中考数学二轮复习压轴题培优训练专题30代数中的新定义问题（2份，原卷版+解析版）

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例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．
（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．
【例2】（2022秋•西城区校级期中）将n个0或1排列在一起组成了一个数组，记为A＝（t1，t2，…tn），其中，t1，t2，…，tn都取0或1，称A是一个n元完美数组（n≥2且n为整数）．
例如：（0，1），（1，1）都是2元完美数组，（0，0，1，1），（1，0，0，1）都是4元完美数组，但（3，2）不是任何完美数组．定义以下两个新运算：
新运算1：对于x和y，x*y＝（x+y）﹣|x﹣y|，
新运算2：对于任意两个n元完美数组M＝（x1，x2，…，xn）和N＝（y1，y2，…，yn），M⊗N（x1*y1+x2*y2+…+xn*yn），例如：对于3元完美数组M＝（1，1，1）和N＝（0，0，1），有M⊗N（0+0+2）＝1．
（1）在（0，0，0），（2，0，1），（1，1，1，1），（1，1，0）中是3元完美数组的有： ；
（2）设A＝（1，0，1），B＝（1，1，1），则A⊗B＝ ；
（3）已知完美数组M＝（1，1，1，0）求出所有4元完美数组N，使得M⊗N＝2；
（4）现有m个不同的2022元完美数组，m是正整数，且对于其中任意的两个完美数组C，D满足C⊗D＝0；则m的最大可能值是多少？写出答案，并给出此时这些完美数组的一个构造．
【例3】（2022秋•茅箭区校级月考）对x，y定义一种新运算T，规定T（x，y）（其中a，b是非零常数，且x+y≠0），这里等式右边是通常的四则运算．如：T（3，1），T（m，﹣2）．
（1）填空：T（4，﹣1）＝ （用含a，b的代数式表示）；
（2）若T（﹣2，0）＝﹣2，且T（5，﹣1）＝6．①求a与b的值；
②若T（3m﹣10，﹣3m）＝T（﹣3m，3m﹣10），求m的值．
【例4】（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（，），（，），……都是和谐点．
（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，）．
①求a，c的值；
②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．
【例5】（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y图象的“2阶方点”．
（1）在①（﹣2，）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y图象的“1阶方点”的有 （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
一．解答题（共20题）
1．（2022•渝中区校级模拟）材料1：若一个数各个数位上数字之和能被9整除，则这个数本身也能被9整除；
材料2：如果一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数m可以被9整除，且m的百位上的数字比十位上的数字大2，则称m为“够二数”；将m的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到的数为m'，，例如：m＝8424，∵8+4+2+4＝18＝9×2，4﹣2＝2，∴8424是“够二数”，．
（1）判断1314，6536是否是“够二数”，请说明理由，如果是“够二数”，请计算F（m）的值；
（2）若一个四位正整数是“够二数”，且为5的倍数，请求出所有的“够二数”n的值．
2．（2022•九龙坡区校级模拟）对于任意一个四位数m，若满足千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“倍和数”、例如：
m＝6132，∵6+2＝2×（1+3），∴6132是倍和数”；
m＝1374，∵1+4≠2×（3+7），∴1374不是“倍和数”；
（1）判断1047和4657是否为“倍和数”？并说明理由．
（2）当一个“倍和数”m千位上的数字与个位上的数字不相等，且千位上的数字与个位上的数字之和等于8时，记这个“倍和数”m的千位上的数字与个位上的数字之差的绝对值为T（m），记百位上的数字与十位上的数字之差的绝对值为R（m），令G（m），当G（m）能被3整除时，求出满足条件的所有“倍和数”m．
3．（2022•两江新区模拟）材料一：若一个两位数恰好等于它的各位数字之和的4倍，则称这个两位数为“巧数”．
材料二：一个四位数N满足各个数位数字都不为0，且它的千位数字与百位数字组成的两位数，以及十位数字与个位数字组成的两位数均为“巧数”，则称这个四位数为“双巧数”．若p，q，则记F（N）＝q﹣p．
（1）请任意写出两个“巧数”，并证明任意一个“巧数”的个位数字是十位数字的2倍；
（2）若s，t都是“双巧数”，其中s＝3010+100x+10y+z，t＝1100m+400+10n+2r，（1≤x，z，n≤9，1≤y≤8，1≤m≤5，1≤r≤4，且x，y，z，m，n，r均为整数），规定K（s，t），当F（s）+F（t）＝12时，求K（s，t）的最大值．
4．（2022•大足区模拟）对任意一个四位正整数m，如果m的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m为“和谐数”．例如：m＝7431，满足1+3＝4，2×3+1＝7，所以7431是“和谐数”．例如：m＝6413，满足1+3＝4，但2×1+3＝5≠6，所以6413不是“和谐数”．
