中考数学二轮复习压轴题培优训练专题29圆与相似及三角函数综合问题（2份，原卷版+解析版）

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【例1】（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）四边形内接于，直径与弦交于点，直线与相切于点．
(1)如图1，若，且，求证：平分；
(2)如图2，连接，若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，再由，可得，从而得到为等边三角形，再跟等边三角形的性质可得BE平分，即可求证；
（2）根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角可得，从而得到，进而得到，再由，即可求证．
（1）
证明：连接，
直线与相切于点，
，
，
，
，
又，
为等边三角形，
又，
平分，
，
平分；
（2）
证明：∵直线与相切于点，
，
，
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠OBC+∠ABO=90°，
∴∠OBC=∠PBA，
∵OB=OC，
∴，
，
，
，
又，
．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【例2】（2022·广东深圳·中考真题）一个玻璃球体近似半圆为直径，半圆上点处有个吊灯 的中点为

(1)如图①，为一条拉线，在上，求的长度．
(2)如图②，一个玻璃镜与圆相切，为切点，为上一点，为入射光线，为反射光线，求的长度．
(3)如图③，是线段上的动点，为入射光线，为反射光线交圆于点在从运动到的过程中，求点的运动路径长．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）由，可得出为的中位线，可得出D为中点，即可得出的长度；
（2）过N点作，交于点D，可得出为等腰直角三角形，根据,可得出，设，则，根据，即可求得，再根据勾股定理即可得出答案；
（3）依题意得出点N路径长为： ，推导得出，即可计算给出，即可得出答案．
（1）
∵
∴为的中位线
∴D为的中点
∵
∴
（2）
过N点作，交于点D，
∵，
∴为等腰直角三角形，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∴在中，；
（3）
如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合． 当点M运动至点A时，点N运动至点T，故点N路径长为： ．
∵．
∴．
∴．
∴，
∴ ，
∴N点的运动路径长为： ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的性质，弧长公式、勾股定理、中位线，利用锐角三角函数值解三角函数，掌握以上知识，并能灵活运用是解题的关键．
【例3】（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知是的直径，点A，点B是上的两个点，连接，点D，点E分别是半径的中点，连接，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，延长交于点F，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，点G是上一点，连接，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据SAS证明即可得到结论；
（2）证明即可得出结论；
（3）先证明，连接，证明，设，，在上取点M，使得，连接，证明为等边三角形，得，根据可求出，得，，过点H作于点N，求出，再证，根据可得结论．
（1）
如图1．∵点D，点E分别是半径的中点
∴，
∵，
∴
∵，
∴
∵
∴，
∴；
（2）
如图2．∵，
∴
由（1）得，
∴
∴，
∴
∵
∴，
∴
（3）
如图3．∵，
∴
∴
连接．∵
∴，
∴，
∵
设，
∴
在上取点M，使得，连接
∵，
∴
∴，
∴为等边三角形
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴，
过点H作于点N
，
∴，
∴
∵，，
∴
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
∴
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
【例4】（2022·黑龙江绥化·中考真题）如图所示，在的内接中，，，作于点P，交于另一点B，C是上的一个动点（不与A，M重合），射线交线段的延长线于点D，分别连接和，交于点E．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
(3)在点C运动过程中，当时，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠CMA=∠ABC，再利用两角分别相等即可证明相似；
（2）连接OC，先证明MN是直径，再求出AP和NP的长，接着证明，利用相似三角形的性质求出OE和PE，再利用勾股定理求解即可；
（3）先过C点作CG⊥MN，垂足为G，连接CN，设出再利用三角函数和勾股定理分别表示出PB和PG，最后利用相似三角形的性质表示出EG，然后表示出ME和NE，算出比值即可．
（1）
解：∵AB⊥MN，
∴∠APM=90°，
∴∠D+∠DMP=90°，
又∵∠DMP+∠NAC=180°，∠MAN=90°，
∴∠DMP+∠CAM=90°，
∴∠CAM=∠D，
∵∠CMA=∠ABC，
∴．
（2）
连接OC，
∵，
∴MN是直径，
∵，
∴OM=ON=OC=5，
∵，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴OC⊥MN，
∴∠COE=90°，
∵AB⊥MN，
∴∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠COE，
又∵∠BEP=∠CEO，
∴
∴，
即
由，
∴，
∴，
，
∴．
（3）
过C点作CG⊥MN，垂足为G，连接CN，则∠CGM=90°，
∴∠CMG+∠GCM=90°，
∵MN是直径，
∴∠MCN=90°，
∴∠CNM+∠DMP=90°，
∵∠D+∠DMP=90°，
∴∠D=∠CNM=∠GCM，
∵，
∴，
∵
∴设
∴
∴
∴
∴
∵，且，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵∠CGE=∠BPE=90°，∠CEG =∠BEP，
∴，
∴，
即
∴，
∴，，
∴，
∴的值为．
【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本题综合性较强，属于压轴题．
一、解答题【共20题】
1．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）如图，是的外接圆，与相切于点D，分别交，的延长线于点E和F，连接交于点N，的平分线交于点M．
(1)求证：平分；
(2)若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得⊥EF，由 得OD⊥BC，由垂径定理得，进而即可得出结论；
（2）由平行线分线段定理得，再证明，可得BD=2 ，最后证明,进而即可求解．
（1）
证明：连接交于点H.
