人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用第2课时教学设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用第2课时教学设计，共12页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时 利用导数求函数的单调性

一、教学目标
1.理解可导函数的单调性与其导数的关系；
2.能够利用导数确定函数的单调性以及函数的单调区间；
3.理解三次函数单调性的性质，会判断简单的含参数函数的单调性；
4.理解导数与函数变化快慢之间的关系，能够利用函数的单调性解决有关问题.

二、教学重难点
重点：利用导数确定函数的单调性以及函数的单调区间
难点：含参函数的单调性以及逆向求参问题

三、教学过程
（一）复习导入
师生活动：教师提出问题，学生思考回答，教师评价.
思考1：函数f(x)的单调性与导函数f '(x)正负的关系如何？
答：定义在区间(a,b)内的函数y＝f (x)：
思考2：判断函数f (x)的单调性的步骤是什么？
答：1确定函数的定义域；
2求出导数f '(x)的零点；
3用f '(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f '(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
思考3：求函数f (x)的单调区间有哪些方法？
答：解不等式法或列表法.
设计意图：复习前一节课的知识，便于学生更好地学习和理解本节课的知识．发展学生数学抽象、直观想象、数学建模的核心素养．
（二）探究新知
任务一：三次函数的单调性
二次函数是一类重要的函数，而三次函数的导函数是二次函数，所以三次函数也是一类特殊的重要函数，三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0的单调性如何呢？这里先不妨以一具体的三次函数为例进行研究.
探究1：求函数fx=13x3−12x2−2x+1的单调区间.
师生活动：教师引导学生根据导数求函数单调区间的步骤独立完成解答，教师评价并给出完整规范的解答.
分析:先求函数的导函数，然后求出f'(x)>0及f'(x)0，得(x+1)(x−2)>0，解得x2；
令f'(x)>0，得(x+1)(x−2)0和a0时，二次函数（导函数）开口向上，根据判别式进行讨论：
当∆≤0时，f'(x)≥0恒成立，所以f(x)在−∞,+∞上单调递增；
当∆>0时，f '(x)的大致图象如下图所示：
当x变化时，f 'x，fx的变化情况如下表所示.
所以，fx在−∞,x1与x2,+∞上单调递增；在x1,x2上单调递减.
此时，三次函数的大致图象为：
当a0时，f'(x)=0有两个不相等的实数根，x1=−b−b2−3ac3a，x2=−b+b2−3ac3a.根据a与∆的不同取值，单调性情况如下：
设计意图：将经常作为出题背景的三次函数作为研究对象，让学生进一步巩固利用导数判断函数单调性的方法，深入理解三次函数的特征，培养学生的数学结合、分类讨论、数学建模等核心素养.
任务二：利用导数求含参数的函数的单调区间
探究：已知函数f(x)=13x3−12ax2+(a−1)x+1，求其单调区间．
思考1：根据上面对三次函数单调性的研究，你能初步判断这个函数的单调性吗？
师生活动：教师提出问题，指出这是一个含参数的三次函数，并且三次项系数为正数，引导学生思考、讨论.
答：函数f(x)的定义域为R，
导数f'(x)=x2−ax+a−1，∆=a2−4a+4=a−22≥0
因为三次项系数为正数，所以，
当a=2时，∆=0，f(x)在R上单调递增；
当a≠2时，∆>0，f(x)在R上先增后减再增.
思考2：怎样具体求出这个函数的单调区间？
答：求出f'(x)=0的根，判断f'(x)在各划分区间上的正负，从而确定函数的单调性.
具体过程如下：
解：函数f(x)的导数f'(x)=x2−ax+a−1，
令f'(x)=0，解得x=1，或x=a−1，
①当a−1=1，即a=2时，在x∈(−∞,+∞)上f'(x)⩾0，f(x)为增函数.
②当a−12时，在x∈(−∞,1 )，(a−1,+∞)上f'(x)>0，f(x)为增函数；在x∈(1,a−1)上f'(x)2时，增区间(−∞,1 )和(a−1,+∞)，减区间(1,a−1)，
af'(x)>1；
当x>1时，00 ，即 a>−14 且 a≠0 时，令 ℎx=0 ，
解得： x1=1− 1+4a2a ， x2=1+ 1+4a2a ，
(i)若 −140 ；当 x∈x2,+∞ 时， g'x0 时， gx 在 0,1+ 1+4a2a 上单调递增，在 1+ 1+4a2a,+∞ 上单调递减．
设计意图：通过典型例题的分析和解决，帮助学生体会含参函数的求导问题，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养．
（四）课堂练习
1.函数y=xlnx在0,5上的单调性是( )．
A. 单调递增
B. 单调递减
C. 在0,1e上单调递减，在1e,5上单调递增
D. 在0,1e上单调递增，在1e,5上单调递减
【答案】C
解：y'=lnx+1，令y'>0，得x>1e，又x∈(0,5)，故5>x>1e，
令y'0得a+2x2>0，解得x> −a2，
令f​'(x)0且α−1>0，则α>1．
由fx=f'x可得x=α>1，即f(x)=xα与f'x=αxα−1的图象交点横坐标应大于1，显然C项不符合，B，D项均符合．
故选：C．
4.已知函数fx=x2−alnx．
(1)若函数fx的图象在点P1,f1处的切线l过坐标原点，求实数a的值；
(2)讨论函数fx的单调性．
【答案】解：(1)由f'x=2x−ax，有f'1=2−a，f1=1，
可得曲线y=fx在点P处的切线方程为y−1=2−ax−1，
整理为y=2−ax+a−1，
代入原点0,0，有0=a−1，可得a=1，
故实数a的值为1；
(2)由f'x=2x−ax=2x2−ax，x>0，
①当a≤0时，f'x>0在0,+∞上恒成立，
可得函数fx的增区间为0,+∞，没有减区间；
②当a>0时，令f'x>0，可得x> a2，
故函数fx的减区间为0, a2，增区间为 a2,+∞．
综上可知，当a≤0时，fx在0,+∞单调递增；
当a>0时，fx在0, a2上单调递减，在 a2,+∞上单调递增．
设计意图：通过课堂练习，检验学生对本节所学内容的掌握情况.
f '(x)的正负
f (x)的单调性
f '(x)>0
单调递增
f '(x)