（1）判断8624和9582是不是“和谐数”，并说明理由；
（2）若m是“和谐数”，且m与22的和能被13整除，求满足条件的所有“和谐数”m．
5．（2021•北碚区校级模拟）定义一种新运算：对于实数x、y，有L（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数），由这种运算得到的数称之为线性数，记为L（x，y），其中x，y叫做线性数的一个数对，若实数x，y都取正整数，称这样的线性数为正格线性数，这时的x，y叫做正格线性数的正格数对．
（1）若L（x，y）＝2x+7y，则L（3，﹣2）＝ ，L（，）＝ ；
（2）已知L（5，），L（2，）＝8．
①若L（m﹣1，m+2）为正格线性数，求满足66＜L（m﹣1，m+2）＜99的正格数对有哪些？
②若正格线性数L（x，y）＝55，满足这样的正格数对中，有满足问题①的数对吗，若有，请找出；若没有，请说明理由．
6．（2022秋•岳麓区校级期中）对x定义一种新运算E，规定E（x）＝（ax+2）（2bx﹣3），其中a，b是非零常数．如：当a＝1，b＝1时，E（x）＝（x+2）（2x﹣3）＝2x2+x﹣6．
（1）当a，b满足时，计算E（x）；
（2）已知，请求出的值；
（3）若当a＝3，b＝2时，关于x的不等式组恰好有5个整数解，求k的取值范围．
7．（2022春•五华区校级期中）阅读材料：对实数a、b，定义T（a，b）的含义为，当a＜b时T（a，b）＝a+b；当a≥b时，T（a，b）＝a﹣b．例如：T（1，3）＝1+3＝4，T（2，﹣1）＝2﹣（﹣1）＝3；
根据以上材料，回答下列问题：
（1）若T（m2+1，﹣1）＝6，则m＝ ；
（2）已知x+y＝8，且x＞y，求T（4，x）﹣T（4，y）的值．
8．（2022春•巴中期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x﹣1＝3和x+1＝0为“美好方程”．
（1）请判断方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是否互为“美好方程”；
（2）若关于x的方程m＝0与方程3x﹣2＝x+4是“美好方程”，求m的值；
（3）若关于x方程x﹣1＝0与x+1＝3x+k是“美好方程”，求关于y的方程（y+2）+1＝3y+k+6的解．
9．（2022春•岳麓区校级期末）对a，b定义一种新运算T，规定：T（a，b）＝（2a﹣b）（ax﹣by）（其中x，y均为非零实数）．例如：T（1，1）＝x﹣y．
（1）已知关于x，y的方程组，若a≤﹣1，求2x﹣y的取值范围；
（2）在（1）的条件下，已知平面直角坐标系上的点A（x，y）落在坐标轴上，将线段OA沿x轴向右平移2个单位，得线段O'A'，坐标轴上有一点B满足三角形BOA'的面积为15，请直接写出点B的坐标．
10．（2022春•遵义期末）我们规定．关于x，y的二元一次方程ax+by＝c，若满足a+b＝c，则称这个方程为“幸福”方程．例如：方程2x+3y＝5，其中a＝2，b＝3，c＝5，满足a+b＝c，则方程2x+3y＝5是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福“方程组．根据上述规定，回答下列问题，
（1）判断方程3x+5y＝8 “幸福”方程（填“是”或“不是”）；
（2）若关于x，y的二元一次方程kx+（k﹣1）y＝9是“幸福”方程，求k的值；
（3）若是关于x，y的“幸福”方程组的解，求4p+7q的值．
11．（2022秋•开福区校级期中）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“青一函数”，该点称为“青一点”，例如：“青一函数”y＝x+1，其“青一点”为（1，2）．
（1）①判断：函数y＝2x+3 “青一函数”（填“是”或“不是”）；
②函数的图象上的青一点是 ；
（2）若抛物线上有两个“青一点”，求m的取值范围；
（3）若函数的图象上存在唯一的一个“青一点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，求k的值．
12．（2022秋•雨花区期中）2022年10月16日，习近平总书记在中共二十大会议开幕式上作报告发言，在阐述第四个要点“加快构建新发展格局，着力推动高质量发展”时，提出了两个“高水平”，即“构建高水平社会主义市场经济体制”和“推进高水平对外开放”在数学上，我们不妨约定：若函数图象上存在不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1≠x2），满足纵坐标相等，即y1＝y2，则称点A、B为这个函数的一对“高水平点”，称这个函数为“高水平函数”．
（1）若点P（2022，p）和点Q（q，2023）为“高水平函数”y＝|x+1|图象上的一对“高水平点”，求p+q的值；
（2）关于x的函数y＝kx+b（k、b为常数）是“高水平函数”吗？如果是，指出它有多少对“高水平点”，如果不是，请说明理由；
（3）若点M（1，m）、N（3，n）、P（x0，y0）都在关于x的“高水平函数”y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a＞0）的图象上，点M、P为该函数的一对“高水平点”，且满足m＜n＜c，若存在常数w，使得式子：wx02﹣x0+2恒成立，求w的取值范围．
13．（2022秋•惠水县期中）九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的“旋转函数”．
小组同学是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参照小组同学的方法解决下面问题：
