浙江省杭州市某校2024-2025学年高一上学期第二次月考数学（实验班）试题（Word版附解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解对数不等式和分式不等式得到，利用交集概念求出答案.
【详解】，
解得或，
故或，
又，
所以.
故选：D
2. 如图，在中，设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合图形由向量的线性运算可得.
【详解】因为，
所以，，
又因为，
所以，
所以，
故选：C.
3. 某产品的总成本ｙ（万元）与产量ｘ（台）之间的函数关系是ｙ＝３０００＋２０Ｘ－０．１（０＜ｘ＜２４０，ｘＮ），若每台产品的售价为２５万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（ ）
A. １００台B. １２０台C. １５０台D. １８０台
【答案】C
【解析】
【详解】主要考查二次函数模型的应用．
解：依题意
利润0，整理得，解得
，又因为X∈（0，240），所以最低产量是150台．
4. 已知函数，其中，若函数为幂函数且其在(0,+∞)上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂函数的概念和性质列式可解得.
【详解】因为函数为幂函数,所以,所以,
又因为函数在(0,+∞)上是单调递增函数,所以,
所以,
因为,所以.
当 时,函数 为奇函数,不合题意,舍去.
当 时.为偶函数,符合题意.
所以.
故选 .
【点睛】本题考查了幂函数的概念和性质.属基础题.
5. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解法1：根据向量坐标表示与运算求解；解法2：结合图形处理问题.
【详解】解法1：因为，，
则在上的投影向量为.
解法2：因为，
由图可得，在轴上的投影数量为，则在上的投影向量.
故选：B.

6. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简，结合特殊角的三角函数值求出即可得解.
【详解】由，得，即，
由，得，则，即，
所以.
故选：B
7. 在中，是边上的点，且为的外心，则（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设外接圆的半径为，由向量的三角形法则，以及向量的数量积的定义，结合等腰三角形的性质，即可得到．
【详解】解：因为，则是的中点，所以，
设外接圆的半径为，
所以
．
故选：B．
8. 我们知道，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数的对称中心为，且与函数的图象有且仅有一个交点，则k的值为（ ）
A. B. C. 16D. 22
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得是奇函数，利用奇函数的定义计算出，然后由函数的图象与有且仅有一个交点可得有且仅有一个解，计算判别式即可
【详解】由题意可得的对称中心为等价于是奇函数，
因为
所以，解得，
所以，
因为函数的图象与有且仅有一个交点，
所以，即有且仅有一个解，
，解得.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. B. 若且，则
C. 若非零向量且，则D. 若，则有且只有一个实数，使得
【答案】AC
【解析】
分析】
根据相反向量的概念，可得A正确；根据向量共线可得B错；根据向量数量积运算，可得C错；根据向量共线基本定理，可得D错.
【详解】由，互相反向量，则，故A正确；
由且，可得或，故B错；
由，则两边平方化简可得，所以，故C正确；
根据向量共线基本定理可知D错，因为要排除为零向量.
故选：AC.
【点睛】本题主要考查共线向量、相反向量，以及向量数量积的运算等知识，属于基础题型.
10. 设函数，其中表示，，中的居中者.下列说法正确的有（ ）
A. 只有一个最小值点B. 的值域为
C. 为偶函数D. 在0,1上单调递减
【答案】BCD
【解析】
【分析】先画出、与的图象，根据函数定义确定函数的图象，结合图象逐项判断即可.
【详解】由已知在同一坐标系中分别画出、与的图象（虚线），
根据表示，，中的居中者知函数的图象（实线）如图：

对于A，由图知当时，取到最小值，所以有两个最小值点，错误；
对于B，由图知，函数的值域为，正确；
对于C，由图知，函数的图象关于轴对称，
又函数的定义域为R关于原点对称，所以函数为偶函数，正确；
对于D，由图知，函数在0,1上单调递减，正确.
故选：BCD
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为B. 函数在上单调递增
C. 为函数的一条对称轴D. 函数在上有且仅有3个零点
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数周期性的定义可判断A；根据复合函数单调性的判断方法可判断B；根据函数对称轴的性质可判断C；求出函数在上的零点可判断D.
【详解】因为时，，
即不是函数的周期，则函数的最小正周期不是，A错误；
函数，
当时，设，此时函数为增函数，
而在上单调递增，
而可看作由和复合而成，
故函数在上单调递增，B正确；
因，即，
所以为函数的一条对称轴，C正确；
由于，令，即，
即，即，
可得或，
当时，由 可得或，
由，可得，
故函数在上有且仅有3个零点，D正确，
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数的图象在上恰有四个对称中心，则的取值范围为_________________.
【答案】.
【解析】
【分析】结合题意，根据正弦函数的对称中心列出不等式求解即可.
【详解】由，则，
因为函数在上恰有四个对称中心，
所以，解得，
即的取值范围为.
