人教版（2024）八年级下册17.1 勾股定理精品练习题

这是一份人教版（2024）八年级下册17.1 勾股定理精品练习题，文件包含人教版数学八下培优训练专题174勾股定理与网格问题重难点原卷版doc、人教版数学八下培优训练专题174勾股定理与网格问题重难点解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单选题
1．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，每个小正方形的边长为1，若A、B、C是小正方形的顶点，则度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，继而可得出的度数．
【详解】解：根据勾股定理可得：
，，
，即，
是等腰直角三角形．
．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．
2．（2022春·山西运城·八年级统考期末）如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，则边长的高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理解答即可．
【详解】解：，
，
边长的高，
故选：C．
【点睛】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么解答．
3．（2022春·陕西西安·八年级西安市第二十六中学阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C均在正方形格点上，则C点到AB的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接、，利用割补法求出，根据勾股定理求出，设C点到的距离为h，根据，即可求出h的值．
【详解】解：如图，连接、，
，
，
设C点到的距离为h，
∵，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了三角形的面积和二次根式的运算．
4．（2022春·福建莆田·八年级统考期中）如图，边长为1的正方形网格图中，点A，B都在格点上，若，则BC的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理求得的长度，然后根据线段的和差即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，二次根式的减法，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5．（2022·八年级单元测试）如图，在由单位正方形组成的网格图中标有四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设出正方形的边长，利用勾股定理，解出各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．
【详解】解：设小正方形的边长为1，
则，，，，
因为，
所以能构成一个直角三角形三边的线段是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
6．（2021秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，在中，，，，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用勾股定理求解出每条边的长度比较即可．
【详解】解：设正方形网格的边长为1，利用勾股定理得：
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理求边长．
7．（2022春·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图．每个小正方形的边长为1，格点线段与交于点，与交于点，连接．有下列结论①；②；③；④；⑤；⑥的面积为0.75．其中正确的结论有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】B
【分析】先证明，再逐个选项推理即可．
【详解】如图，
由图可得，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵中，
∴，
∴，故③错误；
∵，，
∴，故④错误；
连接，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，故⑤正确；
∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴的面积为0.75，故⑥正确；
综上所述，正确的有①②⑤⑥；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质，掌握这些性质是解决问题的关键．
8．（2022春·安徽·八年级校考期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如图，连接，利用勾股定理求得即可求解．
【详解】解：如图，连接，则，
∵，，
∴在中，由勾股定理得：
，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理，求出DE的长是解答的关键．
9．（2022·全国·八年级专题练习）在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的格点应是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
【答案】A
【分析】根据勾股定理与网格得出，证明，根据全等三角形的对应角相等即可求解．
【详解】解：如图，连接，
根据网格得出，
在与中
∴ ，
∴，
∴
即平分
∴到两边距离相等的格点应是点，
故选A
【点睛】本题考查了角平分线的性质，网格与勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明平分是解题的关键．
10．（2022春·辽宁辽阳·八年级校考阶段练习）如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】延长到点，使得，连接，根据勾股定理的逆定理可得为等腰直角三角形，即可求解．
【详解】解：延长到点，使得，连接，如下图：
由勾股定理得：，，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形外角的性质，解题的关键是利用相关性质，构造出等腰直角三角形，正确进行求解．
二、填空题
11．（2022春·江苏扬州·八年级校考期中）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，点A、、是小正方形的顶点，则的度数为________．
【答案】
【分析】连接根据勾股定理求出，，，根据勾股定理逆定理得到，即可得到答案．
【详解】解：连接，由题意可得，
，，，
∴，，
∴，
∴ ，
故答案为．