∵与相切于点D
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ 即平分；
（2）
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴ ，
∴（负值舍去），
∴
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，切线的性质、相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质；找出相似三角形，列相似比求解是解决本题的关键．
2．（2022·湖北黄石·中考真题）如图是直径，A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连接、、，且．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，求的值；
(3)在（2）的条件下，作的平分线交于P，交于E，连接、，若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）如图所示，连接OA，根据直径所对的圆周角是直角得到，再证明即可证明结论；
（2）先证明，得到，令半径，则，，利用勾股定理求出，解直角三角形即可答案；
（3）先求出，在中，，，解得，，证明，得到，则．
（1）
解：如图所示，连接OA，
∵是直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵为半径，
∴直线是的切线；
（2）
解：∵，，
∴，
∴，
由知，令半径，则，，
在中，，
在中，，
即；
（3）
解：在（2）的条件下，，
∴，
∴，
在中，，，
解得，，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．
3．（2022·湖北襄阳·中考真题）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，点D为的中点，连接AC，BC，AD，AD与BC相交于点G，过点D作直线DEBC，交AC的延长线于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若，CG＝2，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OD，根据已知条件，由OD⊥BC ，DEBC，证明OD⊥DE即可；
（2）根据相等，再由（1）中可得，，从而得到∠CAD=∠BAD=∠ABC=30°，在Rt△ACG中，利用锐角三角函数求出AC、AG的长，从而求出△CAG的面积，在Rt△ABD中利用锐角三角函数求出AD的长，根据DEBC可得△ACG∽△AED，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出，进而即可阴影部分的面积．
（1）
证明：连接OD，如图所示，
∵点D为的中点，
∴OD⊥BC
∵DEBC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
（2）
连接BD，如图所示，
∴BD=AC
∵点D为的中点，
∴，
∴，
∴∠CAD=∠BAD=30°．
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACG中，，
∴，
∵，
∴，，
∴BD=CA=6，
，
在Rt△ABD中，
∴
∵DE∥BC，
∴△CAG∽△EAD，
∴，
即，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定定理、垂径定理、圆周角定理以及相似三角形的性质，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．
4．（2022·辽宁鞍山·中考真题）如图，是的外接圆，为的直径，点为上一点，交的延长线于点，与交于点，连接，若．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)过程见解析
(2)3
【分析】（1）连接OE，先根据圆周角定理及已知条件得出∠ABC=∠BOE，进而得出，再由，根据平行线的性质得出∠FEO=∠ACB，然后根据直径所对的是直角，即可得出答案；
（2）先说明，再设的半径为r，并表示，，，然后根据对应边成比例得出，根据比例式求出半径即可．
（1）
证明：连接OE．
∵，，
∴∠ABC=∠BOE，
∴，
∴∠OED=∠BCD．
∵，
∴∠FEC=∠ACE，
∴∠OED+∠FEC=∠BCD+∠ACE，
即∠FEO=∠ACB．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠FEO=90°，
∴．
∵EO是的半径，
∴EF是的切线．
（2）
∵，
∴．
∵BF=2，．
设的半径为r，
∴，，．
∵，
∴，
解得，
∴的半径是3．
【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理是解题的关键．
5．（2022·辽宁朝阳·中考真题）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．
(1)求证：AF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，AD是AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由圆周角定理得∠ADC=90°，则∠ACD+∠DAC=90°，从而说明，即可证明结论；
（2）作于点H，利用△ADH～△ACD，，求出AH的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质得出AD=DE，利用等腰三角形的性质可得答案．
（1）
证明：∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∵∠ACD=∠B，∠B=∠DAF，
∴∠DAF=∠ACD，
∴∠DAF+∠DAC=90°，
∴，
∵AC是直径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）
解：作于点H，
∵⊙O的半径为5，
∴AC=10，
∵∠AHD=∠ADC=90°，∠DAH=∠CAD，
∴△ADH～△ACD，
∴，
∴，
∵AD＝6，
∴，
∵AD是△AEF的中线，∠EAF=90°，
∴AD=ED，
．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，根据相似三角形的判定与性质求出AH的长是解题的关键．
