福建省泉州市永春三中片区2024—2025学年上学期八年级期中数学试卷 -A4

这是一份福建省泉州市永春三中片区2024—2025学年上学期八年级期中数学试卷 -A4，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在实数2，0，，，，…每两个1之间依次多1个中，无理数的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
3.下列命题是假命题的是( )
A. 对顶角相等B. 等角的补角相等
C. 有理数包含正有理数、负有理数D. 两点之间，线段最短
4.下列整式的乘法计算中能运用平方差公式计算的是( )
A. B. C. D.
5.已知，求代数式的值为( )
A. 0B. 4C. 5D.
6.若分解因式的结果是，则的值为( )
A. 3B. C. 1D.
7.如图，在中，，AE是经过点A的一条线段，且B，C在AE的两侧，于点D，于点E，若，，则DE的长是( )
A. 5
B.
C. 6
D. 7
8.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形如图甲，把余下的部分拼成一个矩形如图乙，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式( )
A. B.
C. D.
9.，，，则x、y、z的大小关系是( )
A. B. C. D.
10.在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记…；
…，已知，则m的值是( )
A. 40B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.的立方根是______.
12.计算______.
13.已知：a，b，c都是正整数，且，的最大值为M，最小值为N，则______.
14.若的展开式中不含x的二次项，则m的值是______.
15.若代数式是一个完全平方式，则______.
16.如图，在等边中，点D为线段BC上一点不含端点，AP平分交BC于点E，PC与AD的延长线交于点F，连接EF，且，以下结论：①；②≌；③连接PB，；④，其中正确的有______请写序号
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
计算：
18.本小题8分
分解因式：
；
19.本小题8分
先化简，再求值，，其中，
20.本小题8分
如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，，；
求证：
21.本小题8分
已知代数式，，ab之间存在这样的等量关系：
；
根据这个等量关系，解决下列问题；
已知，，求ab的值；
已知，求的值.
22.本小题10分
阅读材料：我们可以发现：当，时，有，，当且仅当时取等号.请利用上述结论解决以下问题：
当时，的最小值为______；当时，的最大值为______.
当时，求的最小值.
如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，、的面积分别为9和16，求四边形ABCD面积的最小值.
23.本小题10分
小明在学习配方法时，将关于x的多项式配方成，发现当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的.例如：当时，即或时，的值均为6；当时，即或时，的值均为
于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对偶，例如关于对偶.
请你结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
多项关于______对偶；
当或时，关于x的多项的值相等，求b的值；
若整式关于对偶，求n的值.
24.本小题12分
一般地，n个相同的因数a相乘…，记为，其中a称为底数，n称为指数；若已知，易知，若，则该如何表示x？一般地，如果且，那么x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．如，则4叫做以3为底81的对数，记为；故中，
熟悉下列表示法，并填空：
，
，
，
，
，
，
，
______，计算：______；
观察中各个对数的真数和对数的值，我们可以发现______；用对数表示结果
于是我们猜想：______且，，请你请根据幂的运算法则及对数的含义证明你的结论；
根据之前的探究，直接写出______.
25.本小题14分
如图1，和都是等边三角形，且B、C、D三点共线，连结AD、BE相交于点P，求证：
如图2，在中，，分别以BC、CD和BD为边在外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，连结AD、BE和CF交于点P，下列结论中：①；②；③正确的是______只填序号即可；
如图2，把的条件和正确结论作为条件，求证：
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：是无理数；
是无理数，
2，0，是整数，属于有理数，
…每2个1之间依次多一个是无限不循环小数，属于无理数，
无理数有，，…每2个1之间依次多一个，共3个．
故选：
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
2.【答案】B
【解析】解：A、，故选项不符合题意；
B、，故选项符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，故选项不符合题意；
故选：
根据合并同类项、幂的乘方与积的乘法和同底数幂乘法法则求解判断即可．
本题主要考查了合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂乘法，熟知相关计算法则是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、对顶角相等，正确，为真命题；
B、等角的补角相等，正确，为真命题；
C、有理数包括正有理数、负有理数和0，故错误，是假命题；
D、两点之间，线段最短，正确；
故选
利用对顶角的性质、补角的定义、有理数的定义及基本数学事实分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、补角的定义、有理数的定义及基本数学事实，难度不大．
4.【答案】C
【解析】解：没有相同项，不符合题意；
B.没有相反项，不符合题意；
C.，符合题意；
D.没有相同项，不符合题意．
故选：
平方差公式的特点是有一项完全相同，另一项互为相反项，根据公式的特点即可得到答案．
本题考查了平方差公式，熟记它的结构特点是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：由得：，
则
故选：
由得：，代入所求的代数式，然后进行化简即可求解．
本题考查了求代数式的值，正确记忆完全平方公式是关键．
6.【答案】B
【解析】解：
，
二次三项式可分解为，
，，
，
故选：
先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据已知条件求出m、n的值，最后求出答案即可．
本题考查了多项式乘以多项式法则和分解因式，注意：分解因式的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法等．
7.【答案】C
【解析】解：于D，
，
，
，
在和中，
，
≌，
故选：
先证明≌，再结合三角形全等性质可得
本题考查了直角三角形全等的判定方法；根据三角形全等，将DE转化为BD和CE的差来解答．利用等角的余角相等是证明全等的关键．
8.【答案】C
【解析】解：图甲中阴影部分的面积，图乙中阴影部分的面积，
而两个图形中阴影部分的面积相等，
阴影部分的面积
故选：
第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于；第二个图形阴影部分是一个长是，宽是的长方形，面积是；这两个图形的阴影部分的面积相等．
此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．
9.【答案】A
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：
提取公因数求出x，将写成，再利用平方差公式进行计算，根据完全平方公式求出z，然后比较大小即可．
本题考查了平方差公式，完全平方公式和实数的大小比较，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方，本题难点在于对z的整理．
10.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
利用题中的新定义计算即可得到m的值．
【解答】
解：，
整理得：，
则
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了立方根的定义，属于基础题．
根据立方根的定义进行选择即可．
【解答】
解：，
的立方根是，
故答案为
12.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：
原式利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果．
此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13.【答案】3702
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，b，c都是正整数，
或或或，
，，或，，或，，或，，，
或，
即abc的最大值为2022，最小值为1680，即，，
，
故答案为：
由已知条件整理出，再利用因式分解法转化为求的正整数解，据此得到或或或，据此解得a的值，最后代入计算即可．
本题考查因式分解法、二元一次方程组的整数解等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：原式
，
结果中不含x的二次项，
，
解得：，
故答案为：
根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后再根据其展开式中不含x的二次项，及x的二次项系数之和为0，列方程求解．
本题考查多项式乘多项式，理解多项式乘多项式的运算法则以及结果中不含x的二次项即二次项系数和为0是解题关键．
15.【答案】或10
【解析】【分析】
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
【解答】
解：代数式是一个完全平方式，
或
故答案为或
16.【答案】①③④
【解析】解：，
，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，；
故①正确；
是等边三角形，
，
，
，
与不全等，
故②不正确；
是等边三角形，
，，
，
，
是等腰三角形，
设，则，
在中，，
又，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故③正确；
延长CP至点M，使，连接BM、BP，如图：
≌，
，，
，，
是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌，
故④正确．
故答案为：①③④．
由已知证出，，证明≌，即可得出，可判断①；
证出，则可判断②；
由等边三角形的性质得出，，证出，是等腰三角形，设，则，求出，由三角形的外角性质得出，求出，证明≌，得出，可判断③；
延长CP至点M，使，连接BM、BP，证出是等边三角形，得出，，再证明≌，即可得出结论④．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
17.【答案】解：

