湖南省邵阳市武冈市2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份湖南省邵阳市武冈市2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共16页。
1．本试卷考试时量120分钟，满分120分；
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
3．请将答案填写在答题卡上，写在本试卷上无效，请勿折叠答题卡，答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁．
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共计30分．每小题只有一个正确答案）
1. 式子，，，，中，分式有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】在式子，，，，中，，是分式，
故选C．
【点睛】本题考查了分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以，不是分式，是整式．
2. 如果把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（ ）
A. 扩大4倍B. 扩大2倍C. 不变D. 缩小2倍
【答案】B
【解析】
【分析】把分式中的x和y都扩大2倍，分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可.
【详解】把分式中的x和y都扩大2倍得：==2，
∴分式的值扩大2倍，
故选B.
【点睛】本题主要考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项．
3. 已知在同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（ ）
A ，，那么B. 如果，，那么
C. 如果，，那么D. 如果，，那么
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行公理推论的应用，如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行；同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，熟记相关结论即可．
【详解】解：∵如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行，故A正确，不符合题意；
∵同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，故B错误，符合题意，C正确，不符合题意；
∵如果一条直线垂直于另一条直线，则该直线垂直于这条直线的平行直线，故D正确，不符合题意；
故选： B．
4. 若a＝﹣0.22，b＝﹣2-2，c＝(﹣)-2，d＝(﹣)0，则它们的大小关系是( )
A. a＜b＜c＜dB. b＜a＜d＜c
C. a＜d＜c＜bD. c＜a＜d＜b
【答案】B
【解析】
【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，非零的零次幂等于1，可得答案．
【详解】∵a＝﹣0.22＝﹣0.04；b＝﹣2﹣2＝﹣＝﹣0.25，c＝(﹣)﹣2＝4，d＝(﹣)0＝1，
∴﹣0.25＜﹣0.04＜1＜4，
∴b＜a＜d＜c，
故选B．
【点睛】本题考查了负整数指数幂，熟练掌握负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，非零的零次幂等于1是解题关键．
5. 如图，直线，，，则的度数是​​（ ）
A. ​B. ​C. ​D. ​
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．根据两直线平行，同位角相等可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】解∶如图，
∵直线，
．
由三角形的外角性质得∶．
故选∶C．
6. 已知：﹣=，则的值是（ ）
A. B. ﹣C. 3D. ﹣3
【答案】C
【解析】
【分析】已知等式左边两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，变形后即可得到结果．
【详解】∵﹣=，
∴=，
则=3，
故选C．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，化简求值的方法有直接代入法，整体代入法等常用的方法，解题时可根据题目具体条件选择合适的方法，当未知的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式的各分式都有意义，且除数不能为0.
7. 如图，，若，，则长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全等三角形的对应边相等推知，然后根据线段的和差即可得到结论．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，仔细观察图形，根据已知条件找准对应边是解决本题的关键．
8. 一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A. 17B. 15C. 13D. 13或17
【答案】A
【解析】
【详解】当等腰三角形的腰长为3时，3+3=6＜7，不能构成三角形，
当等腰三角形的腰长为7，底为3时，则周长为：7+7+3=17.
故选：A.
9. 下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【详解】A、根据积乘方法则可得：原式=8；
B、同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，原式=－3；
C、根据分式的加法计算法则可得：原式==－1；
D、根据分式的乘法法则可得：原式=．
考点：幂的乘方计算、同底数幂的乘法、分式的计算．
10. 小明上月在某文具店正好用 20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜 1 元，结果小明只比上次多用了 4 元钱， 却比上次多买了 2 本．若设他上月买了 x 本笔记本，则根据题意可列方程（ ）
A. - =1B. - =1C. - =1D. - =1
【答案】B
【解析】
【详解】设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+2）本，
根据题意得：，
即：．
故选B．
二、 填空题（本题共8个小题，每小题3分，共计24分）
11. 当_____时，分式没有意义．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了分式有无意义的条件，当分式的分母为0时，分式无意义，当分式的分母不为0时，分式有意义．当分母为0时，分式没有意义，据此列式求解即可.
