河北省石家庄正定中学2024-2025学年高一上学期期中数学试题（解析版）-A4

这是一份河北省石家庄正定中学2024-2025学年高一上学期期中数学试题（解析版）-A4，共15页。
命题人：王姣姣 审题人：时凯静
注意事项：
1．答题前，务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．答题时使用0.5毫米黑色签字笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．保持答题卡面清洁，不折叠，不破损．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合交集运算即可.
【详解】因为集合，，
所以.
故选：A
2. 已知命题p：，的否定（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用存在量词命题的否定是全称量词命题，即可求出结果．
【详解】命题，，
则，．
故选：A．
3. 函数的值域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分离常数可得函数单调性，进而可得值域.
【详解】由已知函数定义域为，
且，
则，
即，
故选：C.
4. 已知幂函数在上单调递增，则实数m的值为（ ）
A. 1B. C. 1或D. 0或1
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂函数的定义与性质列式求解.
【详解】由题意可得：，解得.
故选：A.
5. 若函数的部分图象如图所示，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数图象求得函数定义域，利用函数值可得出其解析式，代入计算即求得函数值.
【详解】根据函数图象可知和不在函数的定义域内，
因此和是方程的两根，因此可得，
又易知，所以可得；
即，所以.
故选：D
6. 若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】正实数x，y满足，利用基本不等式的性质可得，设，即可求出的最小值．
【详解】∵正实数x，y满足，，
∴，当且仅当取等，
设 ，∴，
∴，即，，∴，
故的最小值为2.
故选：A．
7. 函数的定义域为R，对任意的，有，且函数为偶函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由条件有在上单调递减，函数为偶函数，则的图像关于直线对称，由对称性和单调性可得的大小关系.
【详解】对任意的，有,
即对任意的,设，都有，
所以在上单调递减.
又函数为偶函数，即.
则的图像关于直线对称.
所以, 则.
故选：B.
【点睛】本题考查函数单调性的定义及其应用，考查函数的奇偶性和对称性，属于中档题.
8. 已知函数，若对任意恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据将问题转化为，根据函数在上单调递减，即可由求解.
【详解】当时，，
当时，，
故，
由可得
当时，，
当时，，
因此对任意的都有为奇函数，
且当时，单调递减，且，故在上单调递减，
故由得，
故对任意的成立，
故，解得或.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ）.
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数的定义域和解析式依次判断每个选项即可.
【详解】对选项A：定义域为，的定义域为，不是同一函数；
对选项B：定义域为，的定义域为，
，是同一函数；
对选项C：定义域为，，定义域为，是同一函数；
对选项D：，定义域为，，定义域为，
是同一函数；
故选：BCD.
10. 已知函数的定义域为，则（ ）
A. B.
C. 是偶函数D. 是奇函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】通过赋值可判断AB，构造函数，通过奇偶性的定义可判断CD.
【详解】令，可得，故A项正确；
令，可得，令，
可得，则，故B项正确；
由，
可得，
令，则，
令，可得，
令，则，
所以是奇函数，即是奇函数，故C项错误，D项正确.
故选：ABD
11. 已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A.
B. ，，都有成立
C. 当，时，
D. 若满足不等式的整数恰好有个，则的值仅有个
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，将代入计算求解即可；对于B，取，，代入计算即可判断；对于C，利用作差法结合判断即可；对于D，作出图象，结合图象求解即可.
【详解】由题意可知，
对于A，，故正确；
对于B，取，，
则有，故错误；
对于C，因为，，
所以，
，
所以，
所以，故正确；
对于D，作出函数的图象，如图所示：
当时，，
等价于，，，
因为此时，
当时，可得和两个整数解；
当时，可得，只有一个整数解；
当时，可得，只有一个整数解；
当时，可得，只有一个整数解；
所以此时只有满足题意；
当时，，
等价于，，，
因为当时，的图象单调递减，
且，，，
所以当时，满足题意，
综上，满足题意的的值有个，故错误.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，，化简：______．
【答案】
【解析】
【分析】把根式化成分数指数式，再利用指数式的运算法则进行化简.
【详解】因为.