【解析】根据乘方、算术平方根以及立方根的定义进行计算即可．
本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键．
18.【答案】解：
；

【解析】先分解因式，再提取公因式即可；
先根据平方差公式分解因式，再求出答案即可．
本题考查了用公式法分解因式，能熟记因式分解的方法是解此题的关键，注意：
19.【答案】解：原式
，
当，时，
原式
【解析】将原式中的第一项利用完全平方公式进行化简，第二项利用平方差公式进行化简，第三项利用多项式除以单项式的法则计算，最后去括号后合并同类项即可得到最简结果，再将a和b的代入计算即可求值．
本题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及到的知识点有：完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式，零指数幂，熟练掌握相关公式及对应法则是解本题的关键．
20.【答案】证明：，
，即
又，
，
在与中，
，
≌，
，

【解析】欲证明，只需证得由≌，根据全等三角形的性质推知该结论即可．
本题主要考查全等三角形判断与性质、两直线平行的判断与性质．
21.【答案】解：，，，
，
；
设，则，，
，
，
，
，
即的值为
【解析】将已知代入完全平方公式，即可解得答案；
设，代入已知可得，即得的值为
本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式，能熟练运用换元法解决问题．
22.【答案】2
【解析】解：当时，；
当时，，
，
，即
故答案为：2；；
当时，
，
当时，y的最小值15；
设，
，，
由等高三角形可得：：：，
：：，
，
四边形ABCD的面积为：，当且仅当时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为
当时，直接根据公式计算即可；当时，先将变形为，再根据公式计算即可；
将原式的分子分别除以分母，变形为可利用公式计算的形式，计算即可；
根据等高三角形的性质计算即可．
本题属于四边形综合题，主要考查了配方法在二次根式、分式及四边形面积计算中的应用与拓展，读懂阅读材料中的方法并正确运用是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：，
则多项式关于对偶．
故答案为：；
，
依题意，得互为相反数，即，
；
该整式关于对偶．
对多项式进行配方，根据新定义判断即可；
求出的对偶，令对偶即可；
对多项式进行配方，根据新定义判定即可．
本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方，根据新定义判断出对称轴是解题的关键．
24.【答案】4 5
【解析】解：，
，
，
，
故答案为：4，5；
由可得，，
故答案为：；
，
证明：设，，则，，
，
即，
，
；
，
证明：设，，则，，
，
即，
，
根据指数和对数的定义进行解答即可；
由中结果可得答案；
利用“指数”和“对数”的定义，以及同底数幂的乘法进行计算即可；
利用中的方法以及同底数幂的除法进行计算即可．
本题考查同底数幂的乘除法，掌握同底数幂的乘除法的计算法则以及指数与对数的定义是正确解答的前提．
25.【答案】①②③