重庆市2024届高三数学上学期第一次月考试题含解析

这是一份重庆市2024届高三数学上学期第一次月考试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知全集，集合，或，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据并集、补集的定义进行计算得出结果.
【详解】由或得，
又，
所以.
故选：B.
2. 已知，命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由命题“，”是真命题，求得，结合选项，即可得到命题是真命题的一个必要不充分条件，得到答案.
【详解】由命题“，”是真命题，可转换为不等式在恒成立，
因为，所以，
结合选项，命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是.
故选: B.
3. 若，则的最小值是（）
AB. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式即可得解.
【详解】由，可得，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
故选：B.
4. 下列求导运算正确的是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数运算公式和运算法则，分别求导，再判断即可
【详解】解：，，，
于是可得A、 C、 D错误.
故选：B．
5. 已知实数，，，则、、的大小关系是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题首先可根据以及得出，然后根据以及得出，即可得出结果.
【详解】因为，，函数在上是增函数，
所以，
因为，，
所以，
综上所述，，
故选：D.
【点睛】指数、对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递，考查计算能力，是中档题.
6. 已知函数，则其图象不可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先观察选项图像，再分析原函数解析式，发现函数有对称轴即可得出答案.
【详解】解：因为，定义域为，
所以，
所以的对称轴为.
当时，令，则在上单调递增，
而且，
所以在上单调递减，在上单调递增.
结合选项：A选项为时的图像，B选项为时的图像，
D选项为时的图像，而C选项无对称轴，则图像不可能是C.
故选：C
7. 下列化简正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用诱导公式以及同角三角函数的基本关系对四个选项验证即可.
【详解】对于A，由诱导公式得，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：B.
8. 已知函数，则不等式的解集是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，判断的单调性和奇偶性，由此求得不等式的解集.
【详解】，
由于，所以的定义域为，
，
所以是奇函数，
当时，为增函数，为增函数，
所以是增函数，由是奇函数可知，在上单调递增，
由得，
即，则，解得，
所以不等式的解集是.
故选：A
【点睛】给定一个不等式以及函数解析式的题目，要考虑函数的单调性、奇偶性、定义域等基本性质来进行解题.是否要构造函数，构造什么类型的函数，关键是要根据已知函数的结构，选择合适的构造方法.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9. 下面命题正确的是（）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“任意，则”的否定是“存在，则”
C. 函数的最小值为2
D. 不等式在上有解，则实数的取值范围是
【答案】AB
【解析】
【分析】由充分、必要性定义及不等式性质判断A；写出全称命题的否定判断B；根据对应函数值符号判断C；利用二次函数性质求在上能成立求参数范围判断D.
【详解】A：可得，但反之不一定成立，对；
B：全称命题的否定为特称命题，原命题的否定为：存在，则，对；
C：当时，，即2不是最小值，错；
D：令，开口向上且，使在上能成立，
必有，可得，故对称轴，显然恒成立，
所以，错.
故选：AB
10. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则下列关于的说法正确的有（）
A. 的一个周期为4B. 是函数的一条对称轴
C. 时，D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由为奇函数，为偶函数，可求得的周期为4，即可判断函数的对称性，由为奇函数，可得，结合，可求得，的值，从而得到时，的解析式，再利用周期性从而求出的值．
【详解】对于A，为奇函数，，且，函数关于点，
偶函数，，函数关于直线对称，
，
即，，
令，则，，
，故的一个周期为4，故A正确；
对于B，则直线是函数的一个对称轴，故B正确；
对于C、D，∵当时，，
，，
又，，解得，
，，
当时，，故C不正确；
，故D正确.
故选：ABD.
11. 若过点可以作三条直线与函数相切，则实数a的值可能是（）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】CD
【解析】
【分析】设切点，根据导数的几何意义，求得切线方程，根据在切线上，得到，
根据题意转化为有三个不同的实数解，令，利用导数求得函数的单调性和极值，
求得的取值范围，结合选项，即可求解.
【详解】设切点，
由函数，可得，
则切线的斜率为，
所以切线方程为，
因为点在切线上，可得，
即，
又因为过点可以作三条直线与函数相切，
即方程有三个不同的实数解，且不是方程的解，
即有三个不同的实数解，
令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
时，，单调递增，
又由，且当时，，当时，，
当,
所以实数的取值范围为，结合选项C、D符合题意.
故选：CD.
12. 已知函数则下列选项正确的是（）
A. 函数在区间上单调递增
B. 函数的值域为
C. 方程有两个不等的实数根
D. 不等式解集为
【答案】BC
【解析】
【分析】画出的图象，结合图象即可判断各选项.
【详解】
画出的图象，如上图所示.
令，解得或，
所以的图象与轴交于.
对于A，由图象可知，函数在区间上不单调，A错；
对于B，由图象可知，函数的值域为，B对；
对于C，，，
由图象可知，方程，即有两个不等的实数根，C对；
对于D，由图象可知，当时，，
所以，由可得.
令，解得或；
令，解得或，
所以，由图象可知，不等式解集为，D错.
故选：BC
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】将分式不等式转化成整式不等式求解即可得出答案.
