黑龙江省大庆市实验中学实验一部2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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说明：
1.请将答案填涂在答题卡的指定区域内.
2.满分150分，考试时间120分钟.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
2. 若双曲线一个焦点为，则m等于（ ）.
A B. C. D. 8
3. 以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（ ）
A. B.
C D.
4. 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．灯丝位于椭圆的一个焦点上，卡门位于另一个焦点上．已知此椭圆的离心率为，且，则灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为（ ）
A. 9cmB. 10cmC. 14cmD. 18cm
5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，若，则的面积为（ ）
A B. C. 3D. 5
6. 二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知，，，，则该二面角的大小为（ ）
A 45°B. 60°C. 90°D. 120°
7. 在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1D.
8. 已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知抛物线的焦点为，顶点为，点在抛物线上，若，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列说法错误的是（ ）
A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B. 直线的倾斜角的取值范围是
C. 过两点的所有直线，其方程均可写为
D. 已知，若直线与线段有公共点，则
11. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线交于M，N，则（ ）
A. 的最小值为8
B. 若直线l经过，且与双曲线C交于另一点Q，则的最小值为6
C. 为定值
D. 若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 过点作圆的切线，切点为，则线段的长为__________.
13. 已知椭圆：的离心率为，F是椭圆C的右焦点，P为椭圆C上任意一点，的最大值为．设点，则的最小值为______．
14. 已知直四棱柱，，底面是边长为1的菱形，且，点E为的中点，点H是棱上的动点.则直线与直线所成角的正切值的最小值为__________.
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知直线与直线．
（1）若，求m的值；
（2）若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程．
16. 已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积．
17. 如图，三棱台中，是正三角形，平面ABC，，M，N分别为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值.
18. 已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．
（1）求双曲线的方程．
（2）若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（3）点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．
19. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点，的距离之比，是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分．
①求的取值范围；
②将点、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程．