【详解】解：根据题意知，当分母时，分式无意义，
即当时，分式无意义；
故答案为1．
12. 计算：____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据零次幂与负整数指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了零次幂与负整数指数幂，掌握零次幂与负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
13. 计算：的结果是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，结合平方差公式求解即可．
详解】解：
，
故答案为：．
14. 若，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了比例的基本性质，分式的化简等知识点，设，则，然后整体代入即可得解，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【详解】∵，
设，则，
∴ ，
故答案为：．
15. 若关于x的分式方程无解，则a的值为_________．
【答案】3或
【解析】
【分析】先根据去分母，去括号，移项，合并同类项，当x的系数为0时，方程无解，求出a的值；当x的系数不等于0时，求出方程的解，最简公分母等于0时方程无解，求出a的值即可．
【详解】解：，
去分母，得，
整理，得，
当时，方程无解，；
当时，，
因为原分式方程无解，所以，
即，
解得．
所以a的值为或3．
故答案为：或3．
【点睛】本题主要考查了分式方程无解，最简公分母=0是分式方程无解的常见情况，也要注意：当未知数的含字母系数为0时，方程也无解．
16. 如图，已知，，边的垂直平分线交，于点、若的周长为，则的周长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，熟记相关结论得到，从而得，即可求解．
【详解】解：∵垂直平分，
∴
∵，
∴
∵，
∴的周长为：
故答案为：
17. 如图，在中，，，分别为，AD，CE的中点，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的面积，以及三角形中线的性质，解题的关键在于掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形。根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形用表示出、、，的面积，然后表示出的面积，再表示出的面积，即可解题．
【详解】解：，，分别为，AD，CE的中点，且，
，
，
，
，
故答案为：．
18. 如图，中，，、分别在边AB、上，且满足．下列结论中：①；②平分；③；④；其中正确的有______个．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的的性质，全等三角形的判定与性质，角平分的定义．利用可证明，判断①正确；根据全等三角形的性质以及邻补角定义可得，继而利用证明，可得，，判断③正确；利用证明，可得平分，判断②正确，继而根据等腰三角形三线合一的性质可判断④正确．
【详解】在与中，
，
，故①正确；
，
，
，，，
在与中，
，
，
，，故③正确；
在与中，
，
，
，
即平分，故②正确，
又，
，故④正确，
正确的有①②③④，共个
故答案为：．
三、 解答题（本大题共7个小题，共66分）
19. 计算：
（1）​；
（2）​
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的运算法则，是解题的关键：
（1）先进行乘法运算，再进行加减运算即可；
（2）先通分计算括号内，再把除法变乘法，进行计算即可．
【小问1详解】
解：原式
【小问2详解】
原式
．
20. 解下列方程
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）无解
【解析】
【分析】（1）方程两边同时乘以，去掉分母，转为整式方程，求解，再验根即可；
（2）方程两边同时乘以，去掉分母，转为整式方程，求解，再验根即可．
【详解】解：（1）
去分母得：
去括号得：
移项合并得：
系数化为1得：
经检验，是原分式方程的根
∴原分式方程的解为：；
（2）
去分母得：
去括号得：
移项合并得：
经检验，当时，
故原分式方程无解．
【点睛】本题考查的知识点是解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解此题的关键，最后要注意验根．
21. 如图，，，，是同一条直线上的点，，，求证：​．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可得出结论．
【详解】证明：，
，
​
​
在和中，
，
，
​​．
22. 化简分式：,并从1,2,3,4这四个数中取一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】x+2；当x=1时，原式=3．
【解析】
【分析】先把分子分母因式分解，约分，再计算括号内的减法，最后算除法，约分成最简分式或整式；再选择使分式有意义的数代入求值即可．
【详解】解：
=x+2，
∵x2-4≠0，x-3≠0，
∴x≠2且x≠-2且x≠3，
∴可取x=1代入，原式=3．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟悉掌握分式的运算法则是解题的关键，注意分式有意义的条件．
23. 某公司购买了一批、型芯片，其中型芯片的单价比型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买型芯片的条数与用4200元购买型芯片的条数相等．
（1）求该公司购买的、型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条型芯片？
【答案】（1）A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条；（2）80．
【解析】
【分析】（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x﹣9）元/条，根据数量=总价÷单价结合用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买a条A型芯片，则购买（200﹣a）条B型芯片，根据总价=单价×数量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x﹣9）元/条，根据题意得：
，
解得：x＝35，
经检验，x＝35是原方程的解，
∴x﹣9＝26．
答：A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条．
（2）设购买a条A型芯片，则购买（200﹣a）条B型芯片，根据题意得：
26a+35（200﹣a）＝6280，
解得：a＝80．
答：购买了80条A型芯片．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
24. 阅读理解
【提出问题】已知，求分式的值；
【分析问题】本题已知条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数，得出，，与的关系，然后再代入待求的分式化简即可；
（1）【解决问题】设，则，，，将它们分别代入中并化简，可得分式的值为________；
（2）【拓展应用】已知，求分式的值．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）用k表示出，，，再代入分式进行化简即可；
（2）设，用含m的式子表示出，，，再代入分式进行化简即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，，，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
设，
则，，，
∴
【点睛】本题主要分式的化简求值以及乘法公式在代数式求值中的综合运用，熟练掌握相关公式是解题关键．
25. 如图，点O是等边内一点，，．以为边作等边三角形，连接．
（1）求证：；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；
（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形？（直接写结论）
【答案】（1）详见解析
（2）直角三角形，理由见解析
（3）当为、、时，是等腰三角形
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质以及判定定理、等边三角形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）利用等边三角形的性质证明即可；
（2）利用，得到 ，再分别求出、即可解答；
（3）分三种情况讨论：①②③，即可解答．
【小问1详解】
解：∵和是等边三角形
∴，，，即,
在和中

∴；
【小问2详解】
解：直角三角形
∵
∴
∵
∴ ，
∴是直角三角形；
【小问3详解】
解：①当时，
∴
∴
∴
②当时，
∴
∴
∴
③当时，
∴
∴
∴