河北省保定市保定白沟新城等2地2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4

这是一份河北省保定市保定白沟新城等2地2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上，本次考试设卷面分等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．满分120分，答题时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本次考试设卷面分．答题时，要书写认真、工整、规范、美观．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列各组图形中，不相似是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了相似图形的判定，理解相似图形的定义是解题关键．如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似，结合题中选项中所给的两个图形，运用上述的定义进行判定即可．
【详解】解：A. 两个图形均为正方形，是相似图形，不符合题意
B. 两个图形是相似图形，不符合题意；
C. 一个矩形，一个正方形，两个图形不是相似图形，符合题意；
D. 两个图形均为圆形，是相似图形，不符合题意．
故选：C．
2. 若，则（ ）
A. 3B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了比例性质，根据得出，即可求解．
【详解】解：∵
∴，
故选：D．
3. 将只印有“太阳”“月亮”“星星”中的一种图案且其他完全相同的若干张卡片放置于不透明的袋子中，进行放回式摸卡片试验，多次试验后发现摸到“太阳”卡片的频率稳定在左右．由此可知，摸到卡片可能性最大的是（ ）
A. “太阳”卡片B. “月亮”卡片C. “星星”卡片D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据题意得出摸到“太阳”卡片的概率为左右，据此，即可求解．
【详解】解：∵多次试验后发现摸到“太阳”卡片的频率稳定在左右． 则摸到“太阳”卡片的概率为左右
∴摸到卡片可能性最大的是“太阳”卡片，
故选：A．
4. 菱形不具有的性质是（ ）
A. 邻边相等B. 对边相等C. 对角线互相垂直D. 对角线相等
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了菱形性质，根据菱形的性质逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：菱形的邻边相等，对边相等，对角线互相垂直，对角线不一定相等，
故选：D．
5. 用配方法解方程时，下列配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，根据用配方法解一元二次方程的步骤即可进行解答．
【详解】解： ，
配方，得：，
即：．
故选：B．
6. 如图，在矩形中，的平分线交AD于点．若，则DE的长为（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，根据题意可得是等腰直角三角形，则，根据，即可求解．
【详解】解：∵在矩形中，的平分线交AD于点．
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴，
故选：C．
7. 如图，菱形与菱形为位似图形，位似中心为点，相似比为：．若，则菱形的周长为（ ）
A. 9B. 16C. 24D. 36
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是位似图形的概念、菱形的性质、根据相似多边形的周长比等于相似比即可求解．
【详解】解：∵菱形与菱形为位似图形，位似中心为点，相似比为：．，
∴
∴
∴菱形的周长为
故选：D．
8. 淇淇在算一个数倍时，误算成了这个数的平方，淇淇发现两个结果的和为，则这个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解答关键．
设这个数为，根据题意得，解这个方程即可求解．
【详解】解：设这个数为，
根据题意得，
整理得，
，
．
故选：A．
9. 如图，四边形的对角线交于点O．根据图中所标示的数据，再添加下列一个条件，其中能使四边形为矩形的条件有（ ）个
①；②；③．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质和矩形的判定，添加或，根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形即可判断．
【详解】解：由题意，得，，
∴，
添加，
则，
∴四边形为平行四边形，
又，
∴平行四边形为矩形；
添加，
则，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
又，
∴平行四边形为矩形；
故选：C．
10. 如图，木棍与在点O处连接，静止不动，从与夹角为的位置开始绕点O逆时针旋转，木棍上的点A与点B，点C与点D之间均由两根弹性皮筋连接，且这两根皮筋在木棍的旋转过程中始终保持拉直状态．设这两根弹性皮筋的长度分别为与，且，在木棍的旋转过程中（旋转角度小于），的值（ ）
A. 一直变大B. 始终不变C. 一直变小D. 先变大后变小
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，可证明得到，则，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