6．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在中，以AB为直径作交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作于点G，交BA的延长线于点H．
(1)求证：直线HG是的切线；
(2)若，求CG的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OD，利用三角形中位线的定义和性质可得，再利用平行线的性质即可证明；
（2）先通过平行线的性质得出，设，再通过解直角三角形求出半径长度，再利用三角形中位线定理和相似三角形的判定和性质分别求出BC，BG的长度，即可求解．
（1）
连接OD，
，
，
∵D是AC的中点，AB为直径，
，
，
直线HG是的切线；
（2）
由（1）得，
∴，
，
，
设，
，
，
在中，，
，
解得，
∴，
∵D是AC的中点，AB为直径，
，
，
，
，即，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形中位线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质及解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键．
7．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在中，，以AB为直径作⊙，分别交BC于点D，交AC于点E，，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长线于点F．
(1)求证：DH是⊙的切线；
(2)若E为AH的中点，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OD，证明，由，可得，即可证明结论；
（2）连接AD和BE，由圆周角定理可以得出，可以得出，，进而根据平行线分线段成比例推出BD=CD，CH=HE，根据E为AH的中点，可得出AE=EH=CH，，根据且，可以得出，根据相似三角形的性质得到，将AE，OD代入即可求出答案．
（1）
连接OD，则．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴DH是的切线．
（2）
连接AD和BE．
∵AB是的直径，
∴，．
∵
∴
∴．
∴且．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵
∴
∴
∴．
∵E为AH的中点，
∴．
∴
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定律，平行线分线段成比例，三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握以上判定和性质是本题解题的关键．
8．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，是的直径，点是劣弧上一点，，且，平分，与交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长；
(3)延长，交于点，若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)1
(3)2
【分析】（1）根据是的直径，可得，即，根据同弧所对的圆周角相等，以及已知条件可得，等量代换后即可得，进而得证；
（2）连接，根据角平分线的定义，以及等边对等角可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，由垂径定理可得，进而可得，即可求解．
（3）过点作，根据平行线分线段成比例，求得，设的半径为，则，证明，可得，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
（1）
证明：∵是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
即，
是的切线，
（2）
如图，连接，
平分，
，
∴DE=BE=2
∴OE⊥BD
，
，
，
，
是的直径，
，，
即∠ADF=∠BEF=90°，
，
，
，
；
（3）
如图，过点作，
由（2）可知，
，
，
，
设的半径为，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
即，
解得：（负值舍去），
的半径为2．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．
9．（2022·山东枣庄·中考真题）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OC，由AC平分∠BAD，OA＝OC，可得∠DAC＝∠OCA，ADOC，根据AD⊥DC，即可证明CD是⊙O的切线；
（2）由OE是△ABC的中位线，得AC＝12，再证明△DAC∽△CAB，，即，从而得到AD．
（1）证明：连接OC，如图：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴ADOC，∵AD⊥DC，∴CO⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵E是BC的中点，且OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE，∵OE＝6，∴AC＝12，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°＝∠ADC，又∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴，即，∴AD．
【点睛】本题考查圆的切线的判定定理，相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练应用圆的相关性质，转化圆中的角和线段．
10．（2022·山东济宁·中考真题）如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使，连接BF，DF．
(1)求证：DF与半圆相切；
(2)如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OF，证明，可得，根据矩形的性质可得，进而即可得证；
（2）连接，根据题意证明，根据相似三角形的性质求得，进而勾股定理，根据矩形的面积公式即可求解．
（1）
证明：连接OF．
，
，
四边形是矩形，
∴DF与半圆相切.