【点睛】本题考查勾股定理与勾股定理逆定理及等腰三角形性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是根据勾股定理求出，，，得到．
12．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，各顶点均在网格的格点上，于点D，则的长为_____．
【答案】2
【分析】由勾股定理可求的长，由勾股定理的逆定理可证，由面积法可求解．
【详解】解：由题意可得：，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理，三角形的面积公式，证明是解题的关键．
13．（2021春·四川成都·八年级成都外国语学校校考期中）如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是4×4的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为 ___________．（可以用含根号的式子表示）
【答案】
【分析】先根据勾股定理求出的长，即为的长，再根据两点间的距离公式便可求出的长，则可得出答案．
【详解】解：由勾股定理可得，，
则，
∵点表示的数是1，
∴，
∴点所表示的数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，掌握两点间的距离公式为：两点间的距离＝较大的数较小的数，是解题的关键．
14．（2022春·湖北荆州·八年级统考期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点O，A，B，C在网格的交点（格点）上，点，在第三象限内的格点上找一点D，使与全等，则点D的坐标为______．
【答案】
【分析】根据网格及勾股定理确定点D的位置，然后读出点的坐标即可．
【详解】解：如图所示，
，，AB=AB，
∴ ，
故点，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查坐标与图形，全等三角形的判定，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
15．（2022春·福建宁德·八年级统考期中）如图，在的方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，下列结论正确的有_____（填写序号）．
①的形状是直角三角形；
②的周长是；
③点B到边的距离是2；
④若点D在格点上（不与A重合），且满足，这样的D点有3个不同的位置．
【答案】①②③
【分析】根据勾股定理求出、、的长，即可判断②，再根据勾股定理的逆定理即可判断①，根据三角形面积公式即可判断③和④．
【详解】由勾股定理得： ， ， ＝，
，
的形状是直角三角形，且，故结论①正确；
的周长是，故结论②正确；
设点B到边的距离是h，
由三角形面积公式得： ，
h ，故结论③正确；
，
∴D点到的距离等于A点到的距离，如图所示，
D点可以是直线m、n上的任意一点，
又∵点D在格点上（不与A重合），
∴这样的D点有 个不同的位置，故结论④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16．（2022秋·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考阶段练习）如图，在小正方形边长为1的方格中，以线段AB、BC、CD为边的三角形的面积为 _____．
【答案】
【分析】结合图形根据勾股定理求得线段AB、BC、CD的长度，从而得出BC2+DC2＝AB2，推出以线段AB、BC、CD为边的三角形是以线段AB为斜边的直角三角形，进而根据直角三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：在Rt△ABD中，AB，
同理，BC，DC2，
∵（）2+（2）2＝（）2，
即BC2+DC2＝AB2，
∴以线段AB、BC、CD为边的三角形是以线段AB为斜边的直角三角形，
∴该直角三角形的面积为：BC×DC2．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的面积，解题的关键是由三角形三边满足得出该三角形是个直角三角形，从而利用直角三角形的面积公式求解．
17．（2022秋·重庆武隆·八年级校考期中）如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为AB的中点，则线段CD的长为________
【答案】##
【分析】根据勾股定理列式求出AB、BC、AC，再利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：根据勾股定理，，
，
，
∵，
∴△ABC是直角三角形，
∵点D为AB的中点，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，勾股定理逆定理的应用，判断出△ABC是直角三角形是解题的关键．
18．（2022春·八年级课时练习）如图所示的网格是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，则的度数是______度．
【答案】
【分析】作C点关于AB的对称点E，连接DE，由对称性知≌，得到∠CAB＝∠BAE，再结合网格利用勾股定理得出AD，DE，AE的长，进而利用勾股逆定理解答即可．
【详解】解：作C点关于AB的对称点E，连接AE，DE，如图所示：
由对称性知≌，
∴∠CAB＝∠BAE，
在正方形网格，每个小正方形的边长均为1，
在Rt中，，由勾股定理得：，
在Rt中，，由勾股定理得：，
，
在Rt中，，由勾股定理得：，
∴，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝45°＝∠DAB＋∠BAE＝∠DAB＋∠CAB，
故答案为：45．
【点睛】本题考查网格中运用勾股定理、勾股逆定理及等腰直角三角形的判定与性质，关键是根据勾股定理得出AD，DE，AE的长解答．
19．（2022春·江苏常州·八年级统考期中）如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点，，为格点，点为与网格线的交点，则__________．
【答案】##45度
【分析】连接，，设与交于点，根据勾股定理的逆定理先证明是等腰直角三角形，从而可得，再根据题意可得，然后利用三角形的外角，进行计算即可解答．
【详解】解：如图：连接，，设与交于点，
由题意得：
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
，
是的一个外角，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、平行线的性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线．
