辽宁省沈阳市实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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考试时间：120分钟 试题满分：150分
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用集合的混合运算，逐一分析判断各选项即可得解.
【详解】由题得：，，，
或，或，
所以，故A错误；
或，故B错误；
或，故C错误；
，故D正确；
故选：D.
2. 下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定.
【详解】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点，
所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于B，函数，
故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点；
对于C，当时，，
当且仅当时，等号成立，无零点；
当时，当且仅当时，等号成立，
在上单调递减，在上单调递增，
此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于D，函数在上单调递增，有唯一零点，
所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.
故选：B
3. “”是“方程有实数解”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分、必要性定义，根据条件间的推出关系判断关系即可.
【详解】若，对于有，即方程有实数解，充分性成立；
当时，方程有实数解，
当时，则有实数解，则，可得且，必要性不成立；
所以“”是“方程有实数解”的充分不必要条件.
故选：A
4. 设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 在上为增函数B. 在上为减函数
C. 在上为增函数D. 在上为减函数
【答案】D
【解析】
【分析】利用特殊函数排除A、B、C，即可得答案.
【详解】由题设，满足要求，则为常数函数且定义域不是R，排除B，
、在R上不是单调函数，且后一个函数定义域不为R，排除A、C，
若函数在上为增函数，则在上为减函数，D对.
故选：D
5. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由指数函数的性质比较大小即可；
【详解】由指数函数的性质可得当时为增函数，当时为减函数，
所以，而，所以，
故选：A.
6. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增.若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，根据题设有且在上，在上，再令判断在上述区间的大小关系，即可得不等式解集.
【详解】令为偶函数，且在上递增，，
结合题设知，在上，在上，
令为偶函数，且在上递增，，
若，
上，则有，
在上，则有，
综上，结合题设的性质，不等式的解集为.
故选：B
7. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则函数的值域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析得函数的奇偶性与值域，结合高斯函数的概念可求所给函数的值域.
【详解】因为，
所以，
所以函数为奇函数，则，
因为，
而，则，，
所以，故，即，
所以的值域为，
当时，，，
所以；
当时，，，
所以；
当时，，，
所以；
综上可知：.
故选：B
8. 已知函数的三个零点分别为，，，若函数满足，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题设得函数关于对称，进而有、，且，结合，得到是的两个零点，根据二次函数性质求得、，即可求的范围.
【详解】由，即，故函数关于对称，
所以，则，
故，
令，且开口向上，对称轴为，
由题意，且，它们也是的两个零点，
所以，且，故，则，
所以.
故选：C
【点睛】关键点点睛：应用因式分解及已知得到是的两个零点，且，且为关键.
二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，选对但不全的得部分分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 当，且时，函数的图像必过定点；
B. 若函数为奇函数，则；
C. 函数在上是单调减函数；
D. 将的图像向右平移个单位，可得的图像
【答案】AD
【解析】
【分析】由指数函数的性质可得A正确；举反例得到B错误；由单调性的定义可得C错误；由图像平移的性质可得D正确；
【详解】A：由指数函数的性质可得当，且时，函数的图像必过定点，故A正确；
B：若，则为奇函数，但无意义，故B错误；
C：函数在上无单调性，在上单调递减；
D：由图像平移的性质可得将的图像向右平移个单位，可得的图像，故D正确；
故选：AD.
10. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，由可用基本不等式直接判断；对于B，由于，利用A的结论判断；对于C，由，利用基本不等式直接判断；对于D，，利用A的结论判断.
【详解】对于A，因为，，
所以，
当且仅当时，等号成立，故A错误；
对于B，由A可知，，
当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，因为，，
所以，
当且仅当即时等号成立，故C正确；
对于D，由A可知，，
当且仅当时，等号成立，故D正确.
故选：BCD
11. 已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 的取值范围为
B. 的取值范围为
C. 若方程有5个不同的实根，则
D. 若方程有5个不同的实根，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据解析式画出函数大致图象，令得，数形结合可得且，结合函数零点知识依次判断各项正误.
【详解】根据解析式可得函数大致图象如下，令，则，

所以且，故，A错；
由，而从过程中对应从，
注意端点值取不到，所以，B对；
由，可得或，
由图知，对应有2个不同解，故对应必有3个不同解，所以，C对；
由图，当时原方程无解；
当时，，此时原方程只有1个解，不符；
当时，且，此时原方程有1或2或3个解，不符；
令，得或或，
当时，或或，
若，原方程无解；
若，原方程有2个解；
若，原方程有1个解，
故原方程共有3个不同解，不符；
当时，或或，原方程共有4个解，不符；
当时，或或，
若，原方程有2个解；
若，原方程有2个解；
若，原方程有1个解，
故原方程共5个不同解，符合；
当时，有1个解或有2个解，原方程共3个解，不符；
当时，，原方程只有1个解，不符；
综上，满足题设，D对.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：D项，注意从负到正依次讨论范围，结合图象确定对应范围，进而判断解的个数.
