中考数学二轮复习几何模拟专项讲练模型20 轴对称——婆罗摩笈多模型（2份，原卷版+解析版）

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一、垂直 中点
【结论1】如图，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，MN经过点B，
若MN⊥CE，则①点N是AD的中点，②S＝S，③CE＝2BN.

【证明】如图，（知垂直得中点，一线三垂直）

过A作AP⊥MN，垂足为P，过D作DQ⊥MN交MN的延长线于Q，
易证：△ABP≌△BCM,AP＝BM,△DQB≌△BME,DQ＝BM
∴AP＝DQ
易证：△APN≌△DQN
∴AN＝DN
②如图，由①知，S＝S ，S＝S，S＝S
∴S＝S＋S＝S＋S＋S－S
＝S＋S＝S＋S＝S,即S＝S，得证.
③如图，由①得，PN＝QN，
∴CE＝CM＋EM＝BP＋BQ＝BN－NP＋BN＋QN＝2BN，得证.
二、中点 垂直
【结论2】如图，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，点P是CE的中点，PB的延长线交AD于点Q，则①PQ⊥AD，②S＝S,③AD=2BP

【证明】如图，（知中点得垂直，倍长中线）
证明：延长BP至点M，使PM＝BP，连结ME，
易证：△PBC≌PME
∴BC＝ME，BC∥ME
∵AB＝AC
∴AB＝EM，
∵BC∥ME，
∴∠CBE＋∠BEM＝180°，
又∵∠ABC＝∠DBE＝90°
∴∠CBE＋∠ABD＝180°，
∴∠ABD＝∠MEB，
易证：△ABD≌△MEB，
∴∠2＝∠1，
∵∠1＋∠3＝90°
∴∠2＋∠3＝90°
∴∠DQP＝90°
②如图，由①知S＝S＋S＝S＋S＝S＝S,得证.
③如图，由①知AD＝MB＝2BP，得证。
婆罗摩笈多定理：
若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。这个定理有另一个名称，叫做“布拉美古塔定理”
（又译“卜拉美古塔定理”）。


拓展1：如图，△AOB和△COD是等腰直角三角形，MN过点O，
⑴若MN⊥AD，则点M是BC的中点，②S＝S，③AD＝2OM.
⑵若M是BC的中点，则①MN⊥AD，②S＝S，③AD＝2OM.

拓展2：如图，△AOB和△COD是等腰三角形，∠AOB＋∠COD=180º，MN过点O.N在AD延长线上.
⑴若∠ANM＝∠AOB，则M是BC的中点，②S＝S，③AD＝2OM.
⑵若M是BC的中点，则②∠ANM＝∠AOB，②S＝S，③AD＝2OM.

拓展3：如图，△AOB≌△COD且∠AOB＝∠COD=180º，MN过点O.
⑴若M是BC的中点，则①AD＝2OM，②S＝S.
⑵若N是AD的中点，则①BC＝2ON，②S＝S.

拓展4：如图，在△AOB、△COD中，，且∠AOB＋∠COD=180º，则S＝S.


1．（江西省南昌市第十九中学2019-2020学年八年级上学期第一次月考数学试题）如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，
求证：DE＝2AM.
1．（河北省石家庄市石家庄外国语学校2019-2020学年八年级上学期期末数学试题）阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题”
如图1，，其中，，此时，点与点重合，
操作探究1:（1）小凡将图1中的两个全等的和按图2方式摆放，点落在上，所在直线交所在直线于点，连结，求证：．
操作探究2:（2）小彬将图1中的绕点按逆时针方向旋转角度，然后，分别延长，，它们相交于点．如图3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答：
①时，求证：为等边三角形；
②当__________时，．（直接回答即可）
操作探究3:（3）小颖将图1中的绕点按顺时针方向旋转角度，线段和相交于点，在操作中，小颖提出如下问题，请你解答：
①如图4，当时，直接写出线段的长为_________．
②如图5，当旋转到点是边的中点时，直接写出线段的长为____________．
2．（重庆市沙坪坝区第一中学校2021-2022学年九年级下学期5月月考数学试题）已知，，，点线段中点，连接．为平面内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
(1)如图1，当点在线段上时，线段与线段交于点，若，，求的面积；
(2)如图2，若点在的内部连接、，线段交线段于点，当时，
求证：；
(3)如图3，过作的平行线，交直线于点．连接．将沿翻折得到，当线段最短时，直接写出此时的值．
1．（2021年四川省达州市开江县永兴中学中考数学模拟试题）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B'C'，当a+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”．
(1)[特例感知]在图2，图3中，△AB'C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形，且BC＝6时，则AD长为 ．
②如图3，当∠BAC＝90°，且BC＝7时，则AD长为 ．
(2)[猜想论证]在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明思路，可以考虑延长AD或延长B'A，…）
(3)[拓展应用]如图4，在四边形ABCD中，∠BCD＝150°，AB＝12，CD＝6，以CD为边在四边形ABCD内部作等边△PCD，连接AP，BP．若△PAD是△PBC的“旋补三角形”，请直接写出△PBC的“旋补中线”长及四边形ABCD的边AD长．
2．（2020年湖北省随州市曾都区九年级升学适应性考试数学试题）我们定义：如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”．
【特例感知】
（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．
①如图2，当为等边三角形，且时，则长为 ．
②如图3，当，且时，则长为 ．
【猜想论证】
（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明思路，可以考虑延长或延长，……）
【拓展应用】
（3）如图4，在四边形中，，，，以为边在四边形内部作等边，连接，．若是的“旋补三角形”，请直接写出的“旋补中线”长及四边形的边长．