（2）
解：连接，
，，
，
为半圆的直径，
，
，
，
，
，
，
在中，
矩形的面积为
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
11．（2022·青海西宁·中考真题）如图，在中，，点D在AB上，以BD为直径的与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M．
(1)求证：四边形EMFC是矩形；
(2)若，的半径为2，求FM的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角及邻补角互补，可求出，由与AC相切于点E，利用圆的切线垂直于过切点的半径可得出 ，进而可得出 ，结合再利用三个角都是直角的四边形是矩形，即可证出四边形 EMFC 是矩形．
（2）在 中，利用勾股定理可求出 OA 的长，进而可得出 AB 的长，由，利用“同位角相等，两直线平行”可得出，进而可得出利用相似三角形的性质可求出 AC 的长，结合 可求出 CE 的长，再利用矩形的对边相等，即可求出 FM 的长．
（1）
∵BD是的直径，
∴，
∴，
∴与AC相切于点E，
∴，
∴，
又∴，
∴，
∴四边形EMFC是矩形．
（2）
解：在中 ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴四边形EMFC是矩形，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定，相切，勾股定理，平行线的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：(1）根据各角之间的关系，找出四边形EMFC 的三个角均为直角．（2）利用勾股定理及相似三角形的性质，求出AC的长度．
12．（2022·辽宁大连·中考真题）是的直径，C是上一点，，垂足为D，过点A作的切线，与的延长线相交于点E．
(1)如图1，求证；
(2)如图2，连接，若的半径为2，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明，，即可得出；
（2）证明 ，求出OD，由勾股定理求出DB，由垂径定理求出BC，进而利用勾股定理求出AC，AD．
（1）
解：∵ ，
∴，
∵ 是的切线，
∴，
在和中，，，
∴；
（2）
解：如图，连接AC．
∵ 的半径为2，
∴，，
∵ 在和中，
，，
∴ ，
∴，即，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
∵ ，经过的圆心，
∴，
∴．
∵是的直径，C是上一点，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
在中，由勾股定理得：，
∴．
【点睛】本题考查切线的定义、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，熟练掌握上述知识点，通过证明 求出OD的长度是解题的关键．
13．（2022·青海·中考真题）如图，AB是的直径，AC是的弦，AD平分∠CAB交于点D，过点D作的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，求BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）连接，根据平分，可得，从而得到，可得，再由切线的性质，即可求解；
（2）由，可得，设为，可得，即可求解．
（1）
证明：连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴．
（2）
解：由（1）得：，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
设为，
∴，
∴，
解得：，
即的长为2．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
14．（2022·广西柳州·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求sin∠FHG的值；
(3)若GH＝，HB＝2，求⊙O的直径．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)⊙O的直径为
【分析】（1）连接OF，先证明OFAC，则∠OFD＝∠C＝，根据切线的判定定理可得出结论．
（2）先证∠DFB＝∠OAF，∠ADG＝∠FDG，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和得出∠FGH＝∠FHG＝，从而可求出sin∠FHG的值．
（3）先在△GFH中求出FH的值为4，根据等积法可得，再证△DFB∽△DAF，根据对应边成比例可得，又由角平分线的性质可得，从而可求出AG、AF．在Rt△AFＢ中根据勾股定理可求出AB的长，即⊙O的直径．
（1）
证明：连接OF．
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA，
∵
∴∠CAF＝∠FAB，
∴∠CAF＝∠AFO，
∴OFAC，
∵AC⊥CD，
∴OF⊥CD，
∵OF是半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）
∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∵OF⊥CD，
∴∠OFD＝∠AFB＝90°，
∴∠AFO＝∠DFB，
∵∠OAF＝∠OFA，
∴∠DFB＝∠OAF，
∵GD平分∠ADF，
∴∠ADG＝∠FDG，
∵∠FGH＝∠OAF+∠ADG，∠FHG＝∠DFB+∠FDG，
∴∠FGH＝∠FHG＝45°，
∴sin∠FHG=
（3）
解：过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．
∵HD平分∠ADF，