故答案为：.
13. 已知函数，关于的不等式对任意的恒成立，则实数m的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据奇偶性以及单调性，将问题转化成对任意的，恒成立，结合二倍角公式以及三角函数的值域即可最值进行求解.
【详解】由于，所以为奇函数，且由， 单调递增，故 在定义域内单调递增，故，
因此，由于，所以 ，因此 ，故对任意的，恒成立，由余弦的二倍角公式可得，所以 恒成立即可，故，
故答案为：
14. 若实数满足，则的最大值为________．
【答案】3
【解析】
【分析】利用基本不等式计算可得；
【详解】解：
，当且仅当时等号成立，
∴的最大值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）若是正常数，，求证： (当且仅当时等号成立)．
（2）求函数的最小值，并求此时的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）最小值49，.
【解析】
【分析】
（1）先将乘以展开，拼凑“积定”使用基本不等式，即得结果.
（2）利用（1）的结论求最小值即可.
【详解】（1）
，当且仅当时，即时等号成立.
（2），当且仅当时，即时等号成立.
【点睛】利用基本不等式求最值时，“积定和最小，和定积最大”，但是一定要注意取等号条件的成立.若没有定值，有时需要妙乘一个因子拼凑定值后使用基本不等式.
16. 已知
（1）求的最值； （2）是否存在的值使？
【答案】（1）最大值为， 最小值为；（2）或.
【解析】
【分析】（1）利用平面向量数量积公式，结合两角和的余弦公式、二倍角的余弦公式可得，换元后利用导数可得结果；
（2）两边平方，结合（1）可得，根据，列不等式求解即可.
【详解】（1）由已知得：，
，
，
令，
，令，
而，
为增函数，最大值为， 最小值为，
的最大值为， 最小值为.
（2）假设存在的值满足题设，即，
，
即 ，
当 时，上式不成立；
故当时，，
，
，
或.
17. 已知函数，其最小正周期与相同.
（1）求单调减区间和对称中心；
（2）若方程在区间[0，]上恰有三个实数根，分别为，求的值.
【答案】（1）函数的单调递减区间为，对称中心为
（2）
【解析】
【分析】（1）由函数的周期求得，结合正弦函数的性质，用整体代换法求得单调减区间和对称中心；
（2）求得的范围，由正弦函数性质得的解满足的性质：，，然后转化为的关系，再计算函数值．
【小问1详解】
∵的最小正周期为π，
∴，
∴，
∴，
由，得，
由得，
综上，函数的单调递减区间为，对称中心为.
【小问2详解】
由得，设，则有三个实根，
由正弦函数的性质可得，，
∴，，
∴
18. 设函数的定义域为D，若存在，使得成立，则称为的一个“不动点”，也称在定义域D上存在不动点.已知函数.
（1）若函数在区间上存在不动点，求实数a的取值范围；
（2）设函数，若，都有成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题可得在[0，1]上有解，令，可得在[1,2]上有解，分离参数即可求解；
（2）将问题转化为，利用单调性求出的最值，令，，可得恒成立，分离参数求解即可.
【小问1详解】
由题意知，即在[0，1]上有解，
令，，则，则在[1,2]上有解，
则，
当时，在递减，在递增，则
则，即，
故实数a的取值范围为.
【小问2详解】
，即，
则
又在[－1,0]上是减函数，
则，
∴，
令，，则，，
则
又在上递增，则，又
∴，
∴，
∴实数a的取值范围为.
【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
19 设集合，且P中至少有两个元素，若集合Q满足以下三个条件：
①，且Q中至少有两个元素；
②对于任意，当，都有；
③对于任意，若，则；
则称集合Q为集合P的“耦合集”．
（1）若集合，求集合P1的“耦合集”；
（2）集合，且，若集合存在“耦合集”．
（i）求证：对于任意，有；
（ii）求集合的“耦合集”的元素个数．
【答案】（1）或或
（2）（i）证明见详解；（ii）5
【解析】
【分析】（1）根据题意直接运算求解即可；
（2）（i）根据②可得的可能元素，再结合③分析证明；（ii）根据题意分析可知，同理可得，结合题意分析求解即可.
【小问1详解】
由已知条件②得：的可能元素为：6，8，10；
检验可知均满足条件③，所以，
检验可知：或也符合题意，
所以或或.
【小问2详解】
（ⅰ）因为，，
由已知条件②得的可能元素为：，
由条件③可知，且，
可得，
同理可得，
所以对于任意，有；
（ⅱ）因为，由（ⅰ）可知：，
则，即，
同理可得：，则，
又因为的可能元素为：，
即，
假设还存在其他元素，
因为，可知，
由集合性质可知：或，
则或，
即或，假设不成立，
所以不存在其他元素，所以共5个元素.
【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，对于本题解题关键是正确理解“耦合集”的定义.