重庆市2023_2024学年高一数学上学期12月月考试卷含解析

这是一份重庆市2023_2024学年高一数学上学期12月月考试卷含解析，共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用列举法表示集合，再利用并集的定义求解即得.
【详解】依题意，集合，而，
所以.
故选：D
2. 下列命题中为真命题的是（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】对A：由判断命题为假；对B：当时命题不成立；对C：由及关系判断命题为真；对D：由判断命题为假.
【详解】，，故是假命题；
当时，，故是假命题；
，，故是真命题；
方程中，此方程无解，故是假命题.
故选:：C.
3. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据定义域的含义及解根式不等式及指数函数的性质即可求解.
【详解】由，解得，故定义域为.
故选：A
4. 设，，，则下列关系正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数、幂函数的单调性判断大小即可得解.
【详解】，
因为函数在R上是增函数，所以，即．
又，而在上单调递增，所以，
所以，因此．
故选：C．
5. 人脸识别中检测样本之间相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为.若，，则A，B之间的余弦距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据公式直接计算即可.
详解】由题，，
，
所以A，B之间的余弦距离为.
故选：A.
6. 函数的大致图象是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断.
【详解】方法一：因为，即，所以，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，
故排除；
当时，，即，因此，故排除A.
故选:D.
方法二：由方法一，知函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除；
又，所以排除A.
故选：D.
7. 函数在区间上单调递减的必要不充分条件是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由复合函数的单调性与充分必要条件的概念判断，
【详解】设．
∵上单调递减，
∴由复合函数的单调性法则可知，在上单调递减，且在上恒成立．
（注意对数的真数在上大于0）
又在上单调递减，（若函数在上单调递减，则）
∴解得．
则可得函数在区间上单调递减的充要条件是．
而所求的是函数在区间上单调递减的必要不充分条件，
故只需看是哪一个的真子集，
故选：C
8. 已知是定义在上的奇函数，对任意的，，均有.且当时，，，那么表达式（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由是定义在，上的奇函数，且，推出，，再结合当时，，推出，，，，由题意可得对任意的，，，均有，进而得，再由奇函数的性质算出最终结果．
【详解】解：由，令，得，令，则﹐
当时，，，
即，，
且，，
，
对任意的，，均有，，
同理.
是奇函数，
，
故选：C
【点睛】本题考查函数的奇偶性，函数值计算，属于中档题．
二、多项选择题（共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.）
9. 若，则下列说法不成立的是（）
A. 若且，则B. 若且，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】A.由判断；B.由判断；C.作差法判断；D作差法判断.
【详解】A.若得不到，故错误；
B.若时，不成立，故错误；
C.因为，所以，故正确；
D. ，所以，故错误；
故选：ABD.
10. 若满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】令，代入已知条件，再由判别式可求得的范围，从而可判断A,B选项，将已知条件变形为，再由均值不等式可得的范围，再利用代入法并化简即可判断C,D选项.
【详解】令，即，代入可得：
.
所以, 解得, 所以 A 正确. B 正确；
由可变形为,
因为, 将代入上式可得：
,
解得, 所以不正确, D正确.
故选：.
11. 奇函数与偶函数的定义域均为，且满足，则下列判断正确的是（）
AB.
C. 在上单调递增D. 的值域为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据奇偶性求出即可判断ABC；利用基本不等式可判断D.
【详解】因为为奇函数，为偶函数，所以，
因为①，所以，即②，
所以由①②解得，故B正确；
，故A错误；
在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递增，故C正确；
因为，当且仅当时取等号，
所以的值域为，所以D正确.
故选：BCD.
12. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的单调递增区间是
B. 若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是
C. 若函数有四个零点，，则
D. 若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数图象变换作出函数图象即可判断选项A，数形结合将问题转化为的图象与直线有三个交点即可判断选项B，根据题意，作出图象，确定有四个交点时，，利用双勾函数性质求出的取值范围，即可求解选项C，根据一元二次方程的根结合的图象，数形结合可判断选项D.
【详解】利用函数图象变换，作图如下：
由图可知，函数的单调递增区间是，故A错误；
函数恰有三个零点，
即的图象与直线有三个交点，所以或，
故B正确；
函数有四个零点，则，
不妨设，
令，解得或，
令，解得或，
所以由图可知，
，
则有，即，
所以，所以，
，即，
则，所以，
设，则对钩函数在单调递减，
所以，
所以，
即
又因为，所以，
故C正确；
令，解得或，
由解得，所以有三个不同的解，
由B选项分析过程可知，或，解得，或，
所以实数的取值范围是，故D正确；
故选:BCD.
【点睛】关键点点睛：数形结合是解决本题的关键，选项B中将问题转化为的图象与直线有三个交点，选项C中，根据的图象与直线有四个交点，确定四个零点分布的位置，并根据解析式确定和，利用换元思想将变为单变量函数，利用双勾函数性质求范围,属于综合性较强的问题.
三、填空题
13. 已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应取为__________．
【答案】
【解析】
【分析】令，利用零点存在性定理，满足，即可找到零点所在区间.
【详解】令，因为在定义域内单调递增，
且，，，
因为，所以第一次用二分法求其近似解时，根所在区间应取.
故答案为：
14. 已知函数和函数（且）互为反函数，则恒过定点的坐标为_______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出所过定点，根据反函数性质求出结果.
【详解】因为（且）过定点且函数和函数（且）互为反函数，
所以恒过定点的坐标为.
故答案为：.
