浙江省温州市环大罗山联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

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考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
2. 在正方体中，是BD的中点，则直线和夹角的余弦值为（）
A. B. C. D.
3. 设，则“”是“直线与直线平行”的（）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知正四面体棱长为2，E是的中点，F是的三等分点（靠近A点），用空间向量表示，则（）
A. B.
C. D.
5. 已知、是椭圆长轴的两顶点，是椭圆上的一点，直线与斜率之积，则此椭圆的离心率取值范围是（）
A. B. C. D.
6. 直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）
A. B. C. D.
7. 《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，为直线CP上的动点，，，若平面，则（）

A. B. C. D.
8. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为8，M为母线PB的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为（）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知圆和圆，以下结论正确的是（）
A. 若和只有一个公共点，则
B. 若，则和关于直线对称
C. 若和外离，则
D. 若，则和内含
10. 在空间直角坐标系中，已知，，，，则以下正确是（）
A.
B. 夹角的余弦值为
C. 共面
D. 点到直线AB的距离是
11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（）
A. B.
C. D. 与之间距离为4
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知空间向量，，则向量在向量上投影向量的坐标是__________．
13. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．
14. 如图，正方形和正方形的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的平面角，M，N分别是，上的动点，，则的最小值是__________．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，直三棱柱中，，，是的中点，N是AC的中点．

（1）证明：直线直线BC；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值．
16. 已知双曲线：的一个焦点为，一条渐近线方程为，为坐标原点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求弦长.
17. 已知抛物线的焦点到准线的距离为．
（1）求的方程；
（2）已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线斜率的最大值．
18. 如图，矩形中，，，，将沿直线DE翻折成，若M为线段点，满足，设二面角的平面角为．
（1）求证：直线平面；
（2）当为直角时，求点到平面的距离；
（3）在翻折过程中（点不在平面内），求线段长的取值范围．
19. 已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点，且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于，垂足为点，线段的垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；
（3）设与轴交于点，在曲线上是否存在一点，使得以为直径的圆与有除、外的公共点，若存在求出的取值范围；若不存在，请说明理由．