11. 在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以这个正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39，则c的值及该方程的正数解分别为（ ）
A. 39，3B. C. ，3D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了解一元二次方程的几何解法，先求出大正方形面积，进而求出方程的解，再求出c的值即可得到答案．
【详解】解：先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的正方形，得到大正方形的面积为：，
∴该方程的解为，
∴，
∴，
故选：C．
12. 如图，三条相互平行的直线和分别经过正方形的三个顶点，交边于点E．若与之间的距离为3，与之间的距离为7，则的长为（ ）
A. 5B. C. 7D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，平行线间的距离，过点D作于N，过点B作于M，则，，证明得到，再证明求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点D作于N，过点B作于M，
∵，与之间的距离为3，与之间的距离为7，
∴与之间的距离为4，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证明，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 已知△ABC∽△DEF，且AB：DE＝1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为 ______．
【答案】1：4
【解析】
【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵△ABC∽△DEF，且AB：DE＝1：2，
∴△ABC的面积与△DEF的面积之比为1：4，
故答案为：1：4．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解答的关键．
14. 如图，小蚂蚁从洞穴A口进入，遇到岔口时选择每个洞穴的可能性相同（不往回爬），则小蚂蚁获得方糖的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求概率．直接根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：∵有4条路径，有2条路径上有方糖，
∴小蚂蚁获得方糖的概率是．
故答案为：
15. 关于x的一元二次方程x2＋2x﹣k＝0有两个实数根，则k的取值范围是________．
【答案】k≥﹣1
【解析】
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝22﹣4×（﹣k）≥0，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得Δ＝22﹣4×（﹣k）≥0，
解得k≥﹣1．
故答案为k≥﹣1．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
16. 如图，在矩形中，顶点的坐标为，顶点的坐标为，以点为圆心，的长为半径画弧，交轴的正半轴于点D，连接，过点作，交轴于点E，连接，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查直角坐标系中点与特殊四边形的判定和性质，以及勾股定理的应用，根据题意得点，，结合，，即可判定四边形为菱形，有，利用勾股定理求得，则有，再次利用勾股定理即可求得．
【详解】解：根据题意得点，，
∵，，
∴四边形为菱形，
∴，
∵顶点坐标为，
∴，
∴，
∴，
在中，，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程．
（1）．
（2）．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握直接开方法和配方法，并正确计算．
（1）利用直接开方法求解即可；
（2）利用因式分解法得到，解两个一元一次方程即可求解．
【小问1详解】
解：
∴
解得：，；
【小问2详解】
解：
∴
∴或
解得：
18. 如图，D是边上的一点，．
（1）求证：．
（2）当时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：
（1）利用“两角对应相等，两个三角形相似”证出；
（2）利用相似三角形的对应边成比例，求出的长．
【小问1详解】
证明∶∵，，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴（负值舍去）．
19. 如图，在中，分别是边，，的中点．
（1）求证：四边形为菱形．
（2）若，求的大小．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，解题的关键是：
（）由三角形中位线的性质可得，，即可得四边形为平行四边形，又由中点定义可得，即可求证；
（2）先根据平行线的性质求出的度数，然后根据菱形的对角线平分每一组对角求解即可．
【小问1详解】
证明：∵分别是的中点，
∴，，，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴．
20. 嘉嘉和淇淇玩三子棋游戏，嘉嘉执“○”棋子，淇淇执“×”棋子，两人在距棋盘5米外随机投掷，棋子落在已有棋子方格中或掷到棋盘外需重掷，若掷到空格中，则占据该空格，当三颗相同的棋子连成一条线时获胜．
（1）第一局棋盘棋子如图1所示，轮到嘉嘉掷棋子，则掷完本次棋子后，嘉嘉获胜的概率为______．
