浙江省宁波市余姚中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 是双曲线上一点，点分别是双曲线左右焦点，若，则（ ）
A. 9或1B. 1C. 9D. 9或2
2. 在各项均为正数的等比数列中，，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 2
3. 若动点Px,y满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
4. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（ ）
A B. C. D.
5. 已知直四棱柱，底面为矩形，，，且，若点到平面距离为，则点到直线的距离为（ ）
A B. C. D.
6. 长方体，，，动点满足，，则二面角的正切值的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为12cm，开口直径为8cm，旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于（ ）

A B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知曲线，下列结论正确的是（ ）
A. 当时，曲线是一条直线
B. 当时，曲线是一个圆
C. 当曲线是圆时，它的面积的最小值为
D. 当曲线是面积为的圆时，
10. 已知椭圆C：的左右焦点分别为，点P是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（ ）
A. 的周长为6
B. 若，则的面积为
C. 椭圆C上存在两个点，使得
D. 的最小值为
11. 称为点的“和”，下列说法正确的是（ ）
A. “和”为1的点的轨迹围成的图形的面积为2
B. 设是直线上任意一点，则点的“和”的最小值为2
C. 设是直线上任意一点，则使得“和”最小的点有无数个的充要条件是
D. 设是椭圆上任意一点，则“和”的最大值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知数列的前n项和为，则__________
13. 如图，两个正方形ABCD，CDEF的边长都是2，且二面角为60°，M，N为对角线AC和FD上的动点，且满足，则线段MN长的最小值为__________．
14. 已知双曲线，若双曲线不存在以点为中点弦，则双曲线离心率的取值范围是__________________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在等差数列中，的前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）求取最大值时的值；
（3）设，求．
16. 已知数列满足.
（1）求证：为等比数列；
（2）求数列的前项和.
17. 如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．
（1）证明：；
（2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
18. 已知是抛物线的焦点，是上在第一象限的一点，点在轴上，轴，，．
（1）求的方程；
（2）过作斜率为的直线与交于，两点，的面积为（为坐标原点），求直线的方程．
19. 已知平面上动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，动点的轨迹为曲线.直线与曲线交于两个不同的点.
（1）若直线的方程为，求的面积；
（2）若的面积为，证明：和均为定值.