第2章 二次函数专题训练6 二次函数背景下的综合题(含答案)

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专题训练六　二次函数背景下的综合题二次函数与几何图形周长的最值问题1.如图,抛物线过点O(0,0),E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点B在点A的左侧),点C,D在抛物线上.设B(t,0),当t=2时,BC=4.(1)求抛物线的函数表达式;(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值?最大值是多少?(3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形ABCD的面积时,求抛物线平移的距离.二次函数与几何图形面积的最值问题2.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+bx-c的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0),与y轴交于点C.(1)求这个二次函数的表达式;(2)如图1,二次函数图象的对称轴与直线AC:y=x+3交于点D,若点M是直线AC上方抛物线上的一个动点,求△MCD面积的最大值;(3)如图2,点P是直线AC上的一个动点,过点P的直线l与BC平行,则在直线l上是否存在点Q,使点B与点P关于直线CQ对称?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 图1　 图2二次函数与三角形的存在性问题3.如图,二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C(1,0),交y轴于点B(0,3).(1)求此二次函数的表达式;(2)设二次函数图象的顶点为P,对称轴与x轴交于点Q,求四边形AOBP的面积(请在图1中探索);(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M,使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形?若存在,请求出满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由(请在图2中探索). 图1 图2二次函数与四边形的存在性问题4.如图,二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A,B,交y轴于点C,点B的坐标为(1,0),对称轴是直线x=-1,点P是x轴上一动点,PM⊥x轴,交直线AC于点M,交抛物线于点N.(1)求这个二次函数的表达式;(2)若点P在线段AO上运动(点P与点A、点O不重合),求四边形ABCN面积的最大值,并求出此时点P的坐标;(3)若点P在x轴上运动,则在y轴上是否存在点Q,使以M,N,C,Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出所有满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【详解答案】1.解:(1)设抛物线的函数表达式为y=ax(x-10),∵当t=2时,BC=4,∴点C的坐标为(2,-4),∴将点C坐标代入函数表达式,得2a(2-10)=-4,解得a=14,∴抛物线的函数表达式为y=14x2-52x.(2)由抛物线的对称性,得AE=OB=t,∴AB=10-2t.当x=t时,点C的纵坐标为14t2-52t,∴矩形ABCD的周长=2(AB+BC)=2(10-2t)+-14t2+52t=-12t2+t+20=-12(t-1)2+412,∵-12