20．（2022春·浙江舟山·八年级统考期末）在边长为1的网格图形中，以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向外作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，在图1所示的格点图形中，正方形ABCD的边长为，此时正方形EFGH的面积为52．写出正方形EFGH的面积的所有可能值是__________（不包括52）．
【答案】36或50
【分析】设图中四个全等的直角三角形的直角边的长分别为a，b，正方形EFGH的面积＝FE2＝（a+b）2，只要能把长为a和b的线段在网格中画出，并且线段的端点都在格点上即可，线段的端点在格点上时，还有两种可能，画出图形即可．
【详解】解：设图中四个全等的直角三角形的直角边的长分别为a，b，
则在Rt△AED中，不妨使ED＝b，AE＝a，AE2+ED2＝AD2＝（）2＝26，
∴a2+b2＝26，
∵FE＝FA+AE＝a+b，
∴正方形EFGH的面积＝FE2＝（a+b）2，
∴只要能把长为a和b的线段在网格中画出，并且线段的端点都在格点上即可，
∴线段的端点在格点上时，还有两种可能，
①a＝5，b＝1时，如图2，
此时正方形E'F'G'H'的面积为36，
②当a＝2，b＝3时，如图3，

此时正方形E'F'G'H'的面积为50，
故答案为：36或50．
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计、全等三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是清楚只要能把长为a和b的线段在网格中画出，并且线段的端点都在格点上．
三、解答题
21．（2022春·吉林长春·八年级期末）问题背景：在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．佳佳同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点．(即三个顶点都在小正方形的顶点处)．如图①所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．
(1)请你将的面积直接填写在横线上___________；
(2)在图②中画，使、、三边的长分别为、、；
(3)这个三角形的形状是____________．
【答案】(1)
(2)画图见解析
(3)直角三角形
【分析】（1）用一个长方形的面积分别减去三个三角形的面积可求出的面积；
（2）利用勾股定理和网格特点分别画出；
（3）根据勾股定理的逆定理证明此三角形为直角三角形．
【详解】（1）解：的面积；
故答案为：；
（2）如图，即为所求作的三角形；
（3）为直角三角形．
理由：∵ ，，，
∴，
∴为直角三角形，
故答案为：直角三角形．
【点睛】本题考考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，网格三角形面积的计算，画网格三角形，熟练的利用勾股定理画网格三角形是解本题的关键．
22．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）图1、图2分别是的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，A、B两点在格点上，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上．
(1)在图1中画一个，使为钝角等腰三角形，且的面积为10；
(2)在图2中画一个平行四边形ABEF，使其周长为
(3)在图2中连接BF，并直接写出BF的长，_________．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】（1）先根据面积，求出边上的高，再画出符合要求的图形即可；
（2）平行四边形ABEF的周长为，即可求出，依据勾股定理构造斜边为的直角三角形，即可画出图形；
（3）依据勾股定理求解即可
【详解】（1）解： 为钝角等腰三角形，且的面积为10，
边上的高，利用勾股定理构造图如下：
如图所示（答案不唯一）
故为钝角等腰三角形符合题意．
（2）解：平行四边形ABEF的周长为，

利用勾股定理构造图如下：
如图所示，符合题意．
故四边形是平行四边形，其周长为（答案不唯一）．
（3）解：如下图：
如图．
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形和等腰三角形的性质以及勾股定理及作图，属于基础题，熟练掌握等腰三角形的性质是关键．
23．（2022春·福建漳州·八年级漳州三中校考阶段练习）作图．网格中每个小正方形的边长都是1，
(1)在图1网格中作一个直角三角形，使它的三边长都是整数；
(2)在图2网格中作一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；
(3)在图3网格中作一个钝角三角形，使它的面积等于6．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据题意作出相应三角形即可；
（2）根据题意作出相应三角形即可；
（3）根据题意作出相应三角形即可．
【详解】（1）解：如图所示，，，
∴即为所求；
（2）如图所示：，，，
∵，
∴为直角三角形，符合题意；
（3）如图所示，且边上的高为4，
∴的面积为：，
∴即为所求．
【点睛】题目主要考查勾股定理与网格问题，理解题意，根据勾股定理作出相应三角形是解题关键．
24．（2022春·江西吉安·八年级统考期中）图1、图2是两张形状大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在小正方形的顶点上，请仅用无刻度的直尺在网格内完成下列作图：
(1)如图1，请以线段为斜边作等腰直角；
(2)如图2，请以线段为底边作等腰，且使得腰长为有理数；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）如图所示，取格点C，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形即可；
（2）如图证明是线段的垂直平分线，从而推出，在利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：如图所示，即为所求；
由（1）得，
∵F是的中点，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴即为所求．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定等，灵活运用所学知识是解题的关键．
25．（2022春·浙江宁波·八年级校联考期中）在如图所示的的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．
(1)请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形；
(2)请你在图2中画一个以格点为顶点，一条直角边边长为的直角三角形；
(3)请你在图3中画出的边上的高，的角平分线．
【答案】(1)图形见解析；
(2)图形见解析；
(3)图形见解析．
【分析】（1）利用数形结合的思想，根据三角形面积确定底为4，高为3，再利用垂直平分线的性质，即可作出等腰三角形；