【详解】根据不等式整理可得，
即，等价于，
解得；
所以不等式的解集为
故答案为：
14. _________________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据指数和对数的运算性质计算即可.
详解】
故答案为：
15. 已知函数，若对上的任意实数，恒有成立，那么的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据是R上的减函数，列出不等式组，解该不等式组即可得答案.
【详解】因为函数满足对上的任意实数，恒有成立，
所以函数在R上递减，
所以，即，解得，所以的取值范围是.
故答案为：.
16. 已知函数，，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为_________.
【答案】
【解析】
【分析】将问题转化为与图象有三个交点，观察图象得的取值范围.
【详解】由得，
由题意得，函数与函数的图象恰有3个公共点，
作出函数的图象，如图，
再作出直线，它始终过原点，
当时，与至多有两个交点，不满足.
当时，设直线与相切，切点为,，
由知，切线斜率为，切线方程为，
把代入得，所以切线斜率为，
由图可得与图象有3个交点时实数的取值范围是.
故答案为: .
【点睛】方法点睛：求函数的零点个数时将其化为的形式，把函数的零点个数转化为与图象交点的个数问题.
四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22题12分，共70分.）
17. 已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的基本关系式，求得，结合两角和的正弦，即可求解；
（2）根据倍角公式，求得，结合两角差的余弦公式，即可求解.
【小问1详解】
解：因为，且，可得，
则.
【小问2详解】
因为
所以.
18. 已知定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）判断的单调性，并用单调性定义证明；
【答案】（1）
（2）函数在上是增函数，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用，求得，再由，求得，即可求得的解析式；
（2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可求解.
【小问1详解】
解：由定义在上的奇函数，则，即，解得，
因为，即，解得，所以，
经检验：，符合题意，
所以.
【小问2详解】
解：函数在上是增函数.
证明如下：
任取且，
则
，
因为，则，，
故，即，
因此函数在上是增函数.
19. 已知关于不等式的解集为或．
（1）求值；
（2）当，且满足时，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到和是方程的两个实数根，结合韦达定理列出方程组，即可求解；
（2）由（1）得到，化简，结合基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：因为不等式的解集为或，
可得和是方程的两个实数根，且，
则，解得.
【小问2详解】
解：由（1）知，可得，
因为，所以
，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
20. 某学校对男女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男女生人数均为，统计得到以下2×2列联表，经过计算可得.
（1）完成表格求出n值，并判断有多大的把握认为该校学生对长跑的喜欢情况与性别有关；
（2）①为弄清学生不喜欢长跑的原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢长跑的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名女生”的概率；
②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对长跑喜欢的人数为X，求X的数学期望.
附表：
附：.
【答案】（1）列联表答案见解析，，有95%的把握认为该校学生对长跑喜欢情况与性别有关；
（2）①；②.
【解析】
【分析】（1）利用给定数据完善2×2列联表，计算的观测值即可求出n，再与临界值表比对作答.
（2）①利用分层抽样求出抽取的9人中男女生人数，再利用古典概型结合对立事件概率求解作答；②利用二项分布的期望公式计算作答.
【小问1详解】
2×2列联表如下表所示：
，而，于是得，
又，
所以有95%的把握认为该校学生对长跑喜欢情况与性别有关.
【小问2详解】
①采用分层抽样的方法从调查的不喜欢长跑的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，
再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率为；
②由（1）知，任抽1人喜欢长跑的概率，
依题意，，所以X数学期望是.
21. 已知函数，.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）试讨论函数单调性.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）先求函数的导函数得出斜率，再根据点斜式求出切线方程即可；
（2）分和两种情况求导函数，分导数正负讨论函数的单调性.
【小问1详解】
因为，
所以，则，切点为
又因为
所以，即
所以曲线在点处的切线方程是，
即.
【小问2详解】
因为，，
所以，
当时，，则在上单调递减；
当时，令，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增
22. 已知函数f(x)，g(x)＝lnx－1，其中e为自然对数的底数．
（1）当x＞0时，求证：f(x)≥g(x)＋2；
（2）是否存在直线与函数y＝f(x)及y＝g(x)的图象均相切？若存在，这样的直线最多有几条？并给出证明．若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在两条，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）首先设，，利用导数求出单调区间得到，即证.
（2）首先设直线与切于，与切于，，利用导数几何意义得到切线，又因为切线又与相切，整理得到，设，再利用导数判断函数的零点即可证明有两条直线与函数及的图象均相切.
【详解】（1）设，，
.
因为在为增函数，且，
所以，，为减函数，
，，为增函数.
所以，，即证.
（2）设直线与切于，
与切于，.
，，，
所以切线为.
因为，即，即.
又因为，
将，代入，
得：，整理得.
设，，
因为在为增函数，且时，，
所以，，为减函数，
，，为增函数.
，
又因为，
，
所以在上有两个零点，
即方程有两个根，
男生
女生
合计
喜欢
不喜欢
合计
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2706
3.841
5.024
6.635
10.828
男生
女生
合计
喜欢
6n
5n
11n
不喜欢
4n
5n
9n
合计
10n
10n
20n