（2）第二局棋盘棋子如图2所示（空格为A，B，C，D），嘉嘉获得连续两次掷棋子机会，求掷完两次棋子后嘉嘉获胜的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查简单的概率计算，树状图法或列表法求解概：
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到嘉嘉获胜的结果数，最后利用概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵一共有五个空格，每个空格被掷到的概率相同，且只有掷到最中间的那个空格嘉嘉才能获胜，
∴嘉嘉获胜的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中掷完两次棋子后嘉嘉获胜的结果有，，，，共4种，
∴嘉嘉获胜的概率为．
21. 宫格画（图1）因其独特的艺术性近年来受到年轻人的追捧．如图2，小欣利用宽度相等的纸卡（灰色阴影部分）制作了一个长为，宽为的宫格画画框，空白处的宽度相同，设纸卡的宽为．
（1）图2中空白处的宽度_________．（用含x的式子表示）
（2）若图2中空白处的面积为，求x的值．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是∶
（1）利用画框的长减去三个纸卡的宽，再除以2求解即可；
（2）根据空白处的面积为列方程求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意得，
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意，得，
解得，，
即当时，空白处的面积为．
22. 小明为了测量出一矩形深坑的深度，采取如下方案；如图，在深坑左侧用观测仪AB从观测出发点A观测深坑底部一点P，且观测视线刚好经过深坑边缘点E；在深坑右侧用观测仪CD从观测出发点C观测深坑底部同一点P，且观测视线恰好经过深坑边缘点F（点B，E，F，D在同一水平线上）．已知，，观测仪高，观测仪高，，，深坑的宽度．
（1）求证：．
（2）请根据以上数据，计算矩形深坑的深度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的应用：
（1）由矩形的性质得到先证明，再证明，据此可证明；
（2）根据相似三角形的性质得到，再证明得到，进而根据矩形的性质得到，据此可得答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
【小问2详解】
解：∵，
∴，即，
∴，
同理可证明，
∴ ，即，
∴；
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形深坑的深度为．
23. 阅读下列材料，并回答相关问题．
（1）在小明的作法中，______．（填“”“”或“”）
（2）证明小明所作的四边形为正方形．（可直接使用（1）中的结论）
（3）解答老师补充的问题．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，中位线的性质，勾股定理；
（1）根据作图得，等量代换即可求解；
（2）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是菱形，最后证明四边形是正方形；
（3）连接并延长交于点，在上截取，连接，根据中位线的性质得出，则，勾股定理求得，进而根据中位线的性质求得，即可求解．
【小问1详解】
解：根据小明的作法可知：
∴；
故答案为：．
【小问2详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是菱形，
∵
∴四边形为正方形．
【小问3详解】
解：如图所示，连接并延长交于点，在上截取，
∴四边形是矩形，
∴
∵四边形是正方形，，
∴
∵，分别为，的中点，，分别为，的中点，
∴，，
∴，，，
在中，
∵分别为的中点，
∴
24. 如图，在中，平分，，，，分别是边，上的点（点不与点，重合），且，AD与相交于点．
（1）求的长．
（2）求证：．
（3）若，求的值．
（4）若是以AD为腰的等腰三角形，请直接写出BD的长．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
（4）或32
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义，得到，进而得出，证明，得到，求出；
（2）由得到，进而得出，证明；
（3）由，得到，求出，，过点作交于点，得到，，求出，即可得出比值；
（4）当时，根据等腰三角形的性质和相似三角形的性质，得出，,进而得出，证明，，得到，，先求出，再求出，即可得到此时长；当时，在上截取点M，使，证明，得出，，得出，再求出即可．
【小问1详解】
解：平分，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
【小问2详解】
解：由（1）可知，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
【小问3详解】
由（1）可得
，，
，
，
，
，
如图，过点作交于点，

，，
，，
，
，
；
【小问4详解】
解：当，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
．
当时，在上截取点M，使，如图所示：
则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得：；
综上：或32．


老师的问题：如图，在矩形中，求作正方形，使得点，分别在AD，上．
小明的作法：如图，以点为圆心，AB的长为半径画弧，交AD于点，以点为圆心，AB的长为半径画弧，交于点，连接．
老师补充的问题：如图，，分别为，的中点，，分别为，的中点，且，求的长．