贵州省遵义市汇川区中学 2024-2025学年九年级上学期9月联考数学试题（解析版）-A4

这是一份贵州省遵义市汇川区中学 2024-2025学年九年级上学期9月联考数学试题（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了不能使用计算器等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．全卷共4页，三个大题，共24小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷．
2．一律在答题卡相应的位置作答，在试题卷上答题视为无效．
3．不能使用计算器．
一、选择题（以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一项正确，请用2B铅笔在答题卡相应的位置作答．每小题3分，共36分．）
1. 下列函数属于二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义，熟知二次函数的概念是关键．
根据二次函数的定义：形如的函数是二次函数逐项判断即得答案．
【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数；
B、是二次函数；
C、不是二次函数；
D、不是二次函数；
故选：B．
2. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为，一次项系数、常数项分别是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】要确定二次项系数，一次项系数，常数项，首先要把方程化成一般形式，根据一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a，b，c是常数，且a≠0)即可解答．
【详解】将化为一般形式为：，
∴一次项系数、常数项分别是-8，-10
故选A
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a，b，c是常数，且a≠0)，特别要注意a≠0，在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项，掌握a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项是解决本题的关键．
3. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的配方法，确定二次项系数，一次项系数，常数项，当二次项系数为时，运用等式的性质，配方为一次项系数一半的平方，由此即可求解．
【详解】解：
移项得，，一次项系数为，
∴配方为，，整理得，，
∴，
故选：D．
4. 下列方程中，最适合用因式分解法求解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握适合因式分解法解一元二次方程——把方程的右边化为0，左边能通过因式分解化为两个一次因式的积的形式的方程是解题的关键．
把各方程整理乘右边等于0的形式，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、方程整理，得，不适合运用因式分解法求解，故本选项不符合题意；
B、，不适合运用因式分解法求解，故本选项不符合题意；
C、方程整理，得，适合运用因式分解法求解，故本选项符合题意；
D、，不适合运用因式分解法求解，故本选项不符合题意．
故选：C
5. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则b的值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查一元干净议程的解，根据议程解的定义，将已知的方程解代入方程求解即可．
【详解】解：因为关于x一元二次方程的一个根为，
所以，将代入方程可得，
解得，，
故选：A．
6. 已知、是一元二次方程的两根，那么的值为（ ）
A. B. 1C. D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的定义，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：．据此即可解答．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两根，
∴，
∴，
故选：D．
7. 一元二次方程的根的情况为（ ）
A. 有两个相等实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 只有一个实数根
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用根的判别式△判断即可．
【详解】∵=
∴一元二次方程没有实数根.
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况，解题的关键是：注意在求解根的判别式△时，正负号不要弄错了．
8. 菱形ABCD一条对角线长为6，边AB的长为方程y2﹣7y+10=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（ ）
A. 8B. 20C. 8或20D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】先求出方程的解，然后根据三角形三边关系定理得出菱形的边长为5，即可得出结论．
【详解】解：解方程y2﹣7y+10=0，得：y=2或y=5，
当AB=AD=2，BD=6时，AB+AD＜BD，不符合三角形三边关系定理，舍去；
当AB=AD=5，BD=6时，AB+AD＞BD，符合三角形三边关系定理，
∴菱形ABCD的周长为5+5+5+5=20．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形三边关系定理，一元二次方程的解法等知识，运用三角形三边关系定理进行判断三角形是否存在是解题的关键．
9. 近年来贵州的旅游火爆出圈，各地游客慕名来到贵州．某景点9月15日收入约为23万元，之后两天的收入按相同的增长率增长，9月17日（中秋节）收入约为47万元，若设每天的增长率为，则满足的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意列式即可得到本题答案．