故答案为：
13. 不等式的解集为，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据的解集求出的关系，再化简不等式，求出它的解集即可．
【详解】解：因为的解集为，则，且对应方程的根为-2和4，
所以，，且，
不等式可化为,则，即，
解得或．
故答案为．
14. 定义：若存在常数，使得对定义域内的任意两个不同的实数为，均有成立，则称函数在定义域上满足利普希茨条件．已知函数满足利普希茨条件，则常数的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数满足利普希茨条件，分离参数，并化简，求得常数的范围．
【详解】当时，单调递增，
由题意，不妨设，则，
由，得，
因为，所以，所以，
所以，即常数的取值范围是．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，集合.
（1）求的定义域；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数有意义，从而求出其定义域；
（2）根据“”是“”的充分不必要条件得出集合与集合间的关系，从而求解.
【小问1详解】
由题意得
解之得：，
故集合的定义域为：.
故答案为：.
【小问2详解】
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以得：集合是集合的真子集，
所以得：或，
解之得：或，
故的取值范围为.
故答案为：.
16. 已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求的解析式；
（2）判断的单调性，并利用定义证明你的结论．
【答案】（1）
（2）在上单调递增，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由，，解方程求出，即可求出的解析式；
（2）在上是增函数，由单调性的定义证明即可.
【小问1详解】
由在上是奇函数，所以，则，
则，由，得，
所以，经检验，符合题意.
【小问2详解】
在上单调递增，证明如下：
设，且，则，
又，所以，因为，，所以，
所以，则，故在上单调递增.
17. 设函数的图象过点.
（1）若，，求的最小值；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）8 （2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式计算即可；（2）含参讨论解不等式即可.
小问1详解】
由题意可知：，可得，
所以，
当且仅当时等号成立，
因为，，，
所以当，时，等号成立，
此时取得最小值8；
【小问2详解】
由上可知，得，
即，即.
当时，此时不等式为，故解集为；
当时，此时，故不等式的解集为；
当时，即，此时不等式为，
故不等式的解集为；
当时，即，故不等式的解集为；
当时，即，不等式的解集为.
综上所述：当时，解集为；当，解集为；
当，解集为；当时解集为；
当，解集为.
18. 已知函数，．
（1）若，，求，的最小值；
（2）若恒成立，
（i）求证：；
（ii）若，且恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据函数解析式，利用基本不等式求函数最小值；
（2）（i）由二次不等式恒成立，利用判别式建立关系，证明；（ii）由恒成立的不等式，分离出常数，利用函数思想求取值范围
【小问1详解】
若，，则，
当且仅当，即时，取等号，
所以；
【小问2详解】
①证明：因为恒成立，即恒成立，
所以，
即，所以，
则，所以；
②解：，即恒成立，
因为，当时，不等式恒成立，
当时，恒成立，
令，则，则在上恒成立，
又，所以，即实数的取值范围为.
19. 若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足则称函数G是在的“美好函数”
（1）已知函数；
①函数G是在上“美好函数”，求a的值；
②当时，函数G是在上的“美好函数”，请直接写出t的值；
（2）已知函数若函数G是在（为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得，求的值.
【答案】（1）①或；② 0或1.
（2）
【解析】
【分析】（1）①分和两种情况求出二次函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值；②求出二次函数的对称轴，然后分，，和四种情况求函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值；
（2）由二次函数的性质可知当时，函数G为增函数，从而可求出，，然后由为整数可求出，再由列方程可求出.
【小问1详解】
① 因二次函数的对称轴为直线，
当时，，当时，.
（Ⅰ）当时，则当时，函数G为增函数，
依题意，由，解得；
（Ⅱ）当时，则当时，函数G为减函数，
依题意，由，解得.
综上，或；
② 当时，函数的对称轴为直线，
当时，，当时，，当时，.
(Ⅰ)若，则由，解得（舍去）；
（Ⅱ）若，则由，解得或（舍去）；
（Ⅲ）若，则由，解得或（舍去）；
（Ⅳ）若，则由，解得（舍去）.
综上，t的值为0或1；
【小问2详解】
因二次函数的对称轴为直线，
又，则，于是，
故当时，函数为增函数，
即当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值，
于是，，
因为整数，且，则，即，
又因，即，解得.
【点睛】方法点睛：当二次函数对称轴确定但自变量取值区间变化时，需分“对称轴在区间左侧、中间、右侧”进行讨论，对称轴在区间中间时，还需继续分析自变量区间中间值和对称轴的关系，以此来确定函数的最值.