∴HM＝HN，
S△DHF ∶S△DHB= FH∶HB=DF ∶DB
∵△FGH是等腰直角三角形，GH＝
∴FH＝FG＝4，
∴
设DB＝k，DF＝2k，
∵∠FDB＝∠ADF，∠DFB＝∠DAF，
∴△DFB∽△DAF，
∴DF2＝DB•DA，
∴AD＝4k，
∵GD平分∠ADF
∴
∴AG＝8，
∵∠AFB＝90°，AF＝12，FB＝6，
∴⊙O的直径为
【点睛】本题是一道综合性题目，考查了圆的相关性质、切线的判定、相似三角形的判定和性质、角平分线性、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
15．（2022·广西河池·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，∠ABE的平分线交⊙O于点C，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D．且∠PCA＝∠CBD．
(1)求证：PC为⊙O的切线；
(2)若PC＝BO，PB＝12，求⊙O的半径及BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)⊙O的半径为3，BE的长为2
【分析】（1）连接OC，根据角平分线求得∠ABC = ∠CBD，由等边对等角可得∠PCA= ∠OCB，由AB是直径和等量代换可得∠PCO = 90°，即可得证；
（2）设OB=OC=r，证明OP=3r，可得4r=12，推出r=3，利用相似三角形的判定与性质和平行线分线段成比例定理求出BD，BE即可求解．
（1）
证明：连接OC，
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABC = ∠CBD，
∵OC=OB，
∴∠ABC = ∠OCB，
∵∠PCA= ∠CBD，
∴∠PCA= ∠OCB，
∵AB是直径，
∴∠ACB = 90°，
∴∠ACO+∠OCB= 90°，
∴∠PCA+∠ ACO= 90°，
∴∠PCO = 90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是半径，
∴PC是OO的切线；
（2）
连接 ， 设 ，
，
，
，
，
，
，
由 可知， ，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
16．（2022·山东聊城·中考真题）如图，点O是的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，．
(1)连接AF，求证：AF是的切线；
(2)若，，求FD的长．
【答案】(1)见解析
(2)FD的长为
【分析】（1）根据SAS证△AOF≌△EOF，得出∠OAF＝∠OEF＝90°，即可得出结论；
（2）根据勾股定理求出AF，证△OEC∽△FAC，设圆O的半径为r，根据线段比例关系列方程求出r，利用勾股定理求出OF，最后根据FD＝OF﹣OD求出即可．
（1）
证明：在△AOF和△EOF中，
，
∴△AOF≌△EOF（SAS），
∴∠OAF=∠OEF，
∵BC与相切，
∴OE⊥FC，
∴∠OAF=∠OEF=90°，
即OA⊥AF，
∵OA是的半径，
∴AF是的切线；
（2）
解：在中，∠CAF=90°，FC=10，AC=6，
∴，
∵BC与相切，AF是的切线
∴∠OEC＝∠FAC＝∠90°，
∵∠OCE=∠FCA，
∴△OEC∽△FAC，
∴，
设的半径为r，则，
解得，
在Rt△FAO中，∠FAO=90°，AF=8，，
∴，
∴，
即FD的长为．
【点睛】本题主要考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．
17．（2022·湖南湘西·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．
(1)求证：BC是⊙O的切线．
(2)若CF＝2，sinC＝，求AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OE，方法一：根据角平分线的性质及同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出∠OEC＝90°即可；
方法二：根据角平分线的性质和等腰三角形的性质得出∠OEC＝90°即可；
（2）连接EF，根据三角函数求出AB和半径的长度，再利用三角函数求出AE的长即可．
（1）连接OE，方法一：∵AE平分∠BAC交BC于点E，∴∠BAC＝2∠OAE，∵∠FOE＝2∠OAE，∴∠FOE＝∠BAC，∴OE∥AB，∵∠B＝90°，∴OE⊥BC，又∵OE是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；方法二：∵AE平分∠BAC交BC于点E，∴∠OAE＝∠BAE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠BAE＝∠OEA，∴OE∥AB，∵∠B＝90°，∴OE⊥BC，又∵OE是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；
（2）连接EF，∵CF＝2，sinC＝，∴，∵OE＝OF，∴OE＝OF＝3，∵OA＝OF＝3，∴AC＝OA+OF+CF＝8，∴AB＝AC•sinC＝8×＝，∵∠OAE＝∠BAE，∴cs∠OAE＝cs∠BAE，即，∴，解得AE＝（舍去负数），∴AE的长为．
【点睛】本题主要考查切线的判定和三角函数的应用，熟练掌握切线的判定定理和三角函数是解题的关键．
18．（2022·甘肃兰州·中考真题）如图，是的外接圆，AB是直径，，连接AD，，AC与OD相交于点E．
(1)求证：AD是的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）先证∠BOC +∠AOD=90°，再因为，得出∠ADO +∠AOD=90°，即可得∠OAD=90°，即可由切线的判定定理得出结论；