【详解】解：设每天的增长率为，
∵9月15日收入约为23万元，之后两天的收入按相同的增长率增长，9月17日（中秋节）收入约为47万元，
∴，
故选：D．
10. 中秋节当天，某微信群里的每两个成员之间都互发一条祝福信息，共发出72条信息，设这个微信群的人数为x，则根据题意列出的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据祝福信息的条数微信群的人数（微信群的人数），即可得到方程．
【详解】解：根据题意可得，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，准确理解题意是解题的关键．
11. 若关于的一元二次方程有一个根2022，则方程，必有一个根为（ ）
A. 2025B. 2024C. 2023D. 2022
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查换元法解一元二次方程，根据题意，得到方程必有一根为，求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵一元二次方程有一个根2022，
∴必有一根为，解得：；
故选B．
12. 如图，两条抛物线，与分别经过点且平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（ ）
A. 6B. 8C. 9D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，二次函数图象的平移问题，先求出，再由抛物线是抛物线向上平移2个单位长度得到的，且点A和点B的纵坐标的差值为2，可知阴影部分的面积即为图中长方形的面积，据此求解即可．
【详解】解：在中，当时，，
在中，当时，，
∴，
∵抛物线是抛物线向上平移2个单位长度得到的，且点A和点B的纵坐标的差值为2，
∴阴影部分的面积即为图中长方形的面积，
∴，
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共16分．请用黑色墨水笔或黑色签字笔在答题卡相应的位置作答．）
13. 方程的解为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先移项，然后利用完全平方公式将方程的左边转化为两个因式的积的形式即可．
【详解】解：，
，
，
，
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元二次方程—因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，根据方程的特点灵活选用合适的方法是解题的关键．
14. 已知关于x的二次函数的图像不经过第一、二象限，请写出一个合适的常数c的值为______．
【答案】0（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据二次函数图像的特点解答即可．
【详解】解：∵关于x的二次函数的图像不经过第一、二象限
∴，
故答案为：0（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像，根据二次函数解析式的系数确定图像位置是解答本题的关键．
15. 已知等腰三角形的底边长为7，腰长是的一个根，则这个三角形周长为_______．
【答案】17
【解析】
【分析】求出方程的解，得出两组情况，看看是否符合三角形三边关系定理，求出即可．
【详解】解：，
，
，，
，，
即①等腰三角形的三边为7，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是；
②等腰三角形的三边为3，3，7，此时不符合三角形三边关系定理，
故答案为：17．
【点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形三边关系定理，等腰三角形性质的应用，关键是确定三角形的三边长．
16. 对于两个不相等的实数．我们规定符号表示中的较大值，如：．按照这个规定，若，则的值是_________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，实数的运算，实数大小比较，分两种情况：当时，即x>0时；当时，即时；然后根据定义的新运算列出方程，解方程即可解答．
【详解】解：分两种情况：
当时，即x>0时，
，
，
整理得：，
，
或，
，舍去)；
当时，即时，
，
，
整理得：，
，
，
，
，
或，
，(舍去)，；
综上所述：或，
故答案为：或．
三、解答题（共8个答题，共98分．请用黑色墨水笔或黑色签字笔在答题卡相应的位置作答．）
17. 用适当的方法解下列方程
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程∶
（1）利用直接开平方的方法解方程即可；
（2）先把原方程化为一般式，再利用因式分解法解方程即可；
（3）利用配方法解方程即可；
（4）先移项，再利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解；∵，
∴，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
【小问4详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
18. 若关于x的一元二次方程有两个不相等实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求m的值．
【答案】（1）且
（2）的值为
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，完全平方公式的变形求值，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根、一元二次方程根的判别式得出、，进行求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再由完全平方公式的变形得到，由此解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，，
即，解得，
∴且；
【小问2详解】
解：由根与系数的关系，得，，
∵，
∴，
，
，
∴或，
解得（且，故舍去），，
∴的值为．