（1）函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”是 ；
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2022的值；
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
14．（2022秋•长沙期中）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标3倍的点称为“一中点”，例如点（1，3），（2，6），（1，33），……都是“一中点”．例如：抛物线y＝x2﹣4上存在两个“一中点”P1（4，12），P2（−1，−3）．
（1）在下列函数中，若函数图象上存在“一中点”，请在相应题目后面的括号中打“√”，若函数图象上不存在“一中点”的打“×”．
①y＝2x﹣1 ；②y＝x2−1 ；③y＝x2+4 ．
（2）若抛物线y＝−x2+（m+3）x−m2﹣m+1上存在“一中点”，且与直线y＝3x相交于点A（x1，y1）和B（x2，y2），令t＝x12+x22，求t的最小值；
（3）若函数yx2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2的图象上存在唯一的一个“一中点”，且当﹣1≤b≤2时，a的最小值为c，求c的值．
15．（2022春•雨花区校级月考）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2如（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．
（1）若方程为x2﹣3x＝0，求出该方程的衍生点M的坐标；
（2）若关于x的一元二次方程为x2﹣（5m+1）x+5m＝0的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值；
（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx+2（k+3）的图象上？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由．
16．（2022秋•如皋市校级月考）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝4x+3图象的“1倍点”，点（，﹣3）是函数y＝4x+3图象的“2倍点”．
（1）函数y＝x2﹣8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；
（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时，求：
①c的取值范围；
②直接写出∠EMN的度数．
17．（2022秋•开福区月考）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“立信点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（2022，2022）…，都是“立信点”．
（1）①函数y＝﹣2x+1图象上的“立信点”坐标为 ；
②函数y＝x2+2x−2图象上的“立信点”坐标为 ．
（2）若二次函数y＝x2+2（k+2）x+k2的图象上存在A（x1，x1），B（x2，x2）两个“立信点”和1且求k的值；
（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“立信点”，令s＝b2+4a，当t≤b≤t+1时，s有最小值t，试求t的值．
18．（2022秋•岳麓区校级月考）我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y＝x﹣1，令y＝0，可得x＝1，我们就说1是函数y＝x﹣1的零点．
（1）求一次函数y＝2x﹣3的零点；
（2）若二次函数y＝x2+bxb的零点为x1，x2，A，B两点的坐标依次A（x1，0），B（x2，0），如果AB＝2，求b的值；
（3）直线y＝﹣2x+b的零点为1，且与抛物线y＝kx2﹣（3k+3）x+2k+4（k≠0）交于C、D两点，若m+1m+2时，线段CD有最小值3，求m．
19．（2022•顺德区校级三模）我们把一个函数图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的不动点．
（1）请直接写出函数y＝2﹣x的不动点M的坐标；
（2）若函数y有两个关于原点对称的不动点A，B，求a的值；
（3）已知函数y＝ax2+（b+1）x+（b﹣1），若对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，请直接写出a的取值范围．
20．（2022春•西城区校级期中）对任意的实数m有如下规定：用[m]表示不小于m的最小整数，例如[]＝3，[5]＝5，[﹣1.3]＝﹣1，请回答下列问题：
（1）①0≤[x]﹣x＜1；②[x﹣2022]＝[x]﹣2022；③[3x]＝3[x]；④[x]+[y]＝[x+y]；⑤若[x]＝a（a为整数），则a﹣1＜x≤a．以上五个命题中为真命题的是 （填序号）．
（2）关于x的方程[x﹣1]＝2x+1的解为 ．
（3）某市出租车的起步价是13元（可行驶3千米），以后每多行1千米增加2.3元（不足1千米按1千米收费），现有某同学乘出租车从甲地到乙地共付费36元，如果他从甲地到乙地先步行800米，然后再乘坐出租车，车费也是36元．若该同学乘坐出租车从甲地出发去往乙地，由于突发情况，在距离乙地1公里处掉头原路返回，那么该同学返回甲地后应付费 元．