）设实际购买提示牌y个，垃圾箱（100-y）个，根据预算费用不超过9800元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
【详解】(1)解：设计划购买提示牌x个，
根据题意，得，
解得：，
答：计划购买提示牌53个．
(2)解：设实际购买提示牌y个，
根据题意，得，解得，
∵y为整数，∴y最小值为58．
∴．
答：实际购买的提示牌数量至少增加5个．
49．（2022·重庆巴蜀中学三模）“绿水青山就是金山银山”，重庆市政府为了美化生态环境，给居民创造舒适生活，计划将某滨江路段改建成滨江步道．一期工程共有7000吨渣土要运走，现计划由甲、乙两个工程队运走渣土．已知甲、乙两个工程队，原计划甲平均每天运走的渣土比乙平均每天运走的渣土多，这样甲运走4000吨渣土的时间比乙运走剩下渣土的时间少两天．
(1)求原计划甲平均每天运渣土多少吨？
(2)实际施工时，甲平均每天运走的渣土比原计划增加了m吨，乙平均每天运走的渣土比原计划增加了，甲、乙合作7天后，甲临时有其他任务；剩下的渣土由乙再单独工作2天完成．若运走每吨渣土的运输费用为40元，请求出甲工程队的运输费用．
【答案】(1)500吨；(2)154000元；
【分析】（1）设原计划乙平均每天运渣土x吨，则甲平均每天运渣土x吨，根据甲运走4000吨渣土的时间比乙运走剩下渣土的时间少两天列方程求解即可；
（2）根据甲、乙两队的运送天数和每天运送量，总的运送量列方程求解即可；
【详解】(1)解：设原计划乙平均每天运渣土x吨，则甲平均每天运渣土x吨，
根据题意得：，
解得，
经检验是原方程的解且符合题意，
则，
答：原计划甲平均每天运渣上500吨；
(2)解：根据题意得：
，
解得，
则550×40×7＝154000元，
答：甲工程队的运输费用为154000元；
50．（2022·四川资阳·中考真题）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．
(1)求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？
(2)某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个，求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？
【答案】(1)甲种型号的单价是98元，乙种型号的单价是78元
(2)最多可购买甲种型号的“冰墩墩”30个
【分析】（1）根据题意，设乙种型号的单价是x元，则甲种型号的单价是元，根据“购买甲、乙两种型号各10个共需1760元”的等量关系列出一元一次方程，解出方程即可得出答案；
（2）根据题意，设购买甲种型号的“冰墩墩”a个，则购买乙种型号的“冰墩墩”个，根据“计划用不超过4500元”列出不等式，即可得出答案．
【详解】（1）设乙种型号的单价是x元，则甲种型号的单价是元．
根据题意得：
解得：．
∴
答：甲种型号的单价是98元，乙种型号的单价是78元．
（2）设购买甲种型号的“冰墩墩”a个，则购买乙种型号的“冰墩墩”个．
根据题意，得：
解得：
∴a最大值是30．
答：最多可购买甲种型号的“冰墩墩”30个．
51．（2022·重庆八中二模）如果一个四位自然数M的千位数字和百位数字相等，十位数字和个位数字之和为8，我们称这样的数为“等合数”，例如：对于四位数5562，∵5=5且6+2=8，∴5562为“等合数”，又如：对于四位数4432，∵4=4但3+2≠8，所以4432不是“等合数”
(1)判断6627、1135是否是“等合数”，并说明理由；
(2)已知M为一个“等合数”，且M能被9整除．将M的各个数位数字之和记为P（M），将M的个位数字与十位数字的差的绝对值记为Q（M），并令G（M）=P（M）×Q（M），当G（M）是完全平方数（0除外）时，求出所有满足条件的M．
【答案】(1)6627不是“等合数”， 1135是“等合数”，理由见解析
(2)5580，5508，5535，5553
【分析】（1）根据“等合数”的定义判断，即可求解；
（2）设M的千位和百位数为a，十位数为b，则个位数为8-b，其中a为0＜a≤9的整数，b为0≤b≤8的整数，可得P（M）= 2a+8， Q（M）=，从而得到G（M） =，，再由M能被9整除．可得2a+8能被9整除，从而得到a=5，再由G（M）是完全平方数（0除外）可得到或2，即可求解．
【详解】（1）解∶ 6627不是“等合数”， 1135是“等合数”，理由如下：
∵6=6，但2+7≠8，
∴6627不是“等合数”，
∵1=1且3+5=8，
∴1135是“等合数”；
（2）解：∵M为一个“等合数”，