19. 某商店销售一种成本为每千克40元的产品，根据市场分析，若按照每千克50元销售，一个月能售出这种产品500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．
（1）销售单价为58元时，这种产品的月销量是多少千克？
（2）该商店想在月销售成本不高于10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？
【答案】（1）420千克，详见解析 （2）80元，详见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用等知识点，
（1）利用月销售量，可求出月销售量；
（2）设销售单价为x元，则每千克的销售利润为元，月销售量为千克，利用月销售利润＝每千克的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合销售成本不超过10000元，即可确定结论；
熟练掌握①根据各数量之间的关系，列式计算；②找准等量关系是解决此题的关键．
【小问1详解】
根据题意得：
（千克），
答：当销售单价为每千克58元时，月销售量为420千克；
【小问2详解】
设销售单价为x元，则每千克的销售利润为元，月销售量为千克，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意，
答：销售单价应定为80元．
20. 已知关于x的方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．
（2）当时，，是该方程的根，求的值．
【答案】（1）见解析；
（2）的值为3．
【解析】
【分析】（1）首先求出方程的根的判别式，然后得出根的判别式为非负数，得出答案；
（2）将代入方程，化为一般形式后利用方程的解和根与系数的关系可求得，，，然后带入化简求值及可．
【小问1详解】
（1）证明：方程可变形为，
即，
所以，这个方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
当时，
原方程为
，是该方程的根
，，
，
．
【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系；灵活运用根的判别式判断方程的解、和根与系数的关系求解是解题的关键．
21. 阅读下面材料：解方程：．
解：①当时，原方程化为，
解得（不合题意，舍去）；
②当时，原方程化为，
解得（不合题意，舍去），．
综上所述，原方程的根为．
请仿照以上材料解方程：．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题是一道解含有绝对值的一元二次方程的题目，熟练运用分类讨论去绝对值，求一元二次方程的解是解题的关键．
仿照材料解方程的方法分情况求解即可．
【详解】
解：①当时，即时，原方程化为，
∴
∴或
解得，（不合题意，舍去）；
②当时，即时，原方程化为，
∴
∴或
解得，（不合题意，舍去）
综上所述，原方程的根为，．
22. 已知矩形的两边长分别为的长是关于的方程的两个实数根．
（1）当何值时，四边形为正方形？并说明理由；
（2）若的长为2，求矩形的对角线长．
【答案】（1）时，四边形正方形，理由见详解
（2）
【解析】
【分析】本题考查了正方形的判定，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系的应用；
（1）利用正方形的判定方法得到时，矩形为正方形，则根据根的判别式的意义得到，然后解关于m的方程即可；
（2）设，利用根与系数的关系得，通过解方程组得到，然后利用勾股定理计算矩形的对角线长．
【小问1详解】
解：当m为1时，四边形为正方形．
理由如下：
当时，矩形为正方形，
此时，即，
解得，
即时，四边形为正方形；
【小问2详解】
设，
根据根与系数的关系得，
即，②，
得，
解得，
即，
∴矩形的对角线长为．
23. 已知：抛物线与直线交于点（m，3）．
（1）求m和n的值；
（2）试说出抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）当x何值时，二次函数中y随x的增大而减小；
（4）函数与的图象是否还存在其它交点，若存在，请求出交点坐标；若没有，请说明理由．
【答案】（1）m=2，；（2）顶点坐标为，对称轴为y轴；（3）当时，y随x的增大而减小；（4）有，坐标为（，）．
【解析】
【详解】（1）把，代入以及，得：，（2分）
解得，故m=2，；
（2）由（1）知：抛物线方程为，
∴该抛物线的顶点坐标为，对称轴为y轴；（6分）
（3）二次函数即，图象开口向上，对称轴为y轴，故当时，y随x的增大而减小；（8分）
（4）有，根据题意解方程组得：，，
∴两函数图象除了交点（2，3），还有一个交点，其坐标为（，）．
24. 在矩形中，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从点A出发沿着边以的速度运动，两点同时出发，运动时间为．
（1）当为何值时为等腰三角形？
（2）若的面积是矩形面积的，求的值；
（3）的面积能否等于五边形面积的？若能，求出的值；若不能，说明理由；
（4）当时，求证：四边形的面积是一个定值．
【答案】（1）
（2）
（3）不能，理由见解析
（4）见解析
【解析】
【分析】（1）用含t的式子表示，，的长，根据为等腰三角形得到，代入后解方程即可；
（2）表示出和矩形的面积，根据的面积是矩形面积的，即可列出方程，求解即可；
（3）当时，，代入后得到一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式即可解答；
（4）表示出和的面积，根据，代入后化简即可得证．
【小问1详解】
解：当运动时，，，
∴，
∵在矩形中，
∴当为等腰三角形时，，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：∵，
，
∴当时，，
解得；
【小问3详解】
解：当时，，
∵，，
∴，
整理，得，
∵，
∴方程没有实数根，
∴的面积不能等于五边形面积的；
【小问4详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∵当运动时，，，，，
∴，
，
∴
，
∴当时，四边形的面积为，是一个定值．
【点睛】本题考查列代数式，矩形的性质，等腰三角形的定义，运用方程解决几何问题，整式的加减，综合运用相关知识是解题的关键．