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 命题“，”的否定是______．
【答案】，
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，即可得到.
【详解】命题“，”的否定是，.
故答案：，
13. 若函数在单调递减，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由对称轴，且当时，恒成立，可求的取值范围.
【详解】因为函数在上单调递减，所以对称轴.
又当时，恒成立，所以.
综上：.
故答案为：
14. 已知函数是定义域为，图象恒过点，对于上任意，都有，则关于的不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】构造函数，利用的单调性，把函数不等式转化为代数不等式求解.
【详解】因为，所以，
即，即在上单调递增.
又，所以.
由，即.
所以.
故答案为：
四．解答题：本题共5小题，15、16、17、18题每题15分，19题17分，共77分.
15. （1）计算：；
（2）计算：；
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）应用有理数指数幂的运算化简求值；
（2）应用对数的运算性质化简求值.
【详解】（1）
（2）
.
16. 已知函数为奇函数．
（1）求，的值；
（2）指出并证明在上的单调性；
（3）求在区间上的值域.
【答案】（1），
（2）单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质求参数的值.
（2）利用单调性定义证明函数的单调性.
（3）根据函数的单调性求函数在给定区间上的值域.
【小问1详解】
依题意可知，的定义域为，且，，
即，
，.
【小问2详解】
由（1）可知，，其在上单调递增，
证明：，
，
∴fx在上单调递增.
【小问3详解】
奇函数在上单调递增，
∴fx在上单调递增，
∴fx在上单调递增.
又，，
∴fx在上的值域为.
17. 地下矿产资源勘探建模是一种重要的技术手段，用于帮助人们更好的了解底下矿产资源的分布和特征.地球物理勘探技术包括地震勘探、电磁勘探和重力勘探等，可以通过测量地下的物理参数来获取不同地理位置下矿产资源的信息.基于测量得到的物理参数，通过处理和分析，可以建立底下矿产资源的分布模型，进而指导开采活动. 在某个矿藏区域，通过前期的勘探活动，测得了某物理指标随着地理位置变化的数据，如下表所示.其中表示采样点距离矿藏中心标记点的距离，表示物理指标的数值.
（1）根据矿藏分布可能的物理情况，数据分析人员估计物理指标随着变化的模型可能为两种，分别是①，②，请根据表格中的数据，在答题卡中绘制散点图，简要分析此矿藏区域应该用哪一个模型来估计物理指标随着变化的趋势.
（2）根据（1）中的结论，选取表格中，的两组数据，建立数学模型描述物理指标随着变化的趋势.根据既往经验，当物理指标低于时，则不具备开采条件，请问正整数的范围应该如何选取，方能保证范围内所有区域都具备开采条件.
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据表格数据绘制散点图，由数据的变化趋势选择合适的模型即可；
（2）根据（1）所选模型结合数据求出解析式，由模型的单调性求正整数的范围.
【小问1详解】
根据题设表格数据，散点图如下，
由于随变大的递减趋势变缓，应选模型（2）来估计物理指标随着变化的趋势.
【小问2详解】
依题意知，，解得，
随变化的趋势可表示为，在定义域内单调递减.
又时，时，
正整数的范围为.
18. （1）已知，且，请证明：.
（2）已知，，且，请证明：与至少有一个大于.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）采用分析法证明，先假设，得到，再由不等式的性质变形后把代入，然后两边平方即可；
（2）采用反证法，假设，由不等式的性质得到，与题干矛盾即可；
【详解】（1）证明：若，则，，不合题意，.
要证，只需证，
又，只需证，
即，只需证，只需证，
成立，原式成立.
（2）证明：假设，，，
，与矛盾，
假设不成立，与至少有一个大于.
19. 解关于的不等式：
（1）；
（2）
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）分，，三种情况讨论即可；
（2）由于，，，原不等式可化为，分和两种情况讨论即可.
【小问1详解】
若，原式为，解得，其解集为；
若，原式可化为，即，
，不等式的解集为；
若，原不等式可化为，其解集为.
综上所述：当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为.
【小问2详解】
依题意，，，
，
，
，
若，原式等价于，
其中，所以其解集为；
若，原式等价于，
其中，所以其解集为.
1
2
3
4
5
6
5.7
4.0
2.8
2.0
1.4
1.0