广东省六校联考2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

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本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1. 答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效.
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知双曲线的离心率为 ，则的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
2. 数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点坐标为，则△ABC欧拉线的方程为（ ）
A. x+y-4=0B. x-y+4=0
C. x+y+4=0D. x-y-4=0
3. 已知抛物线的准线为，则与直线的交点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，在平行六面体 中，底面和侧面都是正方形，，点P是与的交点，则 （ ）
A. B. 2C. 4D. 6
5. 在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC外接球，则球O的表面积为（ ）
A. 96πB. 84πC. 72πD. 48π
6. 已知点和圆，圆M上两点A，B满足 ，O是坐标原点. 动点 P在圆M上运动，则点 P到直线AB的最大距离为（ ）
A. 2B. C. D.
7. 已知是椭圆上的动点，若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知矩形ABCD，，， M为边DC上一点且， AM与BD交于点Q，将沿着AM折起，使得点D折到点P位置，则的最大值是（ ）
A B. C. 23D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知圆是直线上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆C相切于点A，B，则（ ）
A. 圆C上恰有1个点到直线l的距离为
B. |PA|的最小值是
C. |AB|存在最大值
D. |AB|的最小值是
10. 已知椭圆 的右焦点为F ，抛物线Γ顶点在原点并以F 为焦点，过F 的直线l交抛物线Γ于两点，下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 当 时，直线l倾斜角为或
C. 若，P 为抛物线Γ上一点，则的最小值为
D. 的最小值为9
11. 如图，三棱台 中，M 是AC上一点，平面ABC，∠ABC=90°，，则（ ）
A. 平面
B. 平面平面
C. 三棱台 的体积为
D. 若点P在侧面上运动（含边界），且CP与平面所成角的正切值为4，则BP长度的最小值为
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线，若，则实数a值为_______
13. 已知分别是椭圆 的左、右焦点和上顶点，连接并延长交椭圆C于点 P，若为等腰三角形，则椭圆C的离心率为_________.
14. 已知实数、满足，则的取值范围是_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1.
（1）求四面体ABCD 的体积;
（2）求平面ABC与平面ABD所成角的正切值.
16. 已知点、的坐标分别为、直线、相交于点，且它们的斜率之积是
（1）求点的轨迹方程；
（2）若直线与点的轨迹交于两点，且，其中点是坐标原点. 试判断点到直线的距离是否为定值. 若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
17. 如图，在斜三棱柱中，是边长为2的等边三角形，侧面为菱形，.
（1）求证：；
（2）若为侧棱上（包含端点）一动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
18. 已知双曲线的渐近线方程为，过右焦点且斜率为的直线与相交于、两点. 点关于轴的对称点为点.
（1）求双曲线的方程：
（2）求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；
（3）当时，求面积的最大值.
19. 如图所示，在平面直角坐标系中，点绕坐标原点逆时针旋转角至点．
（1）试证明点的旋转坐标公式：
（2）设，点绕坐标原点逆时针旋转角至点，点再绕坐标原点旋转角至点，且直线的斜率，求角的值；
（3）试证明方程的曲线是双曲线，并求其焦点坐标．