（2）利用数形结合的思想，根据勾股定理构造直角边边长为的直角三角形即可；
（3）根据三角形的高和角平分线的定义，画出图形即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作；
（2）解：如图，即为所求作；
（3）解：线段、，即为所求作．
【点睛】本题考查了作图—设计作图，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的高以及角平分线的性质，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
26．（2022春·山西运城·八年级统考期中）综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然．
(1)请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．
(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为______．
(3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证；
（2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高；
（3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可；
【详解】（1）证明：∵，，，
∴
∴
∴
（2），
，
，
即AB边上的高是
（3）解：在中，由勾股定理得
∵，
∴
在中，由勾股定理得
∴，
∴
【点睛】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形DEF是解本题的难点．
27．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）作图：
(1)如图1，在边长为1的正方形网格中：
①画出关于直线l轴对称的（其中分别是的对应点）；
②直接写出中边上的高=___________．
(2)如图2，在四边形内找一点，使得点到的距离相等，并且点到点的距离也相等．（用直尺与圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】(1)①见解析，②
(2)见解析
【分析】（1）①分别作出点，，关于直线的对称点，再顺次连接即可；②求得的面积，勾股定理求得的长，即可求解；
（2）作的角平分线，作线段的垂直平分线，交点即为点．
【详解】（1）解：①如图即为所求的三角形；
②，
由勾股定理可得：，
中边上的高，
故答案为：
（2）作的角平分线和线段的垂直平分线，其交点即为所求的点，如下图：
【点睛】此题主要作图轴对称变换，关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置及轴对称变换的性质，割补法求三角形的面积，勾股定理，也考查了角平分线与中垂线的尺规作图与性质．
28．（2022春·江苏无锡·八年级无锡市天一实验学校校考期中）在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．
(1)的面积为______．
(2)若的三边、、长分别为，，，请在图2的正方形网格中画出相应的，并求出的面积为______．
(3)在中，，、，以为边向外作（D与C在异侧），使为等腰直角三角形，则线段的长为______．
【答案】(1)；
(2)图见解析，5；
(3)．
【分析】（1）利用割补法求的面积即可；
（2）利用割补法求的面积即可；
（3）画出符合题意的图形，运用勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）解：如图：将填补成梯形，
则．
故答案为：
（2）解：如图所示：
同（1）中的方法，将填补成梯形，
∴．
故答案为：5
（3）解：∵，、，
∴，即是直角三角形，
∵D与C在异侧，
∴点D如图：
此时，，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查网格问题，解题的关键是掌握割补法求三角形面积，以及勾股定理，结合图形进行求解．
29．（2022春·北京昌平·八年级统考期中）数学王老师组织了“探究”的活动，下面是同学们的探究过程：
(1)到底有多大？
下面是小明探究的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形边长是，且设，画出如下示意图：
由面积公式，可得______
因为x的值很小，所以更小，略去，得方程______，
解得______（保留到0.001），
即______．
(2)怎样画出？
下面是小亮探索画的过程，请补充完整：
现在有2个边长为1的正方形，如图（1），请把它们分割后拼成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格中画出拼接成的新正方形．
小亮的做法是：设新正方形的边长为，割补前后图形的面积相等，则，结合实际解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中画出拼接成的新正方形．
请参考小亮的做法，现有5个边长为1的正方形，如图（3），请把它们分割后拼成一个边长为的新的正方形，在图（4）中画出即可．
【答案】(1)，；；
(2)图见详解
【分析】（1）根据完全平方公式，以及解一元一次方程进行计算即可求解；
（2）根据勾股定理求得长为，的线段，根据网格的特点画出正方形即可求解．
【详解】（1）解：图中大正方形的边长是，面积为：，
大正方形的面积还可以表示为：
，
略去得：，
故答案为：，；；；
（2）小亮同学的做法图示为：
【点睛】本题考查了完全平方公式，解一元一次方程，勾股定理与网格问题，掌握勾股定理与无理数是解题的关键．
30．（2022春·陕西西安·八年级统考期中）
(1)问题背景：在中，、、三边的长分别为、、，求此三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求的高而借用网格就能计算出它的面积请你将的面积直接填写在横线上______．
(2)思维拓展：我们把上述求面积的方法叫做方格构图法．如果三边的长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积；
(3)探索创新：若三边的长分别为，，（，，且），试运用构图法在图③网格中画出相应的示意图，并求出这个三角形的面积．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)，见解析
【分析】(1) 计算即可．
（2）根据、、，画图计算即可
（3）设小矩形的长为m，宽为n，根据题意，、、，画图计算即可．
【详解】（1）根据提意思，得
=．
故答案为：．
（2）根据题意，得、、，画图如下：
根据题意，
=．
（3）设小矩形的长为m，宽为n，根据题意，、、，画图如下：
根据题意，
=．
【点睛】本题考查了网格上的三角形，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．