∴可设M的千位和百位数为a，十位数为b，则个位数为8-b，其中a为0＜a≤9的整数，b为0≤b≤8的整数，
∴P（M）=a+a+b+8-b=2a+8， Q（M）=，
∴G（M）=P（M）×Q（M）=，，
∵M能被9整除．
∴2a+8能被9整除，
当2a+8=9时，，
当2a+8=18时，，
当2a+8=27时，，
当2a+8=36时，（不合题意，舍去），
∴a=5，
∵G（M）是完全平方数（0除外），
∴是完全平方数（0除外），
∵，
∴或2，
解得：b=8或0或3或5，
∴符合条件的M为5580，5508，5535，5553．
52．（2022·陕西·二模）肉夹馍和凉皮是西安特色美食，小华一放假就和几个同学迫不及待地相约一起去美食街吃凉皮肉夹馍．已知一碗凉皮比一个肉夹馍便宜2元，几个同学在店里吃6碗凉皮10个肉夹馍，共花费148元．求一碗凉皮和一个肉夹馍分别是多少元？
【答案】一碗凉皮8元，一个肉夹馍10元
【分析】设一碗凉皮为x元,一个肉夹馍为（x+2）元，根据等量关系吃6碗凉皮10个肉夹馍，共花费148元．列方程6x+10(x+2)=148,然后解方程即可．
【详解】解：设一碗凉皮为x元,一个肉夹馍为（x+2）元，
根据题意，得6x+10(x+2)=148,
解得x=8，
检验：当x=8时，方程左边=48+100=148=右边，
所以x=8是原方程的解，
∴x+2=8+2=10元，
答一碗凉皮8元，一个肉夹馍10元．
53．（2022·陕西·无模拟预测）“水是生命之源”，我国是一个严重缺水的国家．为倡导节约用水，某市自来水公司对水费实行分段收费，具体标准如下表：
已知某月市民甲交水费元，市民乙用水立方米，交费元，市民丙交水费元，求：
(1)市民甲该月用水多少立方米？
(2)第二档水费每立方米多少元？
(3)市民丙该月用水多少立方米？
【答案】(1)甲市民该月用水7立方米．
(2)第二档水费每立方米3元．
(3)市民丙该月用水21立方米．
【分析】（1）通过计算可知，甲用水量不超过10立方米，因此用总价除以单价，可得数量；
（2）根据图表及分段计算水费，列方程解答即可；
（3）估计丙用水量超过15立方米，列方程解答即可．
【详解】(1)解：，
甲用水量不超过10立方米，
立方米，
答：甲市民该月用水7立方米．
(2)解：设超出的部分元立方米，由题意得，
，
解得，，
答：第二档水费每立方米3元．
(3)解：，
丙的用水量超过15立方米，
设丙用水立方米，由题意得，
，
解得，，
答：市民丙该月用水21立方米．
题型十 二元一次方程组的应用
54．（2022·湖南湘西·中考真题）为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品．已知篮球的单价为每个100元，足球的单价为每个80元．
(1)原计划募捐5600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足球各买多少个？
(2)在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共6890元，若购买篮球和足球共80个，且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？
【答案】(1)原计划篮球买40个，则足球买20个
(2)篮球最多能买24个
【分析】（1）设原计划篮球买x个，则足球买y个，根据：“恰好能够购买篮球和足球共60个、原计划募捐5600元”列方程组即可解答；
（2）设篮球能买a个，则足球（80﹣a）个，根据“实际收到捐款共6890元”列不等式求解即可解答．
【详解】（1）解：设原计划篮球买x个，则足球买y个，根据题意得：，解得：．答：原计划篮球买40个，则足球买20个．
（2）解:设篮球能买a个，则足球（80﹣a）个，根据题意得：100a+80（80﹣a）≤6890，解得：a≤24.5，答：篮球最多能买24个．
55．（2022·江苏·南通市海门区东洲国际学校模拟预测）小颖家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用了16分钟，已知小颖在上坡路上的平均速度是80米/分钟，在下坡路上的平均速度是200米/分钟．求小颖上坡、下坡各用了多长时间？
【答案】小颖上坡用了11分钟，下坡用了5分钟
【分析】设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据“小颖家离学校1880米，且去学校共用了16分钟”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，
依题意得：，
解得：．