15. 重庆市黔江区濯水风雨廊桥有“世界第一廊桥”之称。风雨廊桥横跨于阿蓬江上，桥身为纯木制结构，建筑材料之间以榫头卯眼互相穿插衔接，结构牢固精密，分为桥、塔、亭三部分，现从江上某处目测桥身部分类似圆弧状（如下图），已知圆弧所对圆心角为2，所在圆半径为2，求得桥身与江面围成（弓形）的面积约为________(结果用三角函数表达）.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，求出扇形面积及三角形面积即可得解.
【详解】如图，等腰腰上的高，则的面积，
而扇形的弧长为，于是扇形的面积，
所以桥身与江面围成（弓形）的面积为.
故答案为：.
16. 已知函数，若函数g(x)＝f(f(x)＋1)有三个零点，则实数a的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】数形结合，分成a≤－2，－2＜a≤0，0＜a≤2，a＞2四种情况讨论即可.
【详解】令，则，
有三个零点，
∴f(t)＝0有两个根，且需满足有两解时，有且仅有一解.
①a≤－2时，f(x)如图：
g(x)＝f(t)＝0，
，由图可见此时y＝－3与f(x)有两个交点，
，此时要使y＝1与f(x)有且仅有一个交点，
则，∴；
②－2＜a≤0时，f(t)＝0只有一个解t＝2，t＝f(x)＋1＝0没有三个解；
③0＜a≤2时，f(x)如图：
，，
，y＝1和f(x)必有两个交点；
，此时要使y＝－1和f(x)有且仅有一个交点，
则，
∴；
④a＞2时，只有一个根t＝0，t＝f(x)＋1＝0没有三个解.
综上所述，.
故答案为：.
【点睛】本题关键是令，将有三个零点的问题转化为：f(t)＝0有两个根，且需满足有两解时，有且仅有一解，数学结合即可求解.
四、解答题
17. 求下列各式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）18（2）0
【解析】
【分析】（1）应用指对的运算性质即可求解；（2）应用同角三角函数关系及诱导公式结合特殊角的三角函数值即可求解.
【小问1详解】
小问2详解】
18. 设集合，.
（1）当时，求A的非空真子集的个数
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）254个；（2）或.
【解析】
【分析】（1）利用指数函数的性质化简集合，再利用子集个数公式求解即可；（2）讨论三种情况，分别化简集合，利用包含关系列不等式求出的范围，综合三种情况可得结果.
【详解】化简集合，集合.
（1）,即A中含有8个元素，
因为A的非空真子集数为个.
（2）①时，；
②当时，，所以,因此，要，则只要，所以的值不存在；
③当时,，因此，要，则只要.
综上所述，知取值范围是或.
【点睛】本题考查集合的真子集个数的求数,考查满足条件的实数的取值范围的求法,考查了分类讨论思想的应用，是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
19. 已知函数.
（1）若且，求的值
（2）令，求的值域
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）应用平方差公式及象限角的符合结合同角三角函数的平方关系即可求解；
（2）结合二倍角公式即可求解.
【小问1详解】
由
因为，则，
则即，
则，则，
则
【小问2详解】
因为定义域为，则的值域为
20. 已知函数.
（1）求与，与的值；
（2）由（1）中求得的结果，猜想与的关系并证明你的猜想；
（3）求的值.
【答案】（1）），，，
（2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意代入0，2，-1，3求值即可；
（2）根据（1）的结果猜想，计算的值即可证明；
（3）根据（2）的结果可得，根据规律计算即可求解.
【小问1详解】
解：因为，故，，，.
【小问2详解】
解：猜想：，
证明：∵对于任意的，都有
∴.
故.
【小问3详解】
解：由（2）得，
故，，，
所以
.
21. 为践行“绿水青山，就是金山银山”，我省决定净化闽江上游水域的水质．省环保局于2018年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2019年2月底测得蒲草覆盖面积为，2019年3月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择．
（1）分别求出两个函数模型的解析式；
（2）若2018年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能超过？
（参考数据：，）
【答案】（1）答案见解析
（2）选择函数模型更合适，2020年2月底
【解析】
【分析】（1）将点，点分别代入两个函数模型的解析式，即可求解．
（2）将分别代入两个函数模型，将所得的结果与20进行比较，求出合适的函数模型，令，结合对数的公式，即可求解．
【小问1详解】
若选择模型，
则，解得，，
故函数模型为，
若选择模型，
则，解得，，
故函数模型为．
【小问2详解】
把代入可得，，
把代入可得，，
，
选择函数模型更合适，
令，可得，两边取对数可得，，
，
故蒲草至少到2020年2月底覆盖面积能超过．
22. 已知函数在区间上的最大值为，最小值为，记，；
（1）求实数、的值；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的范围；
（3）对于定义在上的函数，设，，用任意将划分成个小区间，其中，若存在一个常数，使得不等式恒成立，则称函数为在上的有界变差函数，试证明函数是在上的有界变差函数，并求出的最小值；
【答案】（1），；（2）；（3）证明见解析，；
【解析】
【分析】（1）由已知在区间上的最大值为4，最小值为1，结合函数的单调性及最值，易构造关于的方程组，解得的值。
（2）求出，对任意恒成立等价于恒成立，求实数的范围。
（3）根据有界变差函数的定义，我们先将区间进行划分，进而判断是否恒成立，进而得到结论。
【详解】（1）因为，因为，对称轴
所以在区间上是增函数，
又函数在区间上的最大值为，最小值为
所以
解得：
所以
故实数
（2）由（1）可知
因为，所以
因为对任意恒成立，
令
根据二次函数的图像和性质可得：
则
令，则
解得：
即
所以
（3）函数为上的有界变差函数，又为上的单增函数，
且对任意划分
有
所以
所以存在常数M使得恒成立，即