（2）先证明∠AED=∠DAE，得出DE=AD=，再证∠OAC=∠OCA，得tan∠OAC= tan∠OCA=,设OC=OA=R,则OE=R，在Rt△OAD中，由勾股定理，得
，解之即可．
（1）
证明：∵，
∴∠COD=90°，
∵∠BOC+∠COD+∠AOD=180°，
∴∠BOC +∠AOD=90°，
∵，
∴∠ADO +∠AOD=90°，
∵∠ADO +∠AOD+∠OAD=180°，
∴∠OAD=90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵∠BAC+∠CAD=∠OAD=90°，
∴∠B=∠CAD，
∵∠B+∠BOC+∠OCB=∠ADO+∠CAD+∠AED=180°，∠ADO=∠BOC，
∴∠AED=∠OCB，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB，
∴∠AED=∠CAD，
∴DE=AD=，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∵OC⊥OD，
∴∠COE=90°，
∴tan∠OAC= tan∠OCA=,
设OC=OA=R,
则OE=R，
在Rt△OAD中，∠OAD=90°，
由勾股定理，得OD2=OA2+AD2，
即，
解得：R=2或R=0(不符合题意，舍去）,
∴⊙O的半径为2．
【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，圆周角定理的推论，本题属圆的综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
19．（2022·广东广州·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC=8，BC=6．
(1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD 的值．
【答案】(1)作图见解析；
(2)点O到AC的距离为3，sin∠ACD 的值是
【分析】(1)作线段AC的垂直平分线，由垂径定理推论可知该垂直平分线必经过点O；
(2)由垂径定理得到AF=CF，进而得到OF是△ACB的中位线，由此得到点O到AC的距离OF=BC=3；求出DF=OD-OF=5-3=2，CF=4，由勾股定理求出CD=，最后在Rt△CDF中由即得答案．
（1）
解：①分别以A，C为圆心，适当长(大于AC长度的一半)为半径作弧，记两弧的交点为E；
②作直线OE，记OE与交点为D；
③连结CD，则线段AC的垂线DE、线段CD为所求图形，如下图所示；
（2）
解：记OD与AC的交点为F， 如下图所示：
∵OD⊥AC，
∴F为AC中点，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF=BC=3，
∵OF⊥AC，
∴OF的长就是点O到AC的距离；
Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴OD=OA=AB=5，
∴DF=OD-OF=5-3=2，
∵F为AC中点，
∴CF=AC=4，
Rt△CDF中，∵DF=2，CF=4，
∴CD=，
则，
∴点O到AC的距离为3，sin∠ACD 的值是．
【点睛】本题考查了圆的基本性质、垂径定理及其推论、勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图、锐角三角函数等，属于综合题，欲求某角的某三角函数值，首先想到的应该是能否在直角三角形中进行，如果没有现成的直角三角形，则需要设法构造(作辅助图形)．
20．（2022·山东淄博·中考真题）已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB．
(1)如图1，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD=DI；
图1
(2)如图2，过点D作直线DEBC，求证：DE是⊙O的切线；
图2
(3)如图3，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH（切点为H），求证：GF=GH．
图3
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由角平分线的定义以及圆周角定理得到∠BAD=∠DAC=∠CBD，∠ABI=∠IBC，再根据三角形的外角性质可推出∠BID=∠DBI，利用等角对等边即可证明BD=DI；
（2）由垂径定理推出OD⊥BC，由平行线的性质推出OD⊥DE，即可证明DE是⊙O的切线；
（3）设法证明△HBG∽△CHG，推出，再证明△GFC∽△GBF，推出，据此即可证明GF=GH．
（1）
证明：∵AD是∠BAC的平分线，BI是∠ABC的平分线，
∴∠BAD=∠DAC=∠CBD，∠ABI=∠IBC，
∵∠BID=∠ABI+∠BAD，∠DBI=∠IBC +∠CBD，
∴∠BID=∠DBI，
∴BD=DI；
（2）
证明：连接OD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴，
∴OD⊥BC，
∵DEBC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（3）
证明：过点H作⊙O的直径HI，连接BH，HC，IC，
∵HI是⊙O的直径，GH是⊙O的切线，
∴∠HCI=∠IHG=90°，
∴∠IHC+∠I=90°=∠IHC+∠GHC，
∴∠I=∠GHC，
∵∠HBG=∠I，
∴∠HBG=∠GHC，
∴△HBG∽△CHG，
∴，
∴，
∵ADFG，
∴∠DAF=∠GFC，
∵∠DAF=∠DBC，
∴∠GFC=∠DBC，
∴△GFC∽△GBF，
∴，
∴，
∴，
∴GF=GH．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．