答：小颖上坡用了11分钟，下坡用了5分钟．
56．（2022·广西·富川瑶族自治县第三中学模拟预测）某服装厂接到生产一批防护服的任务，甲车间单独完成需15天，甲车间生产2天后，由于疫情紧急，需提前5天完成任务，乙车间加入共同生产正好如期完成
(1)乙车间单独完成这批防护服需几天？
(2)若甲车间平均每天生产200套防护服，问乙车间平均每天生产防护服多少套？
【答案】(1)24；(2)125
【分析】（1）根据题意设甲乙每天生产的数量为x、y，可得y=，根据工作效率=工作量÷工作时间，可得乙车间单独完成这批防护服需24天；
（2）根据甲乙车间工作效率关系可求．
【详解】(1)解：设甲每天生产x套，则总任务为15x套，乙每天生产y套，
则（15-5）x+（15-2-5）y=15x，
整理得10x+8y=15x，
∴y=，
∴15x=，
答：乙车间单独完成这批防护服需24天．
(2)解：（套）
答：乙车间平均每天生产防护服125套．
57．（2022·重庆沙坪坝·一模）如果一个三位自然数M的各个数位上的数均不为0，且满足百位上的数字等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这个数为“沙磁数”．
例如：，∵，∴321是“沙磁数”．
又如：，∵，∴534不是“沙磁数”．
(1)判断853，632是否是“沙磁数”?并说明理由；
(2)若M是一个“沙磁数”，将M的十位数字放在M的百位数字之前得到一个四位数A，在M的末位之后添加数字1得到一个四位数字B，若能被11整除，求出所有满足条件的M．
【答案】(1)853是“沙磁数”，632不是“沙磁数”；
(2)满足条件的M有431，972，844，716．
【分析】（1）根据新定义进行解答；
（2）设M的十位数字为x，个位数字为y．，求得A-B，再根据或11或22．为整数求得x、y的值，便可得出结果．
【详解】（1）853是“沙磁数”，632不是“沙磁数”．∵，∴853是“沙磁数”．∵，∴632不是“沙磁数”．
（2）设M的十位数字为x，个位数字为y．由题意知，x，y为自然数，且，，．，，则．∵能被11整除，∴能被11整除．∵，，∴，∴或11或22．①当时，或符合题意，∴或972．②当时，符合题意，∴．③当时，符合题意，∴．综上，满足条件的M有431，972，844，716．
58．（2022·陕西师大附中三模）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作，某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位，该大学共有多少名志愿者？
【答案】大学共有218名志愿者
【分析】设计划调配36座新能源客车辆，该大学共有名志愿者，列方程组，得，解方程组可得．
【详解】设计划调配36座新能源客车辆，该大学共有名志愿者．
列方程组，得
解得
∴计划36座的新能源客车6辆，共有218名志愿者．
答：大学共有218名志愿者．
59．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．
(1)求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；
(2)在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为元，销售猪肉粽的利润为元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．
【答案】(1)每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元
(2)1800元
【分析】（1）设每盒猪肉粽的进价为元，每盒豆沙粽的进价为元，根据猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元列出方程组，解出即可．
（2）根据当时，每天可售出100盒，每盒猪肉粽售价为a元时，每天可售出猪肉粽盒，列出二次函数关系式，再化成顶点式即可得解．
【详解】（1）设每盒猪肉粽的进价为元，每盒豆沙粽的进价为元，由题意得：
解得：
每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元．
（2）
．
当时，w最大值为1800元．
∴该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1800元．每月用水量
第一档（不超过立方米）
第二档（超过立方米但不超过立方米部分）
第三档（超过立方米部分）
收费标准（元立方米）
元
？元
比第二档高