重庆市2024届高三数学上学期周考试题三

这是一份重庆市2024届高三数学上学期周考试题三，共9页。试卷主要包含了已知是自然对数的底数，若，则有，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定位置。
2．答选择题时，使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动答案，需用橡皮擦将原标号擦干净，再选涂其他答案标号。
3．所有试题必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
4．答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定位置。
一、单选题（本题共有8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
3．已知复数是方程的一个根，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
4．湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有甲，乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记事件A为“甲和乙至少有一所学校选择万华岩中小学生研学实践基地”，事件B为“甲和乙选择研学线路不同”，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知是自然对数的底数，若，则有（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，则在区间上存在极值的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
7．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．－4B．4C．5D．8
8．已知锐角三角形中，角所对的边分别为的面积为，且，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共有4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）。
9．下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量服从正态分布，且，则
B．一组数据的第60百分位数为14
C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强
D．对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是－4
10．已知函数是定义域为的偶函数，是奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是以4为周期的函数D．的图象关于对称
11．在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（ ）
A．B．
C．D．
12．等差数列与的前项和分别是与，且，则（ ）
A．B．
C．的最大值是17D．最小值是7
三、填空题（本题共有4小题，每小题5分，共20分）。
13．已知单位向量，满足，则与的夹角的余弦值为.
14．的展开式中的系数为_____________
15．在等比数列中，，，则_________
16．如图，将1，2，3，4四个数字填在6个“”中，每个“”中填一个数字，有线段连接的两个“”不能填相同数字，四个数字不必均使用，则不同填数方法有种．
四、解答题（本题共有6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）。
17．已知函数，再从条件①：的最大值为1；条件②：的一条对称轴是直线﹔条件③：的相邻两条对称轴之间的距离为﹐这三个条件中选择能确定函数解析式的两个合理条件作为已知，求：
(1)函数的解析式；
(2)已知，若在区间上的最小值为，求m的最大值．
如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E为棱上的点，且.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求点E到平面的距离.
19．已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)A，B是抛物线C上的两个动点，直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．
20．某旅游公司针对旅游复苏设计了一款文创产品来提高收益．该公司统计了今年以来这款文创产品定价（单位：元）与销量（单位：万件）的数据如下表所示：
(1)依据表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（计算结果精确到0.01）；
(2)建立关于的回归方程，预测当产品定价为8.5元时，销量可达到多少万件．
参考公式：．
参考数据：．
21．数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
22．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围.
产品定价（单位：元）
9
9.5
10
10.5
11
销量（单位：万件）
11
10
8
6
5
参考答案：
一、单选题
C2．B3．D4．B5．A6．A7．C8．A
二、多选题
9．ACD10．ACD 11．AC12．BC
三、填空题
13．14．216 15．- 44 16．264
四、解答题
17．(1)(2)
【详解】（1）由题意，函数
，
若选①：的最大值为1，则，则，
若选②：的一条对称轴是直线,则由，不符合正弦函数对称轴的要求，不合题意；
若选③：的相邻两条对称轴之间的距离为，则最小正周期,可得；
所以只能选择条件①③作为已知，此时；
（2）由题意，，
当，则，
若在区间上的最小值为，则，
所以，所以m的最大值为.
18．(1)证明过程见解析；(2)；(3).
【详解】（1）因为平面，平面，
所以，而，因此可以建立如下图所示的空间直角坐标系，
则有，
，，，
因为，
所以，而平面，
所以平面；
（2）设平面的法向量为，
，
则有，
由（1）可知平面的法向量为，
所以有，
由图知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为；
（3）由（2）可知：平面的法向量为，
，所以可得：
，
所以点E到平面的距离为.
19．(1)y2＝4x(2)证明见解析
【详解】（1）P点坐标代入抛物线方程得4＝2p，∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x．
（2）证明：设AB：x＝my+t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4t＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，
所以Δ＞0⇒16m2+16t＞0⇒m2+t＞0，
，同理：，
由题意：，∴4(y1+y2+4)＝2(y1y2+2y1+2y2+4)，
∴y1y2＝4，∴﹣4t＝4，∴t＝﹣1，故直线AB恒过定点(﹣1，0)．
20．(1)，说明与的线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合与的关系
(2)12.8万件
【详解】（1）由题条件得，
．
，
，
．
与的相关系数近似为，说明与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与的关系．
（2），
关于的线性回归方程为．
当时，．∴当产品定价为8.5元时，预测销量可达到12.8万件．
21．(1)(2)
【详解】（1）∵，，则，
∴，两式相除得：，
当时，，
∴，即，
当时，，
∴，即，
综上所述，的通项公式为：；
（2）由题设及（1）可知：，
22．(1)答案见解析(2)
【详解】（1）解：函数的定义域为，且.
当时，因为，则，此时函数的单调递减区间为；
当时，由可得，由可得.
此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上所述，当时，函数的单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）解：，
设，其中，则，
设，则，
当时，，，且等号不同时成立，则恒成立，
当时，，，则恒成立，则在上单调递增，
又因为，，
所以，存在使得，
当时，；当时，.
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且，
作出函数的图象如下图所示：
由（1）中函数的单调性可知，
①当时，在上单调递增，
当时，，当时，，
所以，，此时，不合乎题意；
②当时，，且当时，，
此时函数的值域为，即.
（i）当时，即当时，恒成立，合乎题意；
（ii）当时，即当时，取，
结合